Дебют Гаусса

Карп Фркдрик Гаусс 1803 г.)

С. Г. Гиндикин

Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ : страница

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1 1972)

В школе на уроках геометрии рассматривается задача о построении пра-
вильных многоугольников при помощи циркуля и линейки. Легко построить
правильный четырехугольник-квадрат Совсем просто строится правильный
треугольник и почти так же правильный шестиугольник (его сторона равна
радиусу описанной около него окружности). Более хитрое дело — построе-
ние правильного пятиугольника.
Научившись строить указанные многоугольники, легко перейти к по-
строению правильных Я угольника. 10-угольника, 12-угольника. 16-уголь-
ника. 20-угольника. Несколько более трудно построить правильный 15-
угольник.
Все эти задачи умели решать еще в древней Греции. Однако, несмотря на
все усилия самых замечательных греческих геометров, никому из них не
удалось построить ни правильного семиугольника, ни правильного девятн-
угольника; не удавалось осуществить построения правильного р-угольннка
ни для какого простого р. отличного от 3 и 5. Две тысячи лет никто не мог
продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 году Карл Фридрих Гаусс
A777—1855) доказал возможность построения правильного 17 угольника
при помощи циркуля и линейки.
В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему
построения правильных п-угольннков циркулем и линейкой, выяснив, в
частности, что такое построение невозможно при п 7, 9, 11, 13.
В этой статье рассказывается о построении правильногосемнадцатиуголь-
ника. Главная трудность, ожидающая читателя, связана не с тем, что ему
потребуются какие-то новые сведения (все они не выходят за рамки школь-
ного учебника), а с тем, что конструкция Гаусса использует целый ряд глу-
боких идей. Те читатели, которые не пожалеют труда, чтобы разобраться
в них, будут вознаграждены, познакомившись с одним из самых удивитель-
ных открытий в истории математики.

2 Гаусс.

Упорство, с которым Гаусс следовал по избранному нм пути, бурный
юношеский натиск, с которым он каждый раз, не взирая ни на что. преодоле-
вал самые крутые подъемы, ведущие к цели, все эти трудные испытания зака-
ляли ею силы и делали его способным после победы над препятствиями, уже
устраненными другими, неудержимо ндтн вперед, опережая нх. К этой хвале
творческой самодеятельности я должен присоединить другое: похвалу юности.
Я этим хочу сказать только то, что развитие математического гения под-
чиняется тем же законам, что и развитие всякой другой творческой смо
собностн. Для гениально одаренной личности годы юности, период, когда
только что завершается процесс физического роста, являются эпохой вели-
ких, в изобилии сменяющих друг друга откровений; именно в эги юды гениаль-
но одаренный дух создает те новые ему одному принадлежащие ценности,
которые нм будут впоследствии преподнесены миру.
Ф. Клейн •)

1 июни 1796 года в газете «Jenen-
ser Intelligenzbbatb появилась за-
метка следующего содержания.
Всякому начинающему геометру
известно, что можно геометрически
(то есть циркулем и линейкой) сгроить
разные правильные многоугольники,
а нменио, треугольник, i яти) гольник,
пятнадцатиугольннк и те. которые
получаются нз каждого из них путем
последовательного удвоения числа его
сторон. Это было известно во времена
Квклнда. и, как кажется, с тех пор
было распространено убеждение, что
дальше область элементарной геомст-
рнн не распространяется: по крайней
мере я не знаю удачной попытки рас-
пространить ее в эту сторону …
Тем более кажется мне заслужи-
вающим внимания открытие, что, кро-
ме этих правильных многоугольников,
может быть геометрически построено
множество других, например, семнад-
цатиуюльник.
Под заметкой стоит подпись:
К. Ф. Гаусс и з Браун ш-
вейга, с т у д е и т • м а т е м а-
т и к в Г с т т и и г е II е.
Это первое сообщение об откры-
тии Гаусса. Прежде, чем подробно
•) Феликс Клейн {1849—1925)—один из
крупнейших математиков, работавших на
рубеже XIX н XX столетий. Его собствен-
ные исследования тесно примыкают к работам
Гаусса. Ф. Клейн был одним из крупнейших
знатоков наследия Гаусса; в течение многих
лет он руководил изданием собрания сочи-
нений Гаусса.

