ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
УЧИТЕСЬ РАБОТАТЬ
С ЛОГАРИФМАМИ
А. Я. Маргулис, Б. А. Радунский
Определение логарифма
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
Как известно, логарифмом числа N по основанию а (а~>0; а^=\) называется
показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить
данное число N, то есть при а!>0, аф{ х—loga М,если ax^N.
Математической записью определения логарифма является так назы-
ваемое основное логарифмического тождество:
с’°е„»^дг (О>0> аф\, N>G).
Напомним, что всякое положительное число при любом (положительном
и отличном от единицы) основании имеет логарифм, а отрицательные числа
и нуль логарифмов не имеют.
10 следствий из основного тождества
Если числа а и 6 положительны и отличны от единицы (М>0 и N>0),
то справедливы следующие соотношения (свойства логарифмов):
A)
B)
C)
X logayV=logbyV, D\)
F)
G)
logajW =logiAl v»7-m, (8)
logetf x log6/Vf=-logaM x logb#, (9
Формулы A), B) и (З) называют правилами логарифмирования. Они поз-
воляют находить логарифмы произведения A), частного B) и степени (или
50 ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
корня) C). Эти же формулы позволяют находить число по его логарифму,
то есть производить потенцирование.
Формула D) имеет особое значение — это формула перехода к новому
основанию. Благодаря этой формуле нет необходимости иметь таблицы ло-
гарифмов при разных основаниях: достаточно иметь, например, таблицу
десятичных логарифмов, чтобы по формуле D) найти логарифм по любому
интересующему нас основанию.
Формула (8) показывает, что отношение логарифмов двух чисел не за-
висит от основания.
Доказательства формул A) — E) проводятся в школьном курсе *);
формулы F) и G) читатель без труда докажет сам, переходя к основанию а
по формуле D). В справедливости формулы (8) легко убедиться, если за-
метить, что и левая, и правая ее части равны числу \oguN (почему?); фор-
мула (9) есть просто иная запись равенства (8). А вот обоснование формулы
A0):
Замечание
Мы предполагали, что М>0 и Л’>0. Однако при решении логарифми-
ческих уравнений (или неравенств), когда в роли М и Л/ выступают выра-
жения от неизвестного х, преобразования но указанным выше формулам
могут привести к неравносильным уравнениям (неравенствам). В подоб-
ных случаях следует пользоваться более общими формулами **); например,
если М (л) • N (х)>0, то
loga/W (х)¦ N (a) logJAI (x)\ -Но&,|ЛГ (x)\.
Сейчас мы такие вопросы рассматривать не будем. Наша цель состоит
в том, чтобы показать, как основные свойства логарифмов применяются
для упрощения выражений, вычисления одних логарифмов через другие и
их сравнения по величине.
Упрощение выражений, содержащих логарифмы
Внимательно разберите с карандашом и бумагой приводимые примеры;
важно понять, где используются перечисленные выше формулы (мы специаль-
но проводим преобразования подробно, но почти без пояснений).
Пример 1. Упростить: Iog35 ¦ Iogj9 • logb2.
Решение. Iog35 ¦ Iog49 • Iog52«-log35 • Iog62 ¦ Iog.,3 Iog32 1og.,3—
Iog33-1.
Пример 2. Упростить выражение:
— Ь 1-lga-log^lOO
(lge-2lo«-leeJ -Ig ‘2 a2
Решение. Укажем сначала область допустимых значений парамет-
ров: а>0, а=?\, Ь>-0, Ъф\ (так как о и Ь служат основаниями логарифмов),
а>\ (для существования log2lgQ должно быть lga;>0, откуда а>1), окон-
•) См., напркмер, Е. С. К о ч е т к о в, Е. С. Кочетков а. Алгебра и элемен-
тарные функции, Л\., «Просвещение». 1970,- §§ 183—186.
«) Подробнее см. Г. В. Д о р о ф е е в, М. К, Потапов, Н. Х- Р о и о в. По-
а>бие по математике для поступающих п вузы. ,М., «Наука», 1970.
51 ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
чательно
а>\\ 6>0;
Имеем
гТ^Б ‘ » 2 ‘
.. 1/2 Ig я л
окончательно, W •=•- г = 2.
у^
Пример 3. Упростить выражение:
¦«» -а 1кв I
Решение. Параметры должны удовлетворять условиям q>0;
{?>0; fc^l и flb^l (объясните почему).
