Home » Физика в школе » Архимед ПРИЛОЖЕНИЯ

Архимед ПРИЛОЖЕНИЯ

Архимед ПРИЛОЖЕНИЯ

Главная страница Архимед

I. Современное доказательство основного
соотношения, характеризующего параболу

Так как соотношение (2), приведённое на стр. 36,
играет основную роль в решении рассматриваемой задачи,
то мы приведём его вывод, доступный для лип, владеющих
началами высшей математики (вывод Архимеда,
хотя и элементарен, но значительно сложнее).

Книгу полностью с формулами смотрите ниже

Если мы отнесём параболу, как обычно, к её главному
диаметру ОХ и касательной О Y в вершине, как к осям
координат (черт. 4), то её уравнение будет иметь вид:
p X ^ Y 2, (I)
где р есть коэффициент, характеризующий денную параболу.
Из произвольной точки М(а, Ь) параболы проведём
прямую МН, параллельную главной оси. хорду ММ, перпендикулярную
к той же оси, и касательную MB к параболе:
наконец, из произвольной точки Е этой касательной
проведем прямую £ 0 , параллельную главной оси, которая
пересечёт параболу и хорду соответственно в точках J и О.
Теперь перенесём начало координат в точку М, направив
координатные оси в обратные стороны, т. е. за ось х-ов
примем МН, за ось у-ов примем MN; тогда первоначальные
координаты {X, Y) в новых координатах (х,у) выразятся
разностями X = а— х, Y — Ь—у . Если подставим
эти выражения в уравнение параболы (I) и примем во
внимание, что ра = Ь2, то приведём его к виду
r x ~ y ( 2 b — ? y f e

48

СТИРАЛЬНЫЙ ПОРОШОК за 55р. УЛЬТРА-КОНДИЦИОНЕР за 111р. Получйте в подрок при регистрации в Фаберлик

СТИРАЛЬНЫЙ ПОРОШОК за 55р.
УЛЬТРА-КОНДИЦИОНЕР за 111р.
Получйте в подрок при регистрации в Фаберлик

Дифференцируя последнее равенство по х, получим
Р ^ Ъ у ‘ ( Ь — у ) .
Уравнение касательной ME, проходящей^ через новое
начало (х — 0, _у = 0 ), имеет вид:
2Ьу = рх. (Ш)
Если поэтому обозначим МО (общую ординату точек
параллели Д ф через А, то абсцисса x t точки J на параболе
и абсциссахъ точки М на касательной из уравнений
(И) к (III) получатзначения
h>2b>h) „ 2hk
X t — ■ Р
так 4io — JC\ = J.U—- 7 и, следовательно,
*1 _ h
«} 2b— h ‘
Последняя пропорция, очевидно, и выражает равенство
Архимеда (2), приведённое в тексте, так как х х — J0,
x%— x l = EJ, h=*MQ, 2b — k~G№.
Строго говоря, теорема Архимеда шире; она остаётся
в силе, когда MN —произвольная хорда паоаболы; в общем
случае доказательство проводится совершенно так же
в косоугольных координатах;

49

Доказательство неравенства (3)*
приведённого на стр. 37

Рассмотрим для определённости трапецию Q2 (черт. 3).
Если бы груз Q2 был приложен в точке Н.2, то для его
уравновешивания в точке С понадобился бы вес Р а,
определяемый пропорцией
Р а : Q2 — АН2 : АС, и л и Ра : Q2 *s= АН2 : АВ,
С другой стороны, из’ свойства параболы, выражаемого
пропорцией (2 )(стр. 36), вытекает:
АН2 : АВ = H2R2: Н2Т2.
Если обозначим эго отношение через ^ то с одной
стороны, Р а = saQ2; с другой стороны (см. черт. 2 на
стр. 34),
H1F1 :H1T1 = H2R2 :H2T2 = ^, ^
т. е. верхнее и нижнее основания трапеции Р1И2 (f 2)
имеют одно и то же отношение соответственно к верхнему
и нижнему основаниям трапеции ТЛН2 (<?2), а так
как обе трапеции имеют общую высоту НХН2, то f 2 = ftQa.
Это значит, что сила Р а выражается весом (или площадью)
трапеции/8. Повторим подробнее: если бы вес трапеции Q2
действовал в точке Н2, то сила Р 2. уравновешивающая
его на другом конце рычага (в точке С), выразилась бы
площадью / 2. Но центр тяжести трапеции Qa, в котором
можно действительно считать приложенной силу, равную
её весу, отстоит от прямой Л Г на расстояние, меньшее ЛН2.
Поэтому сила’ Р а, действительно уравновешивающая
в точке С рычага трапецию <?а, меньше / 2 (т. е. Р2 < / 3).
Таким же образом докажем, что Р а > га. Совершенно аналогично
этому установим общее неравенство (3), а вследствие
этого и неравенство (4).

