Фигуры Лиссажу
Фигуры Лиссажу. Н. А. Силаева. ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
|
Считаете сайт полезным? |
Квант 7 июль 1972
Ниже текст для быстрого знакомства с темой. Формулы отображаются некорректно. Если тема вас заинтересовала, нажмите на ссылку выше и скачивайте оригинал.
Фигуры Лиссажу
В «Кванте» М® 1 за 1972 год мы
уже рассказывали об опытах с одним
из самых простых физических,
приборов — маятником *) В этой
статье мы расскажем еще о нескольких
опытах, которые вы можете провести
у себя дома.
Самые простые колебания тела —
это колебания, при которых откло
нение х тела от положения равновесия
изменяется по закону
х = a sin (со/ 4- ч),
где а — амплитуда, со — частота, <р —
начальная фаза колебаний.
Такие колебания называются гармоническими
Гармонические колебания
совершают математический маятник,
грузик на пружине, напряжение
в электрическом контуре.
В этой статье мы рассмотрим случай,
когда тело участвует одновременно
в ;\в\ х гармонических колебаниях
Если оба колебания происходят
вдоль одной прямой, то уравнение
движения тела будет представлено
суммой уравнений двух движений:
х — А i sin ({«>it -f- ф?) -г
-\- А 2 sm (to2 t -г ф2).
Нетрудно построить график смещения
тела от положения равновесия
в зависимости от времени. Для
этого нужно сложить ординаты кривых,
соответству ющих первому
и второму движениям На рисунке I
*) Г Л. Коткин, Опыты с маятниками,
«Квант» №1, 1972 г.
показан пример сложения двух гармонических
колебаний (черные синусоиды).
Красная линия соответствует
результирующему колебанию.
Оно уже не является гармоническим
Более сложные траектории получаются
при сложении колебаний в
двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Примером такого колебания
может служить движение тела,
изображенного на рисунке 2 В этом
случае вид траекторий зависит от соотношения
частот, амплитуд и фаз
взаимно перпендикулярных колебаний.
Эти траектории называют фигурами
Лиссажу, по имени французского
физика Лиссажу, который
в 1863 году впервые описал их.
Установка, использованная Лиссажу,
Рис. 1 Колебания, описываемые черными
кривыми, имеют одинаковые начальные фазы
м амплитуды, но различные частоты
23
показана на рисунке 3. Камертон
Т колеблется в горизонтальной
плоскости, камертон Т — в вертикальной.
Луч света проходит через
линзу и попадает на зеркальце, прикрепленное
к камертону Т ‘, отражается
им, попадает на зеркальце,
прикрепленное к камертону Т, и
после вторичного отражения попадает
на экран. При колебании только
одного камертона светлое пятно на
экране колеблется вдоль прямой линии.
Если колеблются оба камертона,
пятно может описывать замысловатые
траектории.
Траектория движения тела в том
случае, когда оно одновременно участвует
в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях, описывается системой
уравнений
х .— А х sin (сох / -j- ф,),
у = А 2 sin (со2 / + <р2), (1)
где х н у — проекции смещения тела
на оси X и Y .
Допустим для простоты, что
Фч » ф2 = 0 и о), = со« — (о. Тогда
х ■= A j sin со/,
у — А 2 sin со/. (2)
Это означает, что у = ~г- х; еле*
Установка Лмссажу
довательно, соотношения (2) описывают
отрезок прямой. Угол наклона
а к оси X определяется уравнением
Пусть теперь ф1 =* ф| -f Щ- . Тогда
х = А х cos (Wj/ -f ф’,),
у = А 2 sin (со2/ -|- фг). ‘ *
Разберем сначала самый простой
случай, когда А х = Л 2, ф‘, — ф2 — О
Ий)! = со j — to, то есть
х — A cos со /,
у = A sin со/. (4)
Точка с координатами х и у, определяемыми
этими уравнениями,
описывает окружность радиуса А.