рассказывать о нем, освежим в па-
мяти то, что «известно каждому на-
чинающему геометру».
U построениях циркулем н линейкой
Предполагается заданным отрезок
единичной длины. Тогда при помощи
циркуля и линейки можно строить
новые отрезки, длины которых полу-
чаются из длин уже имеющихся от-
резков при помощи следующих опе-
раций: сложения (рис. 1а). вычита-
ния (рнс 16), умножения (рис. \е),
деления (рис. 1с?) н извлечения квад-
ратного корня (рис. Id).
Последовательно проводя эти опе-
рации, при помощи циркуля и ли-
нейки можно построить любой отрезок,
длина которого выражается через
единицу конечным числом операций
сложения, вычитания, умножения,
деления и извлечения квадратного
корпя. Такие числа называются
квадратичными и р р а ц и о-
и а л ь и о с т я м и. Можно дока-
зать, что никакие другие отрезки по-
строить при помети циркуля и ли-
нейки нельзя — но эго уже тема спе-
циального pairoiiopa
Построение правильных «-угольников
Задача о построении правильного
и-угольннка, как легко попить,

3 Гаусс.

эквивалентна задаче о делении окруж-
ности радиуса I на л равных частей.
Хорды дуг, на которые делится ок-
ружность, являются сторонами пра-
вильного п-угольннка и длина каж-
дой из них равна 2sin— (рис. 2).
Следовательно, при
которых sin -L—
тех я, для
является квад-
ратичной иррациональностью, можно
построить правильные л-угодышкн
циркулем и линейкой. Эгому усло-
вию удовлетворяют, например, чна-
ченпи п = 3. 4, 5, 6. 10. Для и —
— 3, 4, 6 это хороню известно.
Покажем, что sin-j^-_ квадра-
тичпая иррациональность. Рассмот-
рим равнобедренный треугольник ЛВС
(рис. 3). угол при вершине которого
равен -тр-36 . длина А В равна 1;
пусть AD —биссектриса угла А.
Тогда х —¦ АС ¦¦— AD ^ BD=2sin~.
Имеем:
_ I ,. У о —
‘IT’ Х ^ 2
DD АВ. х
DC «Ж’ Г^
Эго число является квадратичной ир-
рациональностью: том самым мы
можем построить сторону правиль-
ного 10-уголы1!1Ка.
Далее, из возможности деления
окружности па pt p? равных ча-
4
стей следует, конечно, возможность «.-е
деления на р, равных частей (в ча-
стности, можно построить правиль-
ный пятиугольник). Обратное ут-
верждение, вообще говоря, неверно.
Укажем два частных случая, когда
оно все же справедливо.
1) \\л возможности деления ок-
ружности на р равных частей сле-
дует возможность деления на 2* р
рапных частей для любого к.
2) Если мы умеем делить окруж-
ность на /?, равных частой и рг рав-
ных частей, где /7, и р2 взаимно про-
сты (например, р,, р., — различные
простые числа), то окружность мож-
но разделить на ptp., равных частей.

Несколько слоя о комплексных числах

Мам нужно лиать про комплексные
числа совсем немного: операции над
ними и геометрическую интерпрета-
цию; все. это содержится, например,
в школьном учебнике Кочетковых.
Напомним, что комплексному числу
г-a-‘rib ставится в соответствие то-
чка с координатами {а, Ь) (рис. 4)
п вектор с концом в этой точке и с на-
чалом в @, 0). Длима вектора
г | яг-|- Ь2 называется м о д у л е м
данного числа. Комплексное число
z можно записать в тригонометри-
ческой форме: г -a —bi=r (cos <р -|-
-rtsin (f); угол tf называется аргу-
ментом числа г.

4 Гаусс.