50

КРАТКИЕ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

I. Перечень сочинений Архимеда

а) Сочинения, дошедшие до нас:
1. Шр! aipsipai %а\ xuXtvopou a’t р’ — Две книги о шаре й цилиндре.
2. КОхХоо р.гтрТ|01{ — Измерение круга.
3. Пер1 ъычоаЫшч *ai stpaipoeioemN — О коноидах и сфероидах.
4. Перл Ш*и>ч — О спиралях.
5. ’ЕяоЫоюч boppoicioiv а\ р’ — Две книги о равновесии плоскостей.
6. vT«pp,!tY]s — Исчисление песка.
7. Тетрауотар-о? сарароХт^ — Квадратура параболы.
8. Пун t«jv цт^а’п’/.йч jtpos ’EpotoadEVYjv ifoboi — Послание
Эратосфену о методе обработки механических предложений.
9. Пер! ion оуоа\х*ча>’1 а’, р’-—Две книги о плавающих телах.
10. Отрывки из £xo[iay_io-v (игра).
б) Сочинения, дона с не дошедшие:
1. Сочинение о многогранниках.
2. Книга арифметического содержания, называвшаяся, пови-
димрму, .’Ардсой (принципы, начала).
Ъ. Сочинения по механике; одно из них,, повидимому, называлось
Пер! toyiv — «О весах» или «О рычагах».
4. KexoKtptrd (сочинение, посвящённое отражению и преломлению
световых лучей).
5. ibpi rfatpemofias — Об изготовлении шаров.

II. Важнейшие издания сочинений Архимеда

а) Издания на греч!еском и латинск ом языках:
1. Базельское издание 1544 (так называемое editio princeps—
главное издание) — Archimedis opera quae quidem exstant
omnia nunc prlmum graece et latine in lucem edita. Adiecta quoque
sunt Eutocii Ascalonltae coramentaria item graece et latine nunquam
autea excusa. Basel, 1544. *
2. Парижское издание — Archimedis opera quae exstant graece
et latine novis demonstrate et commentarlis illustrata. Paris, 1615

51

3. Оксфордское издание — ’Aey.1!»^ 00* ‘с® -июСореча pstd тшч
EuxOT.loir АогаХштоо ujcojjiYf]|j,dT(oN‘ Archimedis q u a e _ supersunt otfinia
cum Eutocii Ascalonitae commentariis. Ex recensione J. Torelti,
Veronensis cum nova versione latine. Oxford, 1792.
4. Лейпцигские издания— Archimedis opera omnia cum commentariis
Eutocii. E codice Florentino recensuit, latine vertit notisque
illustrauit I. L. Heiberg. Leipzig, 1880—1881. Второе издание
1910—1913 гг.
б) И з д а н и я с о ч и н е н и й А р х и м е д а на р у с с к о м
я з ы к е:
А р х и м е д , Две книги о шаре и цилиндре, измерение круга
и леммы. Перевод с греческого Ф. Петрушевекого. СПБ, 1823.
А р х и м е д , Псаммит или исчисление песка в пространстве,
равном шару неподвижных звёзд. Перевод с греческого Ф. Петру-
шевского. СПБ, 1824.
А р х и м е д, Исчисление песчинок (Псаммит). Перевод, краткий
обзор работ Архимеда и примечания Г. Н. Попова. М. — Л.,
1932.
И. Г е й б е р г, Новое сочинение Архимеда. Послание Архимеда
к Эратосфену о некоторые теоремах механики. С предисловием
И. Ю. Тимченко. Одесса, 1909.
А р х и м е д , Измерение круга. В книге «О квадратуре круга»
(Ф. Рудио). 3-е изд. М .— Л., 1936.
А р х и м е д , О плавающих телах. В сборнике «Начала гидростатики
» (Архимед, Стэвин, Галилей, Паскаль), М. — Л„ 1932
(2-е изд., 1933).
в) И з д а н и я в п е р е в о д а х на н о в ы е я зык и .
1. Нюрнбергское издание — Des unvergteichlichen Archimedis
Kunst-Bilcher, fibersetzt und erlauterf von J. C. Sturmio. Nlirnberg,
1670.
2. Oeuvres d’Archimede, traduites litteralement avec un commentaire
par F. Peyrard. Paris, 1807.
3. The works of Archimedes. Edited by T. L. Heath. Cambridge,
1897. Имеется немецкий перевод: Archimedes Werke,
Obersetzung von F. Klein. Berlin, 1914.

Статистика


Яндекс.Метрика