Home » Физика в школе » Архимед (стр. 44-47)

Архимед (стр. 44-47)

Архимед (стр. 44-47)

Главная страница Архимед

вой
поверхности цилиндра, а боковая поверхность призмы,
вписанной в цилиндр, меньше поверхности цилиндра,
Архимед ссылается на 3-й и 4-й постулаты.
Однако первые четыре постулата Архимеду нужны
потому, .что он не даёт точного определения того, чтб надлежит
разуметь под длиной кривой или под величиной
поверхности. В настоящее время эти определения точно
оформляются, и тогда все четыре первые аксиомы Архи-
-меда становятся излншвдми: их можно доказать. Так, например,
длина дуги кривой определяется следующим образом:
в эту дугу вписывается ломаная: линия и около той
же дуги (между теми же концами) ломаная линия описывается.
Когда число сторон каждой ломаной неограниченно
увеличивается, а самые стороны неограниченно уменьшаются,
то обычно (т. е. для значительного большинства
кривых, которые нам приходится изучать), периметры обеих
ломаных стремятся к общему пределу. Этот предел
и принимается за длину дуги рассматриваемой кривой.
При таком определения длины дуги первые две аксиомы
становятся излишними; содержащиеся в них утверждения
легко доказываются. Таким же образом, при надлежащем
определении величины поверхности допускают доказательства
третья и четвёртая аксиомы.
вовершеяш иначе обстоит дело с пятой аксиомой.
Читателю прежде всего нужно отчётливо уяснить себе
содержание этого постулата. Хорошо известен приём,
служащий для нахождения общей меры двух отрезков,
если таковая существует, или для установления точного
или приближённого отношения двух отрезков. Этот приём,
который теперь обыкновенно называют последовательным
делением или алгоритмом Евклида, имеется уже в «Началах»
Евклида (книга VII, предложение 2) *).
Приём этот заключается в том, что меньший отрезок
откладывается на большем столько раз, сколько он там
поместится. Иначе говоря, еели а — больший, a b — меньший
отрезок, то находится такое число л, что rib равно
или меньше а, и в то же время (я +-1) & больше а.
*) Евклид применяет его, собственно, к числам, но иллюстрирует
их отрезком.

стр. 44

Вопрос заключается, однако, в, том, с уще е т в у е т л и
такое число п. Другими словами, повторяя меньший отрезок
достаточное число раз, достигнем ли мы того, что превзойдём
больший отрезок?
Пятая аксиома Архимеда именно утверждает, что мы
этого всегда достигнем: п о в т о р я я д о с т а т о ч н о е
ч и с ло р аз мень ши й о т р е з о к, м ы п р евз о й д ём
бо л ьший. 4
Нужна ли эта аксиома? Нельзя ли обойтись без нее,
нельзя ли доказать содержащееся в пей утверждение?
Этот вопрос был подвергнут в текущем столетии тщательному
обсуждению.
Веронезе и /Гильберт показали, что введение такой
аксиомы безусловно необходимо. Было показано, что возможны
как арифметика, так я геометрия, в которых
эта аксиома не оправдывается (трансфинитная арифметика
и трансфинитная геометрия).
Мы не имеем возможности входить здесь в такие подробности,
которые бы это вполне выяснили. Мы только
отметим удивительную прозорливость Архимеда, который
усмотрел необходимость аксиомы, не только получившей
признание в, современной математике, но и играющей
в ней чрезвычайно важную роль.
Здесь будет уместно сказать об общем методе, которому
Архимед следовал при изложении своих работ.
Верный заветам своих предшественников — Евдокса, Аристотеля,
Евклида,—- Архимед признавал только выводы строго
доказанные, т. е, основанные на исходной аксиоматике —
на аксиомах Евклида, к которым он присоединил свои
собственные, перечисленные выше. Даже свой трактат по
гидростатике он основывает на двух постулатах, изложенных
в первой книге работы «О плавающих телах». Здесь
не место входить в обсуждение того, в какой мере постулаты,
на которых Архимед строил свои выводы, действительно
достаточны для логического обоснования этих
выводов, — скажем только, что они в полной мере стояли
на высоте требований того времени, В письме к Эратосфену,
о котором мы говорили ваше, Архимед указывает,
что некоторые из излагаемых им предложений уже
были указаны ранее Демокритом; но наглядные механические
соображения Демокрита его не удовлетворяют, он

