§ 8. Динамика криволинейного движения.
Страницы переведены на новый сайт:
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ
https://myeducation.su/sbornik-zadach-po-elementarnoj-fizike/
Определить натяжение троса баллистического
маятника (см. задачу 159) в первый момент посЛе попадания
в него пули.
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ.
Свойства пара.
190. На гибкой йерастяжимой нити, весом которой можно
пренебречь, укреплены, как показано на рис, 76, четыре
одинаковых груза. Вся система вращается с угловой
скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения
точку 0. Грузы движутся по гладкой горизонтальной поверхности.
Определить натяжение нити в различных
участках.
191. На концах невесомого стержня длины I закреплены
массы mi и пц. Скорости масс mt и гаа лежат в одной плоскости
в равны соответственно их п о* (рис. 77). Определить,
с какой скоростью движется центр тяжести системы и
43 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
с какой угловой скоростью вращается стержень относительно
оси, проходящей через центр тяжести.
192. В центре платформы, свободно вращающейся вокруг
вертикальной оси, стоит пушка. Ось вращения проходит
через ее казенную часть. В горизонтальном направлении
вдоль радиуса платформы сделан выстрел. Изменится
ли при этом скорость вращения платформы?
193. Небольшое тело начинает скользить без начальной
скорости с наклонной плоскости высоты Н (рис. 78). Считая,
что трение отсутствует и удар тела о горизонтальную
плоскость АВ абсолютно упругий, определить характер
движения тела после того, как оно покинет наклонную
плоскость. Ответить на тот же вопрос, если удар абсолютно
неупругий.
194. Чему равен минимальный радиус дуги, которую может
описать мотоциклист, если его скорость о—21 м/с, а
коэффициент трения резины о землю £=*0,3? Под каким уг-
лом а к горизонту должен быть при
этом наклонен мотоцикл, если считать
его массу сосредоточенной
в центре масс?
195. На легкий стержень насажен
массивный шар (рис. 79). В каком случае
стержень упадет быстрее: если его
поставить вертикально на конец А или
на конец В? Стоящий на земле конец
стержня не проскальзывает.
196. На конце легкого стержря,
поставленного вертикально на поя,
закреплен массивный шар. Стержеш
начинает падать без начальной скорости. При каком значении
угла а между стержнем и вертикалью конец стержня
перестанет давить на пол? При каком значении коэффициента
трения конец стержня не проскользнет до этого момента?
44 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
197. На каком расстоянии от основания стержня упадет
шар (см. задачу 196), если коэффициент трения
&>К5/2?
198. Проволока изогнута по дуге окружности радиуса
JR (рис. 80). На проволоку надета бусинка, которая может
без трения перемещаться вдоль проволоки. В начальный
момент времени бусинка находилась в точке О. Какую горизонтальную
скорость надо сообщить бусинке, чтобы,пройдя
часть пути в воздухе, она в точке В попала вновь на проволоку?
199. Небольшое тело соскальзывает по наклонной поверхности,
переходящей в мертвую петлю, с минимальной
высоты, при которой оно не отрывается от поверхности
петли (рис. 81). Какой симметричный вырез, характеризуемый
углом а<90°, можно сделать в, петле, чтобы тело, проделав
часть пути в воздухе, попало в точку 5 петли? Как
будет двигаться тело, если угол а будет больше или меньше
найденного? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.
200. К концам нити, переброшенной через Два гвоздя,
прикреплены двигающиеся по окружностям грузы (рис. 82).
45 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
Слева висят два груза массы т каждый, справа — один
груз массы 2т. Будет ли система в равновесии?
201. На очень тонкой нити подвешен шарик. Нить приводят
в горизонтальное положение и отпускают. В каких
точках траектории ускорение шарика направлено вертикально
вниз, в каких вертикально вверх и в каких горизонтально?
В начальный момент нить не растянута.
202. Невесомый Стержень может вращаться в вертикальной
плоскости относительно точки О. На стержне укреплены
массы и т 2 на расстояниях гх и от О (рис. 83).
Стержень отпущен без начальной скорости из положения,
составляющего угол а с вертикалью. Определить линейные
скорости масс тхят2ь тот момент, когда стержень занимает
вертикальное положение.
203. На оси центробежной машины укреплен отвес, к
которому привязан маленький шарик на нити длиной
I—12,5 см. Найти угол а. отклонения нити от вертикали, если
машина делает 1 оборот в секунду, 2 оборота в секунду.
