Home » Физика в школе » Архимед (стр. 40-43)

Архимед (стр. 40-43)

Архимед (стр. 40-43)

Главная страница Архимед

воря , не даёт действительного доказательства. Очевидно;
если мы при помощи этого метода предварительно получим
некоторые сведения об исследуемых вопросах, то
найти доказательство будет легче, чем это можно было бы
сделать без предварительных сведений».
И действительно, Архимед этим новым механическим
способом даёт здесь новые доказательства ряда предложений,
которые им уже были доказаны в других сочинениях,
Так, он этим способом вновь доказывает, что поверхность
шара равняется учетверённой площади большого
круга, что объём цилиндра, высота которого равна диаметру
основания, в полтора раза превышает объём вписанного
в него шара. Это последнее предложение Архимед
особенно ценил; именно к этому предложению относится
тот чертёж/который он завещал выгравировать на своей
гробнице. В этом сочинении Архимед даёт новое доказательство
теоремы о площади параболы, а затем обращается
к задачам гораздо более трудным. Так, он находит
поверхности и объёма сегментов эллипсоида вращения,
параболоида вращения, определяет центры тяжести этих
тел и поверхностей, в частности, центр тяжести полу-
шара и сегмента эллипсоида вращения, отсечённого плоскостью,
перпендикулярной к оси вращения.
Все эти вычисления, по существу выполняемые интегрированием,
действительно произведены единым методом.
Таким образом, Архимед несомненно пришёл к довольно
общему методу интегрирования, к которому приводится
разыскание поверхностей, объёмов и центров тяжести тел
вращения, ограничиваемых поверхностями второго порядка.
Можно чётко формулировать, в какой мере он с этими 4
задачами справился: он осуществил вычисление во всех
тех случаях, когда задача не приводит к эллиптическим
интегралам.
Таким образом, совершенно ясно, что Архимед в этой
работе заложил начала интегрального исчисления, что
самая задача интегрирования была ему совершенно ясна,
что он с нею справился в довольно сложных случаях.
Но понадобилось около двух тысяч лет для того* чтобы
были созданы общие методы интегрирования, к простейшим
применениям которых приводили задачи Архимеда.
Если «отцами» современного интегрального исчисления

стр. 40

‘были Лейбниц и Ньютон, то родным «прадедом» их несомненно
был Архимед.
Обращаясь ко второму сочинению Архимеда, обнаруженному
Гейбергом в открытой им рукописи — Гидростатике,
или, воспроизводя название точнее, «О плавающих
телах», отметим, что это — одно из самых важных, некоторые
считают — самое важное из сочинений Архимеда.
Нужно, однако, сказать, что эту работу знали и раньше,
до её открытия Гейбергом, правда, в латинском переводе,
сделанном доминиканским монахом Мёрбеке (W. МбгЬеке).
Но так как этого сочинения не было в рукописи Валла
(см. стр. 20), то царило сомнение, принадлежит ли оно
действительно Архимеду. Когда Гейбергом был обнаружен
его греческий текст в манускрипте, содержавшем и другие сочинения
Архимеда, эти сомнения исчезли. Более того, оно
и по сей день вызывает особенно глубокое удивление,
потому что содержит важные открытия, в которых Архимед
действительно не имел себе предшественников.
Наибольшее значение имеют предложения, на которых
была построена гидростатика, а в настоящее время и аэростатика.
Приведём эти предложения фундаментального значения.
Предложение 3. Тела, к о т ор ые при р а вном
о бъёме имеют тот же вес, что и н е к о т о р а я
ж и дк о с т ь , б удучи помещены в э ту жидко с т ь ,
п о г р ужают с я в неё т а ким обра зом, что не
выс т у па ют над её п о в е р х н о с тью, но и не
с пу с ка ют с я ниже.
Предложение 4. Тело, боле е лё гкое , чем
жидко с т ь , бу д у чи в ней помещено, не погру-
жа е т ся в жид к о с т ь целиком,— н е к о т о р а я
щасть его выс т у п а е т над п о в е р хно с т ью.
Предложение Ъ. Тело, бо л е е лё гкое, чем
жидко с т ь , будучи в ней помещено, по г р у жа
е т с я на с т о л ь к о , что вес выт е с не нной
жи д к о с т и р а в е н весу т е л а .
Предложение 6. Ес,ли тело, боле е лё гкое ,
чем жид к о с т ь , на с ил ь но * по г р у зим вну т р ь
этой жид к о с ти, то оно в ы т а л к и в а е т с я в в ерх
с силой, р а вной р а з н о с т и между ве сом выт
е сн е нн о й жи д к о с т и и ве сом тела.