Действительно, ха -г у2 = A 2 cos2 =
— со/ + А г sin2 со/ = А 2. А это и
означает, что траектория движения
— окружность.
Пусть теперь А хф А г. Построим
траекторию движения для случая
Ах = 1, А.2 — 2. В момент максимального
отклонения х = A t = 1,
то есть cos со/ = 1, со/ = 0 и, следовательно,
у = 2 sin со/ = 0. Аналогично,
при х =■ 0 у = 2, при
х = ~ — y = V 2 и так далее.
Построив по этим координатам
график, мы получим эллипс, боль
шая полуось которого равна А 2,
34
а малая — А г, то есть эллипс вытянут
по оси У (рис. 4. о)*). Нетрудно
показать, что лри А , = 2 и А 2 ‘=* 1
мы получим эллипс, вытянутый по
-оси X (рис. 4,6).
Таким образом, ясно, что, меняя
соотношение амплитуд, можно получать
различные эллипсы.
Пусть теперь 2 со, со2 со,
ф| 0 и — 0. Тогда система уравнении
(3) приобретает вид
х — Ах cos 2со/,
у А 2 sin о>/.
Преобразуем уравнение для х следующим
образом:
х ~ А у (cos4 со/ — sin2 со/)
И ,( 1 — 2 sin2 со/) i4t ( I ■
v *
Эта кривая — часть параболы с
осью вдо. ь оси X и вершиной в точке
х — А 1 (рис. 5). Таким образом, мы
получили незамкнутую кривую.
Рассмотрим теперь влияние частот
на форму траектории, а амплитуды
поперечного и про олыюго ко-
ебаний, описываемых системой уравнений
(3), возьмем одинаковыми.
Построим, например, кривые, соответствующие
уравнениям
х — A cos о>/, | х Л cos со/,
у — A sin 2со/, \ у _ Asin 4«f.
Сделать это проще всего так. Возьмем
окружность радиуса А (рис. 6),
отметим на ней точки, соответствующие
углам <о/, равным 0,
*) Тп, что система уравнений
| х A j cos Ш,
I у ~ A, sill Ш
описьшаст оялипс, можно показать и аналитически:
X»■J Ц■т!
—7- = <оъ2 wl -}- siii- Ш «= 1, A j А 2
то есть точка с координатами х н у лежит
на Эллипсе. (См. статью И. Н. Бронштейна
«Эллипс», опубликованную в «-Кванте» «V® 9,
Построение кривой
Рис. 6. Построение кривой, соответсп ую-
щей системе X — A cos <0/, у — A sin 2to/.
Чтобы найти точки с координатами
х == A cos со/ и у = A sin 2 со/,
вспомним, что в случае окружности
единичного радиуса (г = 1) cos со/
численно равен проекции радиуса-
вектора г (со/) на ось X , a sin со/ —
проекции на ось У. Так как мы
25
Фигура Лиссажу
взяли окружность радиуса А , то
координаты х и у каждой точки окружности
— это проекции радиусов-
векторов этих точек на оси X и У,
Для обоих случаев получаются
замкнутые кривые, число петель
которых соответствует отношению
” “ 57 ^рис’ 7’ а’ б^ш
Фигура, приведенная на рисун^
ке 8, незамкнута. Она соответствует
системе уравнений
х — cos 2 (о/,
у — sin 3 со/.
В каком же случае получаются
незамкнутые фигуры? Можно ли найти
общие закономерности? Рассмот-
рим уравнения в виде
х — А х cospoit,
у = А 2 sin^co/.
Прежде всего заметим, что в той
точке, где кривая поворачивает обратно
по той же траектории, скорости
тела вдоль осей X и Y одновременно
обращаются в нуль. Ведь именно
в этом случае тело, двигаясь вдоль
кривой, останавливается, а затем начинает
двигаться обратно. Если
X — A J COSpG)/, ТО
A i COS p<ats — j4 ! cos pco/1
vx — tT^Ti =
. pa)/, — portj
—2^ 1sm——я s in 5———
12 — tt
Когда (разность /2—ti
ыала),
В результате
vx = — A jptosinpco/.