стр. 45

считает необходимым дать точные (т. §. логически выполненные)
их доказательства.
Три гениальных геометра характеризуют направление
эллинской математики. Евклид, верный ученик Платона,
не интересуется вовсе практическим значением геометрии.
Как мы видели, он над этим даже трунил; его интересовала
только строгая абстрактная дедукция; в этом стиле
построены его «Начала». В противоположность этому
Демокрит, человек ярко выраженного материалистического
мировоззрения, больше всего интересовался самыми
фактами, содержавшимися в геометрии его времени, их
практическими приложениями; точность логического вывода
его, повидимому, интересовала гораздо меньше *).
Архимед несомненно ценил практические приложения математики
и механики; каковы бы ни были соображения
его биографов, об этом свидетельствует вся его деятельность.
Но он в то же время требовал точных доказательств,
строго логического вывода каждого математического утверждения.
Эта точка зрения наиболее близка к нашим современным
установкам.
Из дошедших до нас сочинений Архимеда совершенно
ясно, какое значение для науки имело его гениальное
творчество. Но целый ряд его сочинений до нас не дошёл.
Мы посвятим ещё немного места тем из них, содержание
которых может быть более или менёе установлено
благодаря указаниям самого Архимеда или других авторов.
Мы уже упоминали выше о его работе «‘Apyat»,
посвящённой основам счёта. О нём упоминает как сам
Архимед, так и различные другие авторы.
Несомненно, большой интерес представляло сочинение,
посвящённое учению о многогранниках. Как рассказывает
Папп-* Александрийский, Архимед в этом сочинении, кроме
известных пяти правильных многогранников (обыкновенна
называемых «Платоновыми телами»), указал ещё тринадцать
многогранников, которые можно назвать полуправильными.
Эти тела также ограничены правильными многоугольниками,
образующими равные двугранные углы, но между
*) См. И. Л. Ге й бер г, Естествознание и математика в классической
древности. ОНТИ, М. — Л., 1936; С. Я. Л у р ь е. Аохи-
мед, Изд. АН СССР, М. —Л., 1945 (гя. VI).

стр. 46

ними имеются неодноимённые (например, треугольники и
пятиугольники).
Однако, наиболее важное значение из утраченных сочинений
Архимеда имела книга, а может быть и несколько
книг, посвящённых механике. Об одном из этих сочинений,
которое, повидимому, называлось «О весах» или «О
рычагах», упоминают Папп и Симплиций. Есть основания
предполагать, что в этом сочинении Архимед впервые точно
установил понятие о центре тяжести данного тела, как
такой его точке, в которой, достаточно подпереть тело, чтобы
оно оставалось в равновесии в любом своём положении.
Меньше сведений мы имеем о содержании его сочинений,
посвящённых оптике и астрономии. В одном из
этих сочинений «Катотстрс/а» Архимед делает указания
относительно преломления света. Другое , сочинение посвящено
описанию изготовленной самим Архимедом механической
модели небесной сферы, на которой можно
было наблюдать движения светил. Цицерон рассказывает,
что он видел эту модель собственными глазами. К числу
не дошедших до нас произведений Архимеда принадлежат
его рассуждения о календаре.
Нам нет нужды здесь в заключение вновь перечислять
замечательные открытия Архимеда. Каждое из его сочинений
прибавляло нечто новое к совокупности знаний,
которыми владели его предшественники в арифметике, в геометрии,
в механике, в астрономии, — во все отрасли точного
знания он сделал вклады, не только сохранившие
своё значение до настоящего времени, но часто служащие
основой современных дисциплин, теоретических к
прикладных. Чрезвычайной оригинальностью, глубиною
мысли и свежестью замысла отличается каждая из его
работ. История науки знает очень мало произведений
такого яркого творчества, такой гениальной мысли.

стр. 47

Статистика


Яндекс.Метрика