стр. 41

Предложение 7. Т е л о, к о т о р о е т я ж е л е е ж и д к о
сти, будучи п о г р у ж е н о в э т у жид к о с т ь ,
ид ё т ко дну и, б у д у чи в з в е ш е н о в с амой
жид к о с ти, т е р я е т в с в о ём в е с е столько»
с к о л ь к о в е с ит в ы т е с н е н н а я им жи д к о с т ь .
Совокупность этих теорем, в частности 5 и 7, сохраняет
по настоящее время название з а к о н а Архимеда.
Для построения современной гидростатики оказалось
по существу необходимым только прибавить закон, открытый
Паскалем, который однако, нужно сказать, потенциально
содержится уже в предложениях Архимеда.
Большой известностью пользуется легенда, рассказанная
Витрувием о том, при каких обстоятельствах эти
законы были открыты. Сиракузский царь Гиерон заказал
себе корону из чистого золота. Когда корона была изготовлена,
возникло сомнение, не содержит ли она в себе
некоторого количества серебра. Гиерон потребовал от
Архимеда, чтобы он указал способ выяснить эти сомнения.
Архимед долга размышлял об этой задаче; однажды,
находясь в ванне и почувствовав, как вес его тела уменьшается
при погружении, он уяснил себе основной закон,
носящий в настоящее время его имя. В восторге он выскочил
из ванны и скриком «еортрса» («эврика» -—- нашёл)
нагой побежал по улицами Весьма вероятно,- что»открытие
действительно произошло при купании. Так как закон
Архимеда даёт возможность, как известно, определять
удельный вес тела, то ключ к ответу на вопрос
Гиерона был найден; но вместе с тем был найден один
из основных законов, на котором в настоящее время
строится гидродинамика и аэродинамика.
Невидимому, в тесной4 связи е этими размышлениями
Архимеда находится и открытый им гидравлический вийт.
Конечно, винты, которые теперь приводят в движение
•корабли, морские и воздушные, представляют собой далеко
идущее усовершенствование винта Архимеда; но замысел
этого основного движителя* современных плавательных и
летательных сооружений принадлежит Архимеду.
Мм не будем останавливаться на третьей работе, обнаруженной
Гейбергом; это— так называемый «Стомахион»
(Еторауюу) — нечто среднее между геометрической задачей о
делении фигуры на чаети и забавой. Она к тому же до—

стр. 42

шла до нас только в отрывках и не имеет научного значения,
как и приписываемая Архимеду «задача о быках».
Мы остановимся теперь ещё на одном вопросе,
именно—• рассмотрим логическую базу, на которой Архимед
строит свои выводы, аксиоматику Архимеда.
Сочинение о шаре и цилиндре начинается, как обыкновенно
(см. стр. 19), письмом к Досифею. Письмо заканчивается
пятью аксиомами, которые Архимед предпосылает
этой основной своей работе; он явно считает
необходимым дополнить ими аксиомы и постулаты Евклида.
Приведём здесь перевод этих аксиом.
1) Из вс ех линий, к о т о ры е имеют те ж ё
концы, пр яма я е с ть самая корот ка я .
2) Из д р у г и х линий, р а с п о л о ж е н н ы х в
одной п л о с к о с т и и имеющих о бщие концы,
две не равны, е с ли обе они о б р ащ е н ы выпу к л
о с т я м и в одну и ту же с т о р о н у и е сли одна
из них либ о в п о л н е о б ъ е м л е т с я другой,
либ о же ч а с т ью о б ъ е м л е т с я , а в д р у г и х частях
со впа д а е т с ней; и в э том с л у ч а е о б ъ емлющая
б о льше объем л емой.
3 ) Т о ч н о т а к ж е из по в е р х н о с т е й , к о т о р ы е
имеют общую границу, л е ж а щую в о д н о й
п л о с к о с т и , п л о с к а я п о в е р х н о с т ь меньше
вс ех ос т а л ьных .
4) Из д ру гих п’овер х н о с т е й, имеющих об-
щуда п л о с кую г р а н и ц у , д в е не равны, если
обе они о б ращены вы п у к л о с т я м и в одну и
т у ж е ст орону, и одна о б ъ е м л е т другую; при
э том о б ъ е м л ю щ а я п о в е р х н о с т ь б о л ьше
о б ъ ем л ем ой.
5) Из н е р а в н ы х Линий, нер а вн ых по в ерх-
н о с т е й или н е р а в н ы х тел меньше е , б у д у ч и
п о в т о р е н ным д о с т а т о ч н о е ч и с л о раз, п р е в
з о й д ё т бол ьше е .
Эти постулаты Архимеду действительно необходимы
уже в первом предложении; утверждая, что периметр
многоугольника* описанного около круга, больше длины
окружности, Архимед опирается на первый из этих постулатов.
Точно так же, утверждая дальше, что поверх-

стр. 43

Статистика


Яндекс.Метрика