Имеем 6 |(го -о 1R» =6 ‘«a-alKt =ab,
поэтому
Пример 4. Упростить выражение:
,TKEri+1)’]vW*-
Решение. Параметры должны удовлетворять условиям:
; 6>0, Ьф1 (объясните почему); кроме того, для существования \ogB2 b
должно быть 1ор„6^0. Поэтому окончательно: о>1 и Л>1 или 0-<й-<1 и
0<4><1. Далее,
j 210^,6, если Ь5=а>1 или 0<Ь^а<1;
I 2, если а ^ b > 1 или 0 < а < b < 1.
Примеры 2 и 4 наглядно показывают, как важно учитывать область до-
пустимых значений параметров.
Вычисление одних логарифмов через другие
Пример 5. Дани: Iog3o3 а; 1о?го5 ft; найти logLi08.
¦jo
Решение. log30 8 — 3 log30 2 = = 3 log30 ~ 3{\og303Q-\vg3o3-
-logJ05) -3A -a -b)
Здесь все просто, потому что, во-первых, основания всех логарифмов
одинаковы и, во-вторых, можно выразить число 2 через числа, логарифмы
52 ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
которых заданы (или известны), то есть через числа 30, 3 и 5. Очевидно
это не всегда легко сделать.
Пример 6. Дано: Igl96=a; Ig56=6; найти lg 0,175.
Решен и е. Представить число 0,175 через известные числа 196, 56
и 10 не так-то просто. Преобразуем:
Таким образом, задача свелась к нахождению Ig7 и Ig2.
Условия задачи можно записать в виде двух равенств:
2lg2 +
31g2
Из них находим
Поэтому
1 л i7C За —26 46 —2а , 5а —66 —4
lgO,175 = ^ _ ^ 1 — ^
Пример 7. Дано: logti7=a; log,45=-b; найти log,628.
Решение. В случае разных оснований целесообразно перейти к од-
ному основанию:
14
1шт оя — 1о*’« 28 — lQg’« 2’и — L + l°g» 7 — 2 ~°
Кзй logu35 log» 5-7 ~ a + b ‘ a + b’
Пример 8. Дано: log,»27=fl; найти loge16
Реше„„с. ‘
Остается найти logI22. По условию задачи
а = logl2 27 = 3 logl2 3-3 log,2 -? = 3A-2 log,2 2).
„
з „
Отсюда log,22 = —^—, а потому
Э —a
4- 6 4C —a)
Сравнение логарифмов но величине
Зная свойства логарифмической функции, легко отвечать на такие воп-
росы: какое из двух чисел больше: Iog23 или Iog32?
(Iog23>log32, ибо Iog23>l, а Iog32<l);
log., 3 или log3l,l? /log, 3<0, log31,1 > 0; log , 3< log3i,l\ ;
~2~ \ T » /
Iog35 или Iog45? (Iog35>-log45 — объясните почему);
log, 3 или log, 4? /log, 3>log, 4 — объясните почему\.
T а ‘ t 2 /
При решении более сложных примеров, кроме использования свойств
логарифмической функции, придется производить различные преобразо-
вания.
53 ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
Пример 9. (МГУ. химфак, 1969). Без таблиц определить, что больше:
Iog5080 или 1ор80640?
Решение. Максимально упростим заданные логарифмы и при-
ведем их к одному основанию:
lofe.80-1+^
2 3
Остается сравнить числа . ^ и ‘ ^. Но Iog220>0; Iog280>0, a
21og280-log26400<31og220-log28000. Поэтому i-i^<i^5f то есть
Iog2080<log80640.
Пример 10. (МГУ, ф-т психологии, 1969). Не пользуясь таблицами,
доказать, что Iog37;>log727.
Решение. Так как log, 27 = 3 log7 3 = -^—j и Iog37>0, то до-
статочно доказать, что 1ойз7>3 или log37>V3, или 7>3*’5.
Попробуем подобрать судобное» приближение для иррационального пока-
зателя степени. Именно, используя тот факт, что V3< 1,75 = -^-, срав-
7
ним 7 и З4, то есть 7* и З7. Из неравенств 7*=2401>37=2187 следует
7>34 >Зкз,а потому Iog37>log,27.
Пример 11. Без таблиц определить, что больше: Iog67 или logiS17?