Аналогично для vy получаем
vy = A 2q<x)cosqi>it.
Посмотрим, когда скорости vx и vu
обращаются в нуль.
= 0, если рм/ — Ал,
Vy — 0 , если q<ot — + /ля.
Из этих условий ясно, что фигура
Лиссажу получается незамкнутой в
26
гех случаях, когда
р 2k
Т ’■= 2т -j- I ‘
В частности, кривая на рисунке 8
удовлетворяет этому условию.
Фигуры Лиссажу можно наблюдать
на экране осциллографа
На
вертикальную развертку подается
одно гармоническое колебание, на
горизонтальную^— другое. Их сумма
может принимать разнообразные формы.
Для этого достаточно менять
частоту переменного напряжения на
обкладках осциллографа.
Каждый из вас может сам сделать
очень простое устройство для наблюдения
и фотографирования фигур Лиссажу.
Возьмите обыкновенную металлическую
линейку и изогните ее
так, чтобы плоскость одной половины
линейки была перпендикулярна плоскости
второй ее половины (см. рис. 9).
Один из концов линейки зажмите
в тиски. Если теперь качнуть
свободный конец линейки, он будет
описывать в воздухе замысловатые
фигуры. Это и будут фигуры Лиссажу.
Движение свободного конца линейки
складывается из независимых-
колебаний двух частей линейки. Одна
— от тисков до перегиба и вторая
— от перегиба до конца. Колебания
каждой части перпендикулярны
плоскости линейки на этом
отрезке. Поскольку угол перегиба
линейки равен колебания взаимно
перпендикулярны. Вид траектории
конца линейки зависит от длины
и ширины линейки и от того, в каком
месте ее перегнуть.
Для получения разных фигур
можно использовать одну и ту же
линейку. Чтобы изменять соотношение
частот вертикального и горизонтального
колебаний, достаточно
зажимать линейку в тиски в разных
местах.
Так как частота колебаний зависит
от длины линейки
, то, меняя
соотношения между длинами частей
линейки, вы будете менять соотношения
между частотами взаимно перпендикулярных
колебаний конца линейки.
При этом вы будете получать
различные траектории конца линейки.
Чтобы сфотографировать . получающиеся
фигуры, к свободному
концу надо прикрепить маленькую
лампочку от карманного фонарика.
Лампочка проводами, протянутыми
вдоль линейки, соединяется с батарейкой
(рис. 9). Поместив наш сложный
маятник в темной комнате, можно
сфотографировать колебания линейки.
Время экспозиции должно быть
достаточно велико. Его вы можете
определить, проведя несколько опытов
с разной экспозицией. На
Несколько ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
1. Правда и ложь
Некто всегда говорит правду,
а некто другой всегда
лжет. Какой вопрос надо
им задать, чтобы они дали
на него одинаковый ответ?
2. Только правда
Некто всегда говорит правду,
но когда ему дважды задали
один и тот же вопрос,
он дал на него разные ответы.
Какой это вопрос?
3. Переправа через реку
К реке подошли три туриста.
На берегу стояла
одна двухместная лодка, и
не было никаких других
средств переправы. Пользуясь
этой лодкой, каждый
из туристов переправился на
противоположный берег, причем
было сделано четное число
рейсов. Сколько именно?
(Найти наименьшее четное
число рейсов.)
4. Лотерейный билет
Я купил лотерейный билет,
у которого сумма цифр его
пятизначного номера равна
возрасту моего соседа. Каков
номер этого билета?.
П р и м е ч а н и е . Мой сосед
без труда решил эту задачу.
Б. Ю. Коган
(Ответы смотрите
на стр. 50.)
#физика #квант