204. Невесомый стержень, изогнутый, как показано
на рис. 84, вращается с угловой скоростью со относительно
оси 0 0 ‘. К концу стержня прикреплен груз массы т. Определить
силу, с которой стержень действует на груз.
205. Невесомый стержень А 0 0 ‘, изогнутый, как показано
на рис. 85, вращается с угловой скоростью со относительно
оси 0 0 ‘. На стержень надета бусинка массы т. Определить,
на каком расстоянии I от точки О бусинка будет
находиться в равновесии, « л и коэффициент трения между
бусинкой и стержнем равен к.
46 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
206. К вертикальному стержню, вращающемуся с угловой
скоростью (о, прикреплена нить длиной I, на конце
которой находится груз массы т, К грузу в свою очередь
прикреплена другая нить такой же длины, несущая на
своем конце второй груз массы т. Показать, что угол
между первой нитью и вертикалью будет меньше угла
между вертикалью и второй нитью. Весом нити пренебречь.
207. На невесомом стержне укреплены два груза с
массами m и М. Стержень шарнирно связан с вертикальной
осью 0 0 ‘ (рис. 86). Ось 00′ вращается с угловой скоростью
©.Определить угол <р,образуемый стержнем и вертикалью.
208. Горизонтальная прямая штанга вращается’ с постоянной
угловой скоростью вокруг вертикальной оси. По
штанге может бет трения скользить тело. Первоначально
тело удерживается в положении равновесия пружиной
(рис, 87). Что произойдет с телом, если сообщить ему нао
47 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
чальную скорость вдоль штанги? В нерастянутом состоянии
длиной пружины можно пренебречь.
209. Металлическая цепочка длины /=62,8 см, концы
которой соединены, насажена на деревянный диск
(рис. 88). Диск вращается, делая л = 60 оборотов в секунду.
Определить натяжение цепочки Т , если ее масса
т —40 г.
210. По резиновой трубке, свернутой в виде кольца, циркулирует
вода со скоростью v (рис. 89). Радиус кольца R, диаметр
трубки d ^ R . С какой силой растянута резиновая
трубка?
211. Однородный стержень, длина которого /, а масса
т, вращается с угловой скоростью и в горизонтальной плоскости
вокруг оси, проходящей через его конец. Найти натяжение
стержня на расстоянии х от оси вращения;
212. Шарик массы т , укрепленный наневееомом стержне,
вращается с постоянной скоростью v в горизонтальной плоскости
(рис. 90). Его кинетическая энергия в системе координат,
неподвижной относительно оси вращения, постоянна
и равна тог/2. По отношению к системе отсчета, движущейся
и горизонтальной плоскости прямолинейно со скоростью
v относительно оси, кинетическая энергия меняется с течением
времени от нуля до 4тиг/2. Какая причина вызывает
это изменение энергии?
213. Тонкий однородный обруч катится по горизонтальной
поверхности с постоянной скоростью о. Как и под действием
каких сил меняется полная энергия небольшого
участка ЙВ, находящегося в данный момент в наивысшей
точке обруча?
48 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
214» Тяжелая катушка, с намотанной на нее нитью,
лежит на горизонтальной шероховатой поверхности, по
которой может катиться без скольжения. Если нить тянуть
в горизонтальном направлении
влево, то катушка будет катить-
ся также влево. Если же менять
направление нити (рис. 91),
то при некотором значении угла
а между направлением нити и
-—вертикалью катушка покатится
вйраво. Определить этот угол.
Что будет с катушкой при данном
значении угла? Радиус вне-
.шней части катушки ^ . внутренней
г. …….
215. Найти кинетическую энергию обруча массы М и
радиуса R, если он движется равномерно со скоростью v
и вращается с угловой скоростью <о вокруг оси, проходящей
через центр. —
216. Определить кинетическую энергию гусеницы трактора,
движущегося со скоростью V. Расстояние между осями
колес, на которые надета гусеница, равно /; радиус колес
г. Единица длины гусеницы весит Р.
217. Как узнать, какой из двух одинаковых по величине
цилиндров полый, если они сделаны из неизвестных
материалов разной плотности? Массы цилиндров
равны.
218. На катушку радиуса R в один ряд намотан гибкий
кабель (рис. 92). Вес единицы длины кабеля р. Вес
всего кабеля Р. Катушка
. без проскальзывания движется
по инерции вдоль
горизонтальной плоскости.
Кабель разматывается и
‘ ложится на плоскость.