Сложению комплексных чисел со-
ответствует сложение векторов; при
умножении модули перемножаются,
а аргументы складываются. Отсюда
следует, что существует ровно л кор-
ней уравнения г» — I, обычно их обо-
значают через е*:
2л ft
— cos \-t sin — ,
к =0. 1, 2 n— 1. {])
Легко показать, что концы век-
торов fft являются вершинами пра-
вильного л-утольника. Если мы до-
кажем, что ел— квадратичные ирра-
циональности (то есть что этим свой-
ством обладают их вещественные и
мнимые части), то тем самым мы по-
кажем, что правильный л-угольник
можно построить при помощи цир-
куля и линейки.

Правильные г.1-угольники
И KOptiti И1 (МИНИНЫ

Преобразуем уравнение гп — 1:
г»—I — {г— \)у,
х(,»-1 :-r-? ;. … +г+ i) = 0.
Получим два уравнения: г*-1 и
гл~Ч zn-‘2 \- … 4-г-М 0. B)
Уравнение B) имеет своими кор-
нями tA при 1<:*<:л— I. В дальней-
шем мы будем иметь дело с уравне-
нием B).
При п — 3 получаем уравнение
г2+г-М=0. Его корни: г,
1 г/3~’ с. 5)
?—
„,. iif
!^i »
При л-5 дело обстоит сложнее,
так как мы получаем уравнение чет-
вертой степени
z4 ‘гг3<гг* I-24-1=0. О)
имеющее четыре корня t,, eJt e3, e4
(рис. 6). Чтобы решить его, разде
лнм сначала уравнение C) на гг.
Получим
г2 -г -р- -!- г f -i- -г- 1 == 0. или
Сделаем подстановку w =¦¦ г -? :
иг + хи—1=0. D)
Отсюда
|г 2
Далее, можно найти и rh из урав-
нений
1
г i
=- к.1,
E)
но нам это не нужно; для построе-
ния достаточно знать, что 2cos-jr-
(удвоенная вещественная часть с,)
равно
Fi + «4 =^ «I + 77 : Wl ~ 2 ‘
Из того, что и»,—квадратичная
иррациональность следует, что р, и
^4 представляют собой квадратичные
иррациональности. Для е2 и ря рас-
суждаем в точности так же.
Итак, для л 5 решение нашей
задачи удалось свести к последова-
тельному решению двух квадратных

5 Гаусс.

уравнений: сначала решается урав-
нение D), корнями которого явля-
ются суммы е,-(-е4 и e2-j-e3 симмет-
ричных (см. рис. 6!) корней уравне-
ния C), а затем из уравнений E)
находятся и сами корни уравнения C).
Именно таким путем Гауссу уда-
лось осуществить построение пра-
вильного 17-\тольника: здесь тоже
выделяются группы корней, суммы
которых находятся последовательно
из квадратных уравнений. По как
искать эти «хорошие» группы? Гаусс
находит удивительный путь ответить
на этот вопрос…

Построение правильного
17-уголышка

30 марта 1796 года наступает для
него (Гаусса) день творческого креще-
ния… Гаусс уже занимался с некоторого
времени группировкой корней из еди-
ницы на основании своей теории
«первообразных» корней. И вот од-
нажды утром, проснувшись, он внезап-
но ясно н отчетливо осознал, что из
его теорнн вытекает построение сем-
иадцатнугольннка… Это событие яви-
лось поворотным пунктом жнэнн Гаус-
са. Он принимает решение посвятить
себя не филологии, а исключительно
математике. ф КМя

