Home » Физика в школе » Архимед (стр. 31-33)

Архимед (стр. 31-33)

Архимед (стр. 31-33)

Главная страница Архимед

Вообще в истории науки очень,

Таков замысел метода исчерпывания. Как’уже’укаэано,
Архимед чрезвычайно углубил я расширил применение
этого метода. В.работе «О шарё и цилиндре», которую
считают самым ранним из дошедших до нас сочинений
Архимеда, он доказывает, что поверхность шара равна
четырём- площадям большого круга, устанавливает объём
шара и шарового сектора, давая этому такое выражение;
объём шара в четыре раза превышает объём конуса, основание
которого равно площади большого круга этого шара,
а высота равна его радиусу; он устанавливает также объём
и боковую поверхность цилиндра и прямого круглого конуса,
а в других сочинениях, о которых речь будет ниже,
далеко расширяет эти результаты.
Таким образом, размер применения метода исчерпывания
у Архимеда оставляет далеко позади результаты, полученные
до него Евдоксом к, быть может, другими авторами;
то были только первые’шаги по этому пути, которые
Архимед расширил и углубил. Метод исчерпывания
становится орудием, посредством которого Архимед вычисляет
цлощадни-объёмы, ограниченные различными кривыми
линия*» и поверхностями.
• Трудность задачи, очевидно, заключается в том, чтобы,
выражаясь нашим языком, найти предел последовательных
приближений искомой величины. В своих работах о шаре
и цилиндре, о сфероидах и коноидах, о спиралях Архимед
идёт к этой цели чисто геометрическим путём, специфическими
средствами в каждом частном случае. Но Архимед
хочет найтц для этого общий приём; это ему, конечно,
не удалось. Задача эта постепенно была выполнена средневековыми
геометрами— Кавальери, Валлисом и другими—-
и получила первое заверитение в трудах Лейбница и Ньютона.
Только в XVII веке были установлены методы дифференциального
и интегрального исчислений, которые Архимед
частично несомненно предвосхитил. Но именно/изыскание
общих средств для установления тех предельных значений,
которыми выражаются устанавливаемые им величины, явно
составляет основную задачу, которую Архимед себе ставил.
Не разрешив этой задачи полностью, Архимед всё
же нашёл приём, приводящий его к цеди в очень большом
числе случаев, и притом таких случаев, в которых
выполнить требуемое вычисление было особенно трудно,

стр. 31

за которые никто из его предшественников даже не’ решался,
приняться. И наиболее замечательно то, что основной
замысел Архимеда заключается в применении, к этим геометрическим
вычислениям средств механики (статики).
В наиболее простом виде этот замысел осуществляется
в работе «Квадратура параболы». Попытаемся изложить
здесь эту работу, проследить ход рассуждений Архимеда.
По существу она нетрудна. Познакомившись с основным её
замыслом, с ходом рассуждений, читатель не только уяснит
себе самый метод исчерпывания, но и поймёт приём
Архимеда, основанный на механических соображениях. Но
именно по этой причине нам нужно предварительно в немногих
словах остановиться на другой работе Архимеда:
«О равновесии плоских фигур».
Это было первое исследование Архимеда, посвящённое
началам механики, вернее — Элементам статики. Оно состоит
из двух частей, которые посвящены разысканию
центров тяжести плоских фигур: в первой части Архимед
устанавливает центры тяжести простейших прямолинейных
фигур — параллелограмма, треугольника, трапеции,
во второй — центры тяжести различных сегментов параболы.
Таким образом, в первой части Архимед доказывает,
что центр тяжести параллелограмма лежит в пересечении
диагоналей, центр тяжести треугольника — в пересечении
его медиан. Эти результаты не были вполне
новыми, этими вопросами занимались до Архимеда, в
частности, Аристотель. Но соображения Аристотеля
далеко не вполне убедительны. Архимед первый установил
относящиеся сюда предложения с безукоризненной
точностью (он дал необходимую для их вывода аксиоматику),
а главное, он дал им замечательные приложения.
Одним из таких столь же простых, как и блестящих
приложений, и является работа «Квадратура пара-*
болы».

П а р а б о л а — хорошо известная плоская кривая. Она
имеет единственную ось симметрии ОЛТ (черт. 1), называемую
главной осью или главным диаметром. Основное
свойство параболы, которым она определяется и бдаго-

стр. 32

даря которому она пользуется такой известностью, заключается
в следующем. Между ветвями параболы на главной
оси есть такая точка F, называемая фокусом, что все
лучи FM, выходящие из этой точки и падающие на параболу,
отражаются (если, конечно, вообразить, что кривая обладает
зеркальными свойствами) в одном направлении ■—
параллельно главной
оси, и обратно: все
лучи, падающие на параболу
параллельно её
оси, после отражения
проходят через фокус
*). Это свойство
влечёт за собой различнее
другие соотношения
между элементами
параболы; одним
из таких соотношений
и воспользовался
Архимед для так
называемой квадратуры Черт. 1,
параболы, иначе говоря,
— для разыскания площади сегмента параболы, т. е. площади,
содержащейся между кривой и какой-либо её хордой.
Чтобы несколько упростить изложение, мы здесь ограничимся
тем случаем, когда хорда перпендикулярна к оси, хотя по
существу это мало меняет дело.
Итак, положим (черт. 2), что хорда параболы АВ перпендикулярна
к её оси ОН. Следуя Архимеду, в конечной
точке В дуги параболы проведём к ней касательную ВТ
до встречи с прямой АТ, проходящей через другой конец
хорды АВ параллельно оси ОН; образуется прямоугольный
треугольник АВТ, Замечательная теорема, установленная
Архимедом, заключается в том, что площадь
параболического сегмента, ограниченного хордой АВ и
дугой ЛОВ, составляет ровно одну треть площади треугольника
АВТ.
V.
*) Указанное свойство параболы находит себе практическое
применение при устройстве’ параболического зеркала, поверхность
которого образуется вращением параболы вокруг её Главной
оси.

стр. 33

Статистика


Яндекс.Метрика