Вначале, когда весь кабель
был намотан на катушку,
скорость центра катушки
была равна v. Пренебрегая радиусом поперечного сечения
кабеля (по сравнению с /?) и массой самой катушки, оценить
скорость центра катушки в тот момент времени,
плоскости .будет лежать часть кабеля длиной х. За
счет^действия какой силы изменяется количество движения
49 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
219. К шкиву радиуса, г, вращающемуся вокруг неподвижной
оси, приложена сила трения f (рис. 93). Определить
изменение угловой скорости шкива со временем, если
в начальный момент времени угловая скоррсть равна ю0.
Масса шкива равна т ; массой спиц
можно пренебречь.
220. Вращающийся с угловой
скоростью о)0 обруч радиуса г поставили
на горизонтальную шероховатую
плоскость. Определить
скорость v центра обруча после того,
как прекратилось его проскальзывание.
В начальный момент скорость
центра обруча равна нулю:
221. Обручу радиуса г, поставленному
на горизонтальную шероховатую
плоскость, сообщили в горизонтальном
направлении поступательную скорость v0.
■ Определить угловую скорость со вращения обруча после
того, как проскальзывание обруча прекратилось.
222. Вращающийся с угловой скоростью ш0 обруч радиуса
г поставлен на горизонтальную шероховатую плоскость.
Обручу сообщена поступательная скорость v„ (рис. 94).
Считая, что сила трения
Считая, что сила трения
Рис. 94. Рис. 95.
223. Цилиндрическая трубка радиуса г скреплена с помощью
спиц с двумя обручами радиуса R. Масса обоих обручей
равна М. Массой трубки и сниц, по сравнению с массой
обручей М , можно пренебречь. На трубку намотана
нить, перекинутая через невесомый блок. К концу нити
прикреплен груз массы т (рис. 95). Найти ускорение груза,
натяжение нити и силу трения, действующую между обру
50 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
чами и плоскостью. (Считать, что обручи не проскальзывают.)
Определить, при каком значении коэффициента трения обручи
будут проскальзывать.
224. На наклонной плоскости лежит катушка. На катушку
намотана нить, свободный конец которой с прикрепленным
к нему грузом массы
т аерекинут через невесомый
блок (рис. 96). Предполагается,
что масса катушки Ж равномерно
распределена по окружности
радиуса R. Трение
отсутствует. Определить, при
каком значении угла наклона
а центр тяжести катушки будет
оставаться в покое.
225, Доска массы М положена
на два одинаковых цилиндрических
катка радиуса R. Катки лежат на горизонтальной
плоскости. В начальный момент времени система
находилась в покое. Затем к доске приложили в горизонтальном
направлении силу Q. Найти ускорение доски и
величину сия трения, действующих между катками и доской,
а также между катками и горизонтальной плоскостью.
Считать, что проскальзывание отсутствует.
Катки представляют собой тонкостенные
цилиндры массы т. каждый.
226. Двухступенчатый блок состоит
из двух жестко скрепленных между
собой ■тонких обручей, радиусы которых
R и г, а массы соответственно М г и
Л4*. На каждую из ступеней блока намотаны
нити, к концам которых прикреплены
грузы массой т1 и т% (рис. 97).
Найти ускорения грузов т1 и т2, натяжения
нитей и силу, с которой система
действует на ось блока.
227. Однородный тонкостенный цилиндр
радиуса R и массы М без скольжения
скатывается под действием силы
тяжести с плоскости, образующей угол а с горизонтом.
Используя закон сохранения энергии, определить: 1) скорость
центра тяжести и угловую скорость вращения цилиндра
спустя время t после начала движения из состояния
покоя; 2) ускорение центра тяжести цилиндра.
51 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
§ 8. Динамика криволинейного движения. Ответы.
189. На основании второго закона Ньютона
(Al + m)и2 где и = 2 sin-2 . Y Lg
(см. задачу 159). Отсюда 7′ = (M4-ff*)g ^4 sin2 -^•-{‘1
190. Т ^Ю гт Ч ; Тл=9таЧ~, Т , = 7т(оЧ-, Т ^Ат т Ч .
191. Расстояния от центра тяжести до грузов с массами тг и
т% равны соответственно
*4
~т!+ /п а I, у— mi + m2 I.
а
Обозначим через и скорость центра тяжести, а через ©—угловую
скорость вращения. Тогда в-|-емс=», и u—o>y=vs. Отсюда
Hi— о» ц т 1о1 + /п гоа
1 * at; ■(*
192. Скорость вряцеиия замедлится. Платформа сообщает снаряду
дополнительное количество движения по касательной к траектории
конца ствола пушки. По третьему закону Ньютона вылетающий
из ствола снаряд будет оказывать давление на1 внутреннюю часть
ствола, направленное против вращения.
