Home » Физика в школе » Архимед (стр. 34-36)

Архимед (стр. 34-36)

Архимед (стр. 34-36)

Главная страница Архимед

Рассуждения, которыми Архимед это устанавливает и
в которых, как уже сказано, ясно проявляются два основ-
ных его метода, заключаются в следующем.
— Хорду АВ разделим на п равных частей (на черт. 2
« * » £ ) в точках Ни Н±, Я8, . . Н„ ( s S ) и чбрез них

проведём прямые НХТХ, ЯаГй, Я3Г3, . . . , параллельны^
главной оси,—-побочные оси кривой, как говорят проще.
Они встречают параболу i точках RUR%, R9, . . . , Rn-v ака*~
сательную в точках Tlt 7^, 7*8, . . и разбивает тре-
угольник АВТ на полосы — тралении АТТ}НХ,
ЩТ^ТЬНЪ, к о т о р ы е для краткости обозначим че-

стр. 34

рез Qp Qa, Q3, Qn *); теми же буквами будем обозначать
их площади. Если теперь соединим точку В с точками
R u Ra, R3, . . . прямыми BRlf BR2, BR3, . . . , то
они с осями тоже образуют два ряда меньших трапеций:
(FqHJ, (FiHg), (FaH3) , . . . , выходящих за пределы
сегмента (обозначим их через / и / а, / 3, . . они на черт. 2
заштрихованы горизонтально), — и трапеции (/?jW2), (ЩН3),
(RgHJ, . . . , входящие целиком внутрь сетмента (они на
черт. 2 заштрихованы вертикально; обозначим их через
ги га, г 3, . . . ) . Совершенно ясно, что. искомая площадь
$ сегмента ЛОВА параболы содержится вежду суммами
площадей входящих и выходящих трапеций:
rj + ra + • • • < *s < / i ‘+ ’/ 2 + v • + /» • А )
Когда число « частей, на которые мы дежам хорду А В,
неограниченно возрастает, эти две суммы неограниченно
сближаются; очевидно, площадь сегмента У служит общим
пределом суммы входящих и суммы выходящих трапеций.
Эта терминология, как мы уже знаем, Архимеду чужда;
но он доказывает, что разность между суммой выходя-
црх и суммой входящих трапеций становится меньше
любого заданного значения, а это и приводит к тому,
что площадь параболы является указанным пределом.
Читателю будет легче усвоить рассуждения Архимеда,
если мы будем пользоваться современной терминологией и
скажем, что для разыскания площади рассматриваемого
сегмента нужно было разыскать значение этого общего
предела.
Все предыдущие рассуждения по существу, конечно,
ещё вовсе не предполагают, что дуга, ограничивающая
сегмент, принадлежит параболе; они остались бы справедливыми
и в том случае, .если бы эта дуга принадлежала
любой из многих кривых, идущих от точки А к точке В.
Существенно то, что Архимед здесь, как и во многих
других случаях, пользуется методом, исчерпывания, т. е.
постепенного заполнения площади, ограниченной криволинейным
контуром, площадями прямолинейных фигур,
сумма которых в пределе даёт площадь искомой криволинейной
фцгуры. Но для разыскания этого предела, конечно,
нужно воспользоваться специфическими свойствами
*) Последняя из них -представляет собой треугольник,

стр. 35

рассматриваемой граничной кривой, в данном случае —
параболы, и изыскать метод, которым находится это предельное
значение.
Как мы уже упомянули выше, парабола допускает различные
определения; она может быть охарактеризована различными
соотношениями между теми или другими её элементами.
Архимед уже имел в своём распоряжении несколько соотношений
такого рода, найденных его предшественниками:
уже Евклид составил сочинение о конических сечениях,
к числу которых принадлежит и парабола; занимался этим
ещё в начале IV столетия до н. э. Аристей; но эти их
труды до нас не дошли. Опираясь на полученные ими
результаты, Архимед устанавливает новое соотношение,
приспособленное к его построению (черт’ 2). Именно, он
доказывает, что в случае параболы каждая точка делит
отрезок Ht Tiy на котором она лежит, в том же отношении,
в каком соответствующая точка делит хорду АВ *)г
‘ RtTt *= . (2)
После этого он переходит к главной задаче-— к разысканию
площади сегмента, т. е. общего предела сумм входя-
щих и выходящих трапеций; для решения этой задачу он
прибегает к средствам механики.
Хорду АВ он представляет себе горизонтальной, продолжает
её в другую сторону на расстояние АС == АВ
(черт. 3) и рассматривает САВ как равноплечий рычаг
с опорой в точке А. Трапеции Qu Qz, Q3, . . . , Qn он
представляет себе тонкими однородными пластинками,
вес£ которых пропорциональны их площадям и, следовательно,
в вопросах статики могут быть заменены их площадями;
сообразно этому он говорит о площади треугольника,
трапеции, как о соответствующем весе или грузе.
Теперь Архимед ставит себе задачей разыскать грузы
Pv Р г, Ps, . . Рп, которые, будучи приложены на другом
конце рычага, в точке С, могут уравновесить соответствующие
веса (трапеции) Qt, Qz, Q3, Qn. Опираясь
на соотношение (2), характеризующее параболу,
*) Мы приводим доказательство этого основного едртнщи£,-<
ния в виде приложения I к тексту (стр. 48),

стр. 36

Статистика


Яндекс.Метрика