Home » Физика в школе » Архимед (стр. 28-30)

Архимед (стр. 28-30)

Архимед (стр. 28-30)

Главная страница Архимед

Вообще в истории науки очень, трудно указать идеи
или методы. большого значения, широкого применения^
открытие, и провозглашение которых можно было бы
приписать только одному человеку. Такие идеи развёртываются
постепенно, возникая из небольшого ядра и разрастаясь.
в своих приложениях. Метод исчерпывания ,в простейших,
но важных случаях получил применение ещё до
Архимеда; “по существу, им пользовался уже Евклид
в XI—XII книгах «Начал», и то рассуждение, которое
изложено выше, служащее в работе «Измерение круга»
средством для приближённого вычисления отношения длины
окружности к диаметру, составляет в исследованиях Архимеда
только первый шаг. Этот метод Архимед широко
развил, дал ему разнообразные, очень углублённые приложения,
получил при помощи его столь же замечательные,
сколь и ценные результаты, в которых, как уже сказано,-
с полным основанием видят предвосхищение интегрального
исчисления — важнейшего метода современной математики.

—-

Чём было вызвано появление метода исчерпывания,
каковы геометрические приёмы его приложения, каковы
специфические формы его применения, к которым прибегает
Архимед, каково развитие, которое он получил после
Архимеда — в средние веда, в наше время ? Дать хотя бы
краткие ответы на эти вопросы,— значит действительно
выяснить главное значение творчества Архимеда в области
геометрии; постараемся это сделать.
Чтобы ввести читателя в круг этих идей, остановимся
на вычислении площадей и объёмов. Учение о площадях
и объёмах развёртывается в геометрии следующим образом.
На основании учения о пропорциональности доказывается,
что отношение площадей двух прямоугольников,
даже вообще двух параллелограммов, равно произведению
отношения оснований на отношение высот (эллинские геометры.
говорили: равно сложному отношению, составленному
из отношения оснований и отношения высот). Благодаря
этому при надлежащем выборе- единицы площади
(если для измерения площадей за единицу принять площадь
квадрата, сторона которого равна единице длины)
число, выражающее площадь параллелограмма, равно

стр. 28

произведению чисел, выражающих длину основания и
длину высоты. Древние избегали этой арифметической
формулировки, но по существу приведенная выше формулировка
в геометрических отношениях ей эквивалентна,
и они практически ею действительно пользовались. Площадь
треугольника равна половине площади параллелограмма,
имеющего то же основание и ту же высоту;
многоугольник разбивается на треугольники, и его площадь
равна сумме площадей составляющих треугольников;
в различных частных случаях результат получает более
простое выражение. К этому, по существу, сводится всё
учение об измерении площадей прямолинейных фигур;
элементарная простота этого учения, таким образом, имеет
свой источник в том, что всякий многоугольник может
быть составлен из треугольников— из конечного числа
частей, отсекаемых от квадрата прямыми линиями *). Но
это исходное положение отказывается служить, когда
требуется разыскать площадь фигуры, ограниченной криволинейным
контуром, и прежде всего — площадь круга.
Круг нельзя составить из конечного числа прямолинейных
•фигур (треугольников, квадратов и т. п.). Для определения
площади криволинейной фигуры нужно найти иной
путь, и древние этот путь нашли. Точно установить, кому
Собственно принадлежит изобретение этого метода, невозможно;
сам Архимед приписывает его Евдоксу. Сущность
его мы выясним на задаче об определении площади круга.
Это тем-удобнее, что приём, который для ч этого применяется,
несущественно отличается от того, которым Архимед
воспользовался для приближённого вычисления ртно-
шения длины окружности к её диаметру.
В круг вписываете? правильный многоугольник, например—
как у Архимеда — шестиугольник. Он занимает
часть круга; но остаются шесть сегментов, ограничиваемых
дугами круга и сторонами многоугольника. После этого
в круг вписывается правильный двенадцатиугольник путём
надстройки равнобедренного треугольника на каждой
‘ *) Заметим, что это рассуждение имеет дефект: нужно
доказать, что сумма площадей треугольников, на которые разбит
многоугольник, не зависит от способа^ разбиения. (См. брошюру:
В. Ф. К а г а н, О преобразовании многоугольников,
Москва, 1933.)

стр. 29

стороне шестиугольника; этот двенадцатмугольняк охватывает
уже ббльшую часть круга-»-площадь остающихся
Сегментов уменьшается. После этого вписывается двадцати-
четырёхугольник. Повторяя достаточное числа, раз этот
Приём, можно достигнуть того, что любая заданная. точка
круга окажется внутри вписанного многоугольника. В этом
смысле вписываемые многоугольники как бы «исчерпывают»
круг. Отсюда и название, возникшее в средние века,
«метод исчерпывания». Выражаясь современным языком,
можно сказать, что площадь круга представляет собой
предел площадей вписанных многоугольников, когда
число их сторон бесконечно возрастает; но эта терминология
древним, конечно, ещё чужда.
Схема, по которой Архимед устанавливает площадь
круга, заключается в следующем. Он формулирует основное
предложение: площадь круга равна пло-
щадя п р ямо у г о л ь н о г о тре у г ольника , один
катет, к о т о р о г о равен окружмост н , а дру г
ой—- р а д и у с у круга. Это и даёт дяя площади
круга значение иг8, которое всегда приводится в наших
учебниках; но Архимед, как и все античные геометры,
даёт этому не арифметическое, а геометрическое выражение.
Его доказательство распадается на три частя. Пользуясь
не только вписанными, но и одноимёнными описанными
правильными многоугольниками, Архимед показывает,
во-первых, что площадь круга больше площади
каждого вписанного и меньше площади каждого описанного
многоугольника; во-вторых, что разность между
площадью описанного и площадью вписанного многоугольников
может быть сделана меньше любой заданной величины
*); и, наконец, после этого он устанавливает, что площадь
круга равна площади треугольника, о котором идёт
речь; он выполняет это рассуждением от противного, т. е.
доказывает, что площадь круга не может быть ни больше «и
меньше площади указанного-треугольника,
*) Если примем во внимание, что площадь вписанного таким
образом многоугольника с увеличением числа сторон постоянно
возрастает, а площадь описанного многоугольника постоянно убывает,
то станет совершенно ««Oj что та и другая площади
имеют общий предел.

стр. 30

Статистика


Яндекс.Метрика