193. В момент соприкосновения тела с горизонтальной плоскостью
вертикальная и горизонтальная составляющие скорости тела
227 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
будут иметь значения vB — У» 2gH sia а и vr— У 2gH cos а . & случае
абсолютно упругого удара вертикальная составляющая «змеят4 знак,
а горизонтальная составляющая останется без изменений. Траектория
тела будет представлять собой куски парабол (рис. 355), причем
h = Н sin2 a , a I — 2 / / sin 2а. Если удар абсолютно неупругий, то
вертикальная составляющая скорости -станет равной нулю и тело
будет двигаться равномерно по горизонтальной плоскости со скоростью
с = V^igH cos а.
194. Со стороны земли на мотоцикл действуют две силы (рис. 356):
N—реакция опоры и / —сила трения. Сумма этих сил Т направлена
вдоль мотоцикла. (В противном случае относительно центра тяжести О
действовал бы момент сил, опрокидывающий мотоцикл.) На центр
тяжести тела, таким образом, действует результирующая сила
F = T + P , где Р —сила тяжести. И так как F = 7 ‘c o s a = /, то
центростремительное ускорение мотоциклу сообщает только сила
трения /. По второму закону Ньютона f — mv2/R, причем / < kmg.
Как видно из рис. 356, mg — f tg a . Минимальное значение R из
данной системы уравнений равно RmiB = v2/k g— 147 м, при этом
tg a = Rg/v2 ss 3,33 и, следовательно, а и 73°20’.
‘1 9 5 . Рассмотрим промежуточное положение стержня, когда он
отклонился от вертикали на угол а. По закону сохранения энергии
MgR = MgRcosa-yM(d2Rsf2, где R — расстояние от конца, стержня
до центра тяжести шара. Отсюда угловая скорость <в выражается
следующим образом: ____
ш = 2 sin (а/2) У g/R.
При данном а она тем меньше, чем больше R. Следовательно, стержень
упадет скорее, если он поставлен на конец В.
196. По второму закону Ньютона moj2/?= mg cos а—N, где
N —сила, с которой деформированный стержень действует на шар.
В момент прекращения давления стержня на пол деформация стержня
исчезнет и N = 0. Как показано в задаче 195, со = 2 Y g/R sin (а/2).
Подставляя это значение ю в уравнение движения, найдем cos а = 2/3.
Отсюда а=48°10’. Чтобы стержень не проскользнул, необходимо
выполнение условия N sin а ^ kN cos а (рис. 357). Следовательно,
* 3 s tg а . Отсюда ftSs V 5/2.
228 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
197. Если k > V 5/2, то стержень не проскользнет до тех пор,
пока -N не станет равным нулю, т. е. до тех пор, пока ос< arccos (2/3).
При а > arccos (2/3) уравнение truaPR = mg cos а —N дает N < 0.
Эго означает, что если бы конец стержня был прикреплен к полу,
то стержень был бы растянут. При незакрепленном стержне шар
•начнет падать свободно с момента, когда угол достигнет значения
а 0 = arccos (2/з)- В этбт момент скорость п = соR = V ilagR составляет
угол а 0 с горизонтом, а высота шара над полом CD—2/3R
(рис. 358). Используя законы свободного падения, найдем искомое ;
расстояние:
AB = AD + DB = R (5 У 5.+4 УЩ/21 и 1,127?.
198. На участке ADB (рис. 359) бусинка движется под действием
силы тяжести. Для того чтобы она, покинув проволоку в точке А,
попала в точку В, необходимо, чтобы пройденный ею по горизонтали ,
путь был равен 2R sin а. Для этого скорость бусинки в точке А ‘
должна удовлетворять условию
(2и2 sin a cos a)/g= 2R sin а
(см. задачу 40). Отсюда u2= g R /cos а.
Бусинка будет иметь в точке А скорость и, если в точке О ей •
сообщена скорость о, равная по закону сохранения энергии
v == Т ^ й Н ^ я Г Н — с о Г а ) = gR ^ 2+ 2 cos а + ~ ^ | •
199. Пусть выреза нет. Тогда в точке С (рис. 360)
mg — mv2/R. (1)
По закону сохранения энергии
mgh=zmg2R + mv2/2.
229 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
Из (1} и (2) получаем h — */2R. Скорость в точке А определится из
закона сохранения энергии
■mg?/*-# = m»i/2 + ff!g#(l+cosa).- . (3)
Тело, брошенное под углом а к горизонту, пролетит по горизонтали
расстояние
АВ = {ь\ sin 2a)/g. (4)
G другой стороны,
.<4B = 2i? sina . (5)
Из (4) и (5) следует: 04 =
= Rg/cos а. Подставляя это
значение в (3), получим
__ 5 mgR ,
2 2 c o s a +
+ mgR + mgR cos a.