Чтобы выявить найденные Гауссом
скрытые «симметрии» в множестве
корней 17-и степени из единицы и,
пользуясь ими, разбить корни на нуж-
ные группы, введем новую нумерацию
корней. Будем возводить 3 в после-
довательные степени 0, 1,2, … и каж-
дый раз брать остаток от деления
полученного числа на 17. Избавим
читателя от проведения этих выкла-
док и в таблице приведем оконча-
тельные результаты. В первой строке
стоят показатели k, а под ними ос-
татки от деления 3* на 17.
Обратите внимание, что в нижней
строке содержатся псе числа от 1 до
Таблица
Рис 7. Старые номера корней даны черным
цветом, новые — красным.
16; затем З’6 дает остаток 1 и далее
остатки периодически повторяются
(докажите!)
Закономерность, подмеченная
Гауссом, является частным случаем
следующей теоремы: для всякого
простого р существует
такое число /, называемое
первообразным корнем,
что среди остатков от
деления 1к на р встреча-
ются все числа 1, 2, …
… р—1. Этот факт впервые отметил
Эйлер A707—1783), но смог доказать
лишь Лежандр A752—1833); дру-
гое доказательство получил Гаусс,
по, вероятно, в 1796 году он еще не
обладал обшей теоремой, а обнаружил
приведенный факт эмпирически, про-
водя вычисления для конкретных
чисел. Это очень важное обстоятель-
ство, не учитывая которого, трудно
правильно понять природу ранних
работ Гаусса.
Присвоим корню V,., k — З1, но-
вый номер, а именно /, который мы

6 Гаусс.

будем писать в квадратных скобках:
*ч ~ fi’i- Другими еловам-.i, вместо
у,, буле.м писать fj;j, где / — число,
стоящее п таблиис над k. При пере-
ходе от одной нумерации к другой
удобно использовать рисунок 7, где
по внешней стороне окружности на
писаны старые номера корней, а по
внутренней — новые. В новых обоз-
начениях -легко возводить корни в
степень: (к()]L =1Г[*…,|, но труд-
нее перемножать. Оказывается, что
именно в новой нумерации легко
записать нужные группы корней.
Эти группы показаны на рисунке 8
слева (в новой нумерации). Рядом
выписаны те же группы в старой ну-
мерации
Понятно, что догадаться до та-
кого разбиения «случайно» просто
невозможно! Тем более невозможно
было бы догадаться проделать те ал-
гебраические преобразования урав-
нения ,-‘*-[-г15-!- … Л-г+ 1 — 0, те
«измены неизвестных», которым соот-
ветствует наше разбиение корней.
Оказывается можно последова-
тельно вычислять суммы корней, но-
мера которых стоит в одном прямо-
угольнике на рисунке 8, переходя от
большого прямоугольника к мень-
шему. При этом на каждом шаге
приходится решать квадратные урав-
нения, коэффициенты которых вычис-
лены на предыдущем шагу и явля-
Новвя нумарвци* *[‘] = *
ются квадратичными иррациональ-
ности ми. В результате показывается,
что cos л/17 — квадратичная иррацио-
нальность. Следовательно, правиль-
ный семнадцатнугольник можно по-
строить при помощи циркуля и ли-
нейкн. Все эти вычисления собраны
в приложении J.
Окончательный ответ чрезвычай-
но поучителен ясно, что угадать спо-
соб построения правильного семнад-
цати у голышка в рамках традицион-
ных геометрических методов времени
Евклида (подобие треугольников и
т. п.) было практически невод*:ож-
но; это открытие по существу при-
надлежит другой эпохе в математике.
1Один из способов построения пра-
вильного семнадпатнугольника при-
веден на стр. 38.)
Какие же плеч приьелн Гаусса к
решению? Об этом рассказывается в
приложении 2, помещенном в конце
статьи. Оно предназначено для на-
иболее настойчивых читателей.

IIшо несколько слон
…Эго открытие является собствен-
но лишь следствием олиой еще не сов-
сем законченной большой теории. Как
только она получит эгу законченность,
она будет предложена публике.
Это — конец заметки Гаусса, ко-
торую мы начали цитировать выше.
Прошло пять лет. прежде чем обещан-
Старая нумерация р* — t*

Рнс. 8. Суммы корней 17-й степени из единицы, номера которых записаны в этих прятс
угольниках, последовательно находятся при решении квадратных уравнении |от боль
ших прямоугольников к меньшим; число а вершине прямоугольника — номер шага).

7 Гаусс.

пая большая теория увидела свет в
третьей части знаменитых «Арифме-
тических исследований» Гаусса. На-
до сказать, что остальные части этого
ме.муара содержали не менее заме-
чательные открытия. Вот какую ха-
рактеристику дал этой работе.
Ф. Клейн:

В своих «Арифметических иссле-
дованиях» Гаусс в полном смысле
этого слова создал современную теорию
чисел и предопределил все ее дальней-
шее развитие до нынешнего дня.
Восхищение этим трудом возрастает
еще больше, когда наблюдаешь, как
Гаусс без всякого внешнего побужде-
ния с самого начала черпает этот мир
нз самого себя.