Решение. Приведение к одному основанию ничего хорошего, оче-
видно, не дает. Однако этот пример решается проще двух предыдущих. За-
метим, что I<log67<2, I<log1317<2. Сравним тогда числа
log5 7 — 1 — log6 7 — log5 5 = log5 -L
и
logI317- 1 — log18 17- log„13 = logu-jj.
Ho logs^-> log,3-^-> Iog13|j (объясните почему), а тогда
Iog57>log1317.
Пример 12. Доказать, что при любом натуральном п>\
Решение. Очевидно, что —^— = 1 + —> п]Г { — 1 + ТГТТ ¦
этому, используя свойства логарифмической функции, имеем (при п>1)
±1> lo&+1 l> lcgn+1 i.
Преобразуя левую и правую части, сразу получаем, что
Отсюда, например, следует, что
Iog23>log34> … >logft+1
54 ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
Пример 13. (МГУ, филфак,
1969). Доказать,- не пользуясь таб-
лицами, что log.r3>log35.
Решен и е. Непосредственно
применить метод, использованный
в двух предыдущих примерах, не
удается (убедитесь в этом). Поэтому
поступим так: log.,.3- Iog827;
С I ОС -‘ -^ 25
log3o iog925, a -g—-> -9-.
27 27 25
Далее, log8 -5- > log» -^- > log9
11ЛН Iop827—I>log925—I, откуда
I3l5
Упражнения
Упростить следующие выражения:
‘««
3 Vlogn b i- logb a+2 • logefc a — log/ ft.
Вычислить без помощи таблиц:
5. (МГУ. ф-т психологии, 1971).
log, 135 log3 5
6. Вычислить 1ор6 32. если log,^ «.
7. Вычислить log.,0,1Я, если Ig 2 а.
Ig3-fe.
8. Вычислить logz-124, если loge15 a,
logI818 -.(J.
Без помощи таблиц определить, что
больше:
9. log:>3 или log , 5?
Т
10. Iog45 или log , -gg- ?
Тс»
П. log&7 или logB3?
12. Iog43 или logs&?
13. (МГУ, мехмат. 1971). 3 logle 1862-г
-?-log,e 1866 или Iog2 1863?
14. (.МГУ, химфак. 1969). logl8S 1323
или loge3 147?
15. (МГУ, ф-т психологии, 196Э). Дока-
зать, не пользуясь таблицами, что log, I6>
>log,e 729.
16. (М1У, филфак, 19E9). Доказать, не
Пользуясь таблицам», что 1<>ц., N >log7 18.
ЗАДАЧИ
1. Найти вес треугольни-
ки с целочисленными сторо-
нами, площадь которых вы-
ражается к1 ¦ же числом, что
и периметр.
2. На плоскости даны два
непараллельных отрезка А В
и CD- Пос роить такую точ-
ку Р, что треугольники РАВ
}i PCD подобны, причем уг-
лы АР В и СРВ равны.
3. Дгн треугольник ABC.
Построить такую точку .11.
что если i4|. В], Ct — точки
пересечения прямых ВС и
AM. С А и ВМ, А В и СИ.
то М является центром тя-
жести треугольника AlBlCl.
Обобщить задачу на слу-
чай, когда М — центр тя-
жести системы .«данных масс
тА’ ИВ’ ‘»с-помещенных в
точках Л,, В,. С\.
4. Дан треугольник ABC.
На его высотах отложены от-
резки АА1ъ В fit, CCt. имею-
щие соответственно длины /.
, п. Найти плошадь тре-
угольника Л,Й,С,.
о. Доказать, что для лю-
бого треугольника справед-
ливо неравенство рг — Ьс^>
> Si/З (а. Ь,с — длины сто-
рон, р — полупериметр, S —
площадь треугольника).
6. Дин треугольник ABC
Проведем окружность с цент-
ром А н радиусом, равным
высоте AD. и прямую через
точки пересечения «этой ок-
ружности со сторонами А В
и АС. Диалогичное построе-
ние выполним для двух дру-
гих вершин треугольника.
Доказать, что получившиеся
прямые пересекаются в таких
точках А,. В,. С,, что
1) точки At. В,. С, лежат
на биссектрисах углов А, В,
С треугольника ЛВС;
2) треугольник А^ВХС\ по-
добен треугольнику, верши-
нами которого являются точ-
ки касания сторон треуголь-
ника ABC с вписанной ок-
ружностью;
3) центр окружности, впи-
санной в ABC, является точ-
кой пересечения высот тре-
угольника AlBlCl.