Отсюда, cos a = ( 3 ± l)/4, и,
следовательно, 0^ = 0, a 2=60°.
Нетрудно убедиться, что, если
•a > 60°, тело упадет внутрь петли; если a < 60°, тело вылетит
наружу.
• 200. Рассмотрим силы, действующие на нить, перекинутую через
левый гвоздь (рис. 361). Вертикальные составляющие сил натяжении
Т, действующих на тела, равны mg, если нить закреплена на
гвозде. На узел (точку О) по третьему закону Ньютона действуют
те же силы Т. Их сумма направлена вертикально вниз и равна ,2mg.
В случае одного вращающегося тела вертикальная составляющая
натяжения нити Т ‘ равна 2mg (если Тело не опускается вниз). Но
само натяжение нити Т’ > 2mg (рис. 361). Следовательно, наша
система не будет в равновесии. Правый груз перетянет.
201. Направление ускорения совпадает с направлением результирующей
силы. Вниз ускорение направлено при крайних верхних
положениях В и С шарика (рис. 362). Вверх ускорение направлено
при крайнем нижнем положении А и горизонтально при положениях
D я L, определяемых углом а. Найдем а. По второму закону
Ньютона произведение массы на центростремительное ускорение
230 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
равно сумме проекций сил на направление радиуса вращения:
m tA fl= T—mgcos а.
С другой стороны, как видно из рис. 362, Т —mg/cos ос. Не основании
закона сохранения энергии имеем
mv2/2 = mgl cos а.
Из этих уравнений находим, что cos а.= \ /У ‘3, и, следовательно,
а да ’54°45’.
202. Обозначим через со — угловую скорость стержня в момент
прохождения стержня через вертикаль. На основании закона сохранения
энергии имеем
203. Равнодействующая сил, приложенных к шарику, F —mg tg а
должна создавать центростремительное ускорение а—чАг, где
г =1 «п да (ряс. 363). Отсюда
Во втором случае имеют место оба решения: а х= 0 (при этом шарик
находится в состоянии неустойчивого равновесия) и а 2 = 60°, В первом
случае имеет место только решение <%=0.
204. Силу F, действующую со стороны стержня на груз т , разложим
на взаимно перпендикулярные составляющие Г и N (рис. 364).
Спроецируем силы на вертикаль и горизонталь и запишем уравнения
Ньютона для этих направлений:
mffl2/sin<p = r smqp—#cos<p, mg— T cos<p-f N sin<p.
Из этих уравнений определяем Т и N:
T=m(a>2l sin2ф + g e o sф), N=sm(g—в>4 cos <p) sin<p. щ
Следовательно,
F = уг7’24-Л,2= ш У ^ 2+ш4/2з1п2ф.
205. Действующие на бусинку силы изображены на рис. 365:
/ —сила трения, mg—сила тяжести, iV—сила нормальной реакции.
231
В частном случае <р = я/2 К , kg/to2.
206. На рис. Зоб изображены силы, действующие на грузы. 7* Т2 — натяжения нитей. Запишем уравнения Ньютона для проекций
на горизонтальное и вертикальное направления:
для первого груза:
207. Действующие, на грузы силы изображены на рис. 367. Тх,
Nx и Тг, N2—составляющие сил, действующих со стороны стержня
на грузы m и М. Nx и N2 направлены в противоположные стороны,
так как сумма моментЬв сил, действующих на стержень, относительно
точки О равна нулю вследствие невесомости стержня:
Nxb—W2(6+ a ) = 0. Уравнения движения грузов для проекций на
232
горизонтальное и вертикальное направления имеют вид
ma2b sin ф = T t sin q> — cos <p, T t cos ф-f-Wj sin<p = /ng,
Af w2 (b+ a) sin ф — T 2 sin q>-f-Ыг cos ф, T2 cos ф — N2 sin ф = Mg.
Исключив из системы неизвестные Т г, Т ъ Nx и N2, найдем:
1) ф = 0;
g mb-\- М (a-f- b)
«<2) cos ф = йа mb2-{-М (a-\-b)2 ‘
Первое решение справедливо при любых угловых скоростях враще- / тЬ + М (а+ Ь) .
8 тЬ2+ М (а+ Ь )2 ^СМ< Решение зада’
чи 203).