В 1801 году Гаусс обладал уже
окончательным решением проблемы
построения правильных многоуголь-
ников циркулем и линейкой. Прежде
всего, если внимательно проанализи-
ровать решение для п 17, то вид-
но, что фактически доказана возмож-
ность построения правильного л-уголь
ника для всех простых п вида 2*-j-l.
.Можно доказать, что если 2к-\-1 —
простое число, то А=2′ (докажите!).
Простые числа вида 2г -J-1 имеют
свою историю. Эти простые числа
принято называть числами Ферма
A601—1665). Ферма предполагал, что
все числа такого рода являются про-
стыми. Действительно, при /—-0 по-
лучаем 3, при / =1 —5, при /=2 —
17. Далее при /—3 получается 257,
при 1—4 — 65 537. Оба эти числа про-
стые. При / — 5 получается число
4 294 967 297. Ферма и у него не
обнаружил простых делителей, но
Эйлер выяснил, что Ферма «просмот-
рел» делитель 641. Сейчас известно,
что числа Ферма являются составны-
ми при /-6, 7, 8, 9, 11, 12, 15. 18,
23, 36, 38, 73 (например, при / 73
имеется простой делитель 5-27s+l).
Имеется гипотеза, что существует
лишь конечное число простых чисел
Ферма.
Что касается правильных л-уголь-
ников для составного п, то в силу
обстоятельств, отмеченных в начале
статьи, мы сразу получаем возмож-
ность искомого построения для всех
!, рг
Pi — различные простые числа Фер-
ма. Замечательно, что других и,
для которых возможно построение,
вообще не существует. Доказатель-
ство этого утверждения Гаусс не
опубликовал.
Влияние работы Гаусса па даль-
нейшее развитие математики трудно
переоценить. Но были м курьезы.
Из результата Гаусса следует прин-
ципиальная возможность построения
правильного п — угольника при
и=257 и 65537, однако, вычисление
корней, не говоря ужо о явном опи-
сании построения, требует колоссаль-
ной, но совершенно автоматической
работы. Замечательно, что нашлись
желающие се провести не только
при м = 257 (Ришело это сделал п
сочинении ил 80 страниц), по и при
п =65537 (решение, полученное Гер-
месом, содержится и чемодане со-
лидных размеров в Геггннтснс).
Мы рассказали о нервом нз ве-
ликих открытий Гаусса, сделанном
30 марта 1796 года. С этого дня он
начинает вести дневник, ил которого
мы узнаем, что уже 8 апреля он полу-
чил еще один замечательный резуль-
тат… При этом, однако, он не пере-
ставал учиться.

С этой даты начинается дневник…
Перед нашими глазами проходит гор-
дый ряд великнх открытий в арифме-
тике, алгебре и анализе… И среди всех
этих проявлений, мощных порывов
гениального духа, можно сказать, тро-
гательно находить до мелочен добро-
совестно выполненные ученические ра-
боты, от которых не освобождены н
такие люди, как Гаусс. Мы находим
здесь записи добросовестных упраж-
нений в дифференцировании и непо-
средственно перед делением лемнискаты
здесь встречаются совершенно баналь-
ные подстановки в интегралах, в ко-
торых должен упражняться любой сту-
дент» Ф. Клейн
Гаусс успел сделать в своей жиз-
ни поразительно много. Современ-
ники называли его Королем мате-
матики. Но когда мы говорим о нем,
перед нами прежде всего встает облик
студента-математика из Геттингена,
построившего правильный семнадцг-
тиугольник циркулем и линейкой.

8 Гаусс.