208. В состоянии равновесия т<и2х = kx, где х —расстояние тела
от оси. Отсюда ясно, что при любом х пружина сообщает телу необходимое
для вращения центростремительное ускорение. Поэтому после
толчка тело будет двигаться с постоянной скоростью до упора А
или до тех пор, пока для пружины выполняется закон прямой пропорциональности
между силой и деформацией.
209. Запишем второй закон Ньютона для малого участка цепочки
массы (m/l)R Да, изображенного на рис. 368:.
(m/l) R Да (2яя)2 R —2T sin (Да/2).
Так как угол Да мал, то sin (Да/2) и Да/2; отсюда Т = rain2 w90 Н.
210. Выделим малый элемент трубки длиной R Да (рис. 369).
Растянутые стенки трубки сообщают жидкости, протекающей по
этому элементу, ускорение a—v2/R. По третьему закону Ньютона на
элемент трубки со стороны жидкости будет действовать сила
AF — р n d 2
где р —плотность жидкости. Сила ДР уравновешивается силами натяжения
кольца Г. Из условия равновесия, учитывая, что Да мало,
233
2П. Разобьем стержень на я участков одинаковой длины и
рассмотрим произвольный участок с номером » (рис. 370). Ускорение
различных точек этого участка будет неодинаково, поскольку
расстояния точек до оси вращения различны. Однако если разность
гi+i—гi мала, то мы можем считать, что ускорение t’-ro участка равно
са2 (/7+1 + /■/)/2, и это тем точнее, чем меньше длина участка.
На i-й участок действует упругая сила Т [+1 со стороны деформированного
участка »+1 и сила Г,-со стороны участкаi — 1. Так как
масса /-го участка равна (m/l) (г,-+1—г,-), то на основании второго закона
Ньютона можно написать
234
В первом уравнении этой системы учтено, что упругая сила на
конец стержня не действует, т. е. Т п+1 = 0 . Сложив уравнения си-
стемы, получим, что искомое натяжение Т_ х = —/п^о~2 (I1—х2). ТЧ1ем
ближе участки стержня к оси вращения, тем в большей степени
они растянуты. .
212. В неподвижной относительно оси системе отсчета сила натяжения
стержня не совершает работы, так как она все время
перпендикулярна скорости шарика. В движущейся системе эта сила
совершает работу, отличную от нуля, и за счет ее меняется кинетическая
энергия шарика.
213. Участок обруча АВ массы /и обладает в наивысшем положении
энергией mg2R-\-m (2о)2/2. При ~ движении кинетическая и
потенциальная энергии участка АВ начинают уменьшаться. Уменьшение
энергии происходит -за счет работы „сил упругой деформации
обруча, равнодействующая которых дает центростремительную силу,
направленную всегда к центру. Скорость участка АВ составляет
тупой угол -а с силой F (рис. 371). Поэтому работа силы Аг —
= F AS cos а отрицательна, и, следовательно, уменьшается энергия
участка массы т. После того, Как участок АВ пройдет крайнее
нижнее положение, работа силы F, как легко видеть, станет положительной
н энергия участка АВ начнет возрастать.
214. Проведем нз точки А, являющейся «мгновенной осью вращения
» (ем. задачу 57), касательную к внутренней окружности катушки
(рис. 372). Если направление нити будет совпадать с направ-
235
относительно
мгновенной оси, будет равен нулю. Поэтому покоящаяся
катушка не начнет поворачиваться вокруг мгновенной оси, и, следовательно,
катушка не будет катиться. Значение угла а, при котором
происходит изменение направления движения катушки, определяется
из треугольника АОВ:
sin а = r/R. Если наклон нити
больше а, катушка покатится
вправо, если меньше, то влево, при
условии, что нет проскальзывания.
Если натяжение нити Г удовлетворяет
условию Гг < //? ,. где
/ —сила трения, то катушка останется
неподвижной. В противном
случае при sin а= г //? — она начнет
вращаться на месте против часовой
стрелки вокруг точки О.
215. равные малые участки массы Д/га
каждый. Рассмотрим два симметричных
(относительно центра) участка.
Все частицы обруча участвуют
одновременно в двух движениях—
поступательном со скоростью о и вращательном со скоростью Oj =©/?.
Результирующая скорость о2 верхнего участка обруча найдется как
геометрическая сумма скоростей н и ц (рис. 373):
„| =и*+о*+2то cos а.
Для симметричного участка
= v2-f v j—2vv t cos а.
Суммарная кинетическая энергия обоих, участков?