Памятник К. Ф. Гауссу ¦ Брауншвейге.
Рассказывают, что Архимед заве-
щал построить над своей могилой па-
мятник в виде шара и цилиндра в память
о том, что он нашел отношение объемов
цилиндра и вписанного в него шара —
3:2. Подобно Архимеду Гаусс выразил
желание, чтобы в памятнике наегомс-
гнле был увековечен семнадцатиуголь-
иик. Это показывает, какое значение
сам Гаусс придавал своему открытию.
На могильном камне Гаусса этого ри-
сунка ист, но памятник, воздвигну-
тый Гауссу в Брауншвейге. стоит на
семнадцатиугольном постаменте, прав-
да, едва заметном для зрителя.
Г. Вебер
Приложение I.
Теперь мы докажем квадратичную ир-
рациональность корней 17-й степени из еди-
ницы. Отметим, что ?h*l ~eh + l (если
к -|- /^17, то ft -;- / заменяется остатком от
его деления на 17), eh = (Ci)fc. Перенумеруем
корни из единицы при помоши нашей табли-
цы, а именно, будем писать Fy, вместо *ft
(см. формулу A)), где I—число, стоящее
в таблице над к. Разобьем корни на груп-
пы, как показано на рисунке 8. Мы будем
находить суммы корней, номера которых
стоят в одном прямоугольнике (ряс. 8). пере-
ходя от большего прямоугольника к мень-
шему. Прежде всего заметим, что
(В этом можно убедиться, например, рас-
сматривая это выражение как сумму гео-
метрической прогрессии.) Итак, мы нашли
сумму корней в самом большом прямоуголь-
нике (As 0).
Обозначим через о„,.г сумму гГм с те-
мя к, которые дают остаток г при делении
на т. Рассмотрим суммы корней, отвечаю-
щих следующим прямоугольникам (№ 1).
Получаем
.а— Ч
n2.i -»¦
Ясно.
что
»(И]1
]-*-¦¦¦-f[i5] »
Можно показать, что
Теперь, воспользовавшись теоремой Вие-
та. мы можем составить квадратное уравне-
ние, корнями которого будут о2>.,. Oj,,:
хЧ-х-4-0: г,,,—1*/17-
Чтобы различить корни, воспользуемся
рисунком 7. В каждую из сумм корни входят
вместе со своими сопряженными. Ясно, что
°*,»^>o!.i (в первом случае нужно сложить
н удвоить вещественные части «корней е,, е2,
f4. к*, во втором — с3- С4- е«. е7)- Итак,
Рассмотрим суммы корней, отвечающие
следующим четырем прямоугольникам (№ 2)
на рисунке 8:
а« «=(
‘) В этом можно убедиться, проводя не-
посредственные перемножения, учнтыная, что
fh fr-fk + i- причем удобно пользоваться
рисунком 7. Однако в приложении 2 будет
указан способ, как избежать этих утомитель-
ных выкладок.

9 Гаусс.