ДЕ = Ат о|/2 -j-.Д/п о|/2 = Am v2 -f- Am <o2R2.
Так как это выражение имеет место для любых двух участков, то
для всего обруча Мождо записать
Е — Mv2/‘2 | М/?%>2/2.
Если обруч катится без проскальзывания, то v=mR и, следовательно,
E = Mv2. i
216. (ял+Z).
217» Цилиндр из более плотного материала, очевидно, будет
полым. При одинаковых скоростях поступательного движения кинетическая
энергия вращательного движения будет больше у полого
цилиндра, так как частички его массы дальше отстоят от центра и,
следовательно, имеют большие скорости. Поэтому при скатывании
без прбскальзывания с наклонной плоскости полый цилиндр приобретет
меньшую скорость, чем сплошной» Полные кинетические
энергии обоих цилиндров в конце пути одинаковы, что возможно
только при различных скоростях, так как при одинаковых скоростях
энергии поступательного движения равны, а энергия враща
236
тельного движения сплошного цилиндра обязательно меньше, чем
полого.
218. При движении катушки сила трения не совершает работы,
так как нет проскальзывания кабеля и катушки. Следовательно,
энергия системы не изменяется:
j о2 + PR= + (Р — рх) R,
где и —искомая скорость. Отсюда и — У (Ро2+ pRgx)/(P — рх) и
оказывается равной бесконечности при Р = р х вследствие того, что
мы не учитывали массу катушки. Количество движения уменьшается
в результате действия силы трения, направленной в сторону,
противоположную движению.
219. Так как сила трения постоянна, движение буДет равнозамедленным.
Развиваемая силой трения мощность равна fv, где
v = m —мгновенная скорость той точки шкива, к которой приложена
сила /. Работа за время t равна средней мощности, умноженной
на время I:
Изменение кинетической энергии шкива равно этой работе:
Отсюда и>=щ—ft/mr.
220. Сила трения / постоянна, поэтому изменение количества
движения обруча за время t равно mv—ft. В случае качения без
проскальзывания скорость точки, обруча, к которой приложена
сила трения, равна нулю. Приравнивая работу сил трения разности
кинетических энергий, имеем
(см. задачу 215). Решая уравнение относительно v, найдем: v = (о0г/2.
221. Уравнения, выражающие изменение количества движения
и кинетической энергии обруча* имеют вид
тю\ d.-4-О ‘
tn(v0—v) = fi, mv2 = f-± 2— t,
где ц=<вг — скорость центра обруча при качении без проскальзывания.
Решая эти уравнения относительно v, имеем v = vJ2. СлеДова-
тельно, искомая величина <o = v0/2r.
222. Уравнения, выражающие изменение количества движения
и кинетической энергии обруча, имеют вид
237
мени.
Решая данную систему уравнений, найдем’ _ _
v = v0 — (fjm) t, ш ^щ — ifjmr) t.
Если y0 < со0r, то в момент времени т = mv0/ f обруч останавливается,
вращаясь при этом с угловой скоростью со = со0 — v0/r. Затем
обруч начнет двигаться в обратную сторону с проскальзыванием.
Спустя некоторое время проскальзывание прекратится и обруч будет
катиться без проскальзывания влево с поступательной скоростью
и = (щ г—v0)/2 (см. задачу 221).
Если же о, > щг, то через т == тгщ/f обруч перестанет вращаться,
передвигаясь вправо с поступательной. скоростью v —
= %—гщ. В дальнейшем вращение обруча будет происходить
в обратную сторону, и спустя некоторое время обруч будет катиться
без; проскальзывания вправо; его угловая скорость »=(£%—гщ)/2г.
Заметим, что, как показывает овыт, обруч тормозится и нри отсутствии
проскальзывания. Мы не подучили данного результата,
так как не учитывали специфического трения качения.
223. Так как обручи не проскальзывают, то v0, скорость центра
тяжести обручей, и v, скорость груза, связаны соотношением
R
V° = VR = ? —
Пусть груз опустится на высоту к. Считая, что в начальньй
момент система покоилась, из закона сохранения энергии имеем
/ng/i = «K)*/2+ Л1 а|
(см. задачу 215). Из последнего соотношения находим скорость
груза:
2 mgh
Отсюда ускорение груза
T = m (g—a)
а под де
Искомое i
Груз движется вниз с ускорением действием двух сил: силы
тяжести mg и натяжения нити Т. натяжение нити Т равно
« + 1М( И з ) ‘
Так как центр тяжести обруча движется с ускорением, равным
D
а 75——, под действием силы Т и Н —г силы трения F, то на основании
второго закона Ньютона для силы F получаем равенство
238
224. Центр тяжести катушки не будет перемещаться, если натяжение
нити удовлетворяет равенству Т = Mg sin ос. Для определения
натяжения нити Т найдем ускорение груза массы т. Пусть груз
опустился на А. Так как -центр тяжести катушки по условию должен
оставаться, в покое, то изменение потенциальной энергии равно mgh.
Если о—скорость движения груза массы т, то скорость точек катушки,
отстоящих на расстояние R от оси вращения, равна vR/r.
Следовательно, кинетическая энергия системы равна
р _ иго8 . Mifl R 2
Ь I — — 1 Т ~гг ’
Из закона сохранения энергии следует:
«Я 0= Л/
Отсюда ускорение груза а= т ■ Зная ускорение груза, на-
ходим натяжение нити:
«r .= m {. t — a ).= m g MR*fr^*
.Таким образом, для » п « получаем выражение
1 sm а=
Центр тяжести катуниси может покоиться только в том случае, если
M/m+r*/R*^sl.
225. Если скорость доски равна ю, то скорость центра тяжести
каждого катка п/2 (ем. задачу 57). Кинетическая энергия системы
(доски и обоих катков) равна
239
Приравнивая кинетическую энергию работе силы Q на пути S, получим
■ ‘
(рис. 374). (Силы трения работы не совершают, так как проскальзывание
отсутствует.)
Из выражения для скорости движения доски следует, что ускорение
ее равно a=Q /(A l+m).
Для определения силы трения, действующей со стороны катка
на доску, напишем уравнение движения доски: Ma=Q/—2F. Подставляя
сюда значение ускорения а, получим. F=mQ/2(M-\-m).
Так как скорость центра тяжести катка в два раза меньше
скорости доски, то и ускорение центра тяжести катка будет в два
раза меньше ускорения доски. Поэтому уравнение движения центра
тяжести катка будет иметь вид та/2—F—f. Из этого уравнения
вытекает, что / = 0.
226. Предположим для определенности, что m^R > т2г. В этом
случае первый груз будет опускаться, а второй — подниматься. Пусть
первый груз опустится на h. Тогда второй груз поднимется на hr/R.
Убыль потенциальной энергии при этом будет равна
’ m1gh—m2ghrlR = gh(tn1—m%r/R).
Если абсолютное значение скорости первого груза v, то скорость
второго груза будет равна vr/R. Все точки первой ступени блока
имеют скорость v, а все точки второй ступени блока имеют скорость
vr/R. Кинетическая энергия системы будет равна
240
Так как скорость центра тяжести катка в два раза меньше
скорости доски, то и ускорение центра тяжести катка будет в два
раза меньше ускорения доски. Поэтому уравнение движения центра
тяжести катка будет иметь вид та/2—F—f. Из этого уравнения
вытекает, что / = 0.
226. Предположим для определенности, что m^R > т2г. В этом
случае первый груз будет опускаться, а второй — подниматься. Пусть
первый груз опустится на h. Тогда второй груз поднимется на hr/R.
Убыль потенциальной энергии при этом будет равна
’ m1gh—m2ghrlR = gh(tn1—m%r/R).
Если абсолютное значение скорости первого груза v, то скорость
второго груза будет равна vr/R. Все точки первой ступени блока
имеют скорость v, а все точки второй ступени блока имеют скорость
vr/R. Кинетическая энергия системы будет равна
Из соотношения а^/аг =■/?//-, где а2—ускорение второго груза, найдем
а2= ; ————————— \ . . т • Натяжения нитей Г, и 7^ на осно-
вании второго закона Ньютона равны
+ т% ~п + ~ш (m2+ М2)
г а = ————-Z— 5———— а д
mi +М 1+ -^ — ^я*1 + Л1*
7*2 “ 1 ^.2 «•’as*
mi + Mi<+(m2 + М2) -^2
Сила F, с которой система действует на ось блока, равна
F = 7,1 + r 2+ (M 1 +A f2)g.
227. Пусть путь, пройденный центром тяжести цилиндра за
время t, равен S, а скорость центра
тяжести к этому моменту времени
равна а (рис. 375). Тогда
на основании закона сохранения
энергии имеем
Mv2 = MgS sin а.
Отсюда скорость равна v =
= VrgS s in a , и, следовательно,
ускорение a—g sin a/2. Скорость
центра тяжести цилиндра и угловая
скорость его вращения будут равны v= (g sin a /2) t, a> — (g sin a/27?)
241 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Динамика криволинейного движения.