Имеем: O4i0-f-o4i,^o2,0; a4.x~ati4~
= о,,,. Можно показать далее, что о^.оХ
Х°«.» О2,«»г°2,1——1- азначит, о4.с °*.s—
корни уравнения: хг—о,,(| х—1=0. Решая
это уравнение и учитывая, что <T4>0>o<>t
(см. рис. 7). получаем после несложных
преобразований
a — — C/T7 — 1 + 1/з4 — 21 17)
at , _ _ (•/ 17 — 1 — у 34 — 2]/T7) ,
Аналогично показывается, что
a ^ -«-/—г/Тт»- 1 -!• |/з7+~2/ПГ)
a4i, = _L(- /17 — I — /4 + 2Г/17 ).
Переходим к заключительному этапу. По-
ложим
Можно было бы рассмотреть еще шесть та-
кого рода выражений, но нам они не потре-
буются, так как достаточно доказать квадра-
тнчную иррациональность °*.о == * cos -ту,
что уже позлоляет построить правильный
семиадцатпугольник. Имеем о»„,0-г-о>>4-=оЛ1<|;
ц,4-» о«,Г. «* рисунка 7 видно, что
0.4. а потому Of,lt|— больший корень
уравнения xs -О|.ч хН»О,1, = 0. то есть
о„,о = 2 cos -j_ *= -L^ot 0 н
/34-2/17)
_L / 17 J- 3 /17 —
170 -L- 38 /17
Мы несколько преобразовали непосредственно
получаемое выражениедля1 (°«.оJ ~ 4 o»«.i-
однако не будем утомлять читателя
воспроизведением этих простых выкладок.
Итак доказана квадратичная нррацио-
2л
нальность cos -ту, а тем самым возможность
построения правильного семнэдцатиугольни-
ка при помощн циркуля и линейки. Мы не
будем явко описывать весьма громоздкую
процедуру построения. Заметим, что для то-
го, чтобы’ убедиться в возможности построе-
ния, не было необходимости проводить яв-
ные’ вычисления: было достаточно убедить-
ся, что на каждом шаге мы получаем квад-
ратное уравнение, коэффициенты которого
являются квадратичными иррациональности-
ни.
10
Приложение 2.
Приведем соображения, позволившие
Гауссу доказать квадратичную иррациональ-
ность’корней 17-й степени из единицы.
Прежде всего, задача о корнях из еди-
ницы тесно связана с арифметикой остатков
от деления на л (по модулю л)*). Действитель-
но, если t» ~ I, то е* — также корень л-й сте-
пени из единицы, причем число е зависит
только от остатка от деления к на л. Поло-
жим t «-1 (см. формулу A)); тогда С;, есть
просто v в степени k, поэтому fh-fj~fft+г,
где сумма берется по модулю п (остаток от
деления на л); в частности, *vfn-h е„~1.
Задача I. Если р — простое число
и о — любой комплексный корень р-й сте-
пени из единицы, отличный от единицы, то
множество 6 , k~О, I,…, р—1, содержит
все кормн р-й степени из единицы.
Указание. Нужно доказать, что
в этом случае для всякого 0</н<р среди
остатков от деления чисел km, к = 0,
I р—I на р содержатся все числа 0,
I Р-1.
Обозначим через Т^ следующее преоб-
разование (возведение в степень к): 7″ь е/ =
Задача 2. Докажите, что если р —
простое, то каждое из преобразовании. 7\ (k- ¦
-1, 2 р— I) осуществляет взаимно од-
нозначное отображение множества корней
на себя (то есть множество {7^г01 Т^е,,…
¦ ¦.TkKp-t) совпадает с множеством всех кор-
ней {«,,. е,. е2 t>-i}).
Задача I показывает, что для всякого
l-cr^p — I множество {7″of{, T^i Tp-fy)
совпадает с множеством всех корней. Из задач
I и 2 следует такой вывод: составим
таблицу, в которой на пе-
ресечении Ar-й строки и / — г о
столбца стоит T^i, I ^*, / ^Р — I
тогда в каждой строке и каж-
дом столбце стоят все корни
к,, ?2 Kp-i в некотором поряд-
ке без повторений. Отметим, что
T/j-i^^?-*—(f;)- Тем, кто знает определе-
ние группы, советуем проверить, что преоб-
разования Ть образуют группу относитель-
но умножения Th.tt- T^’
Далее мы рассматриваем случай р—17.
Будем говорить, ч го множество кор-
ней ,И и и n a p н а н т и о относи-
тельно преобразования Т
если Тц?^М для всех
*) Простейшие факты про арифметику
остатков можно найти в журнале «Квант»
.V? 5, 1970, стр. 27—33.

10 Гаусс.

Относительно всех преобразований Tk инва-
риантно лишь множество всех корней
Ui е1в).
Кардинальная догадка заключается
в том, что группа корней тем «лучше», чем
большее число преобразований оставляет
эту группу инвариантной.
Введем для Ть еще одну нумерацию Ту,,
как это было сделано для r.j,: Tjj. = 7″^,
k = 3′. В новых обозначениях
где
ВОСПО-1|ЬЗУемся тем. чт0
(сумму в квадратных скобках надо брать
по модулю 16). Читатель, конечно, обнару-
жит аналогию с переходом к логарифмам.
что не удивительно, так как гщ = t /.
Задачи 3. Доказать, что если неко-
торое множество корней инвариантно отно-
сительно некоторого 7″[Д]. где k нечетно, то
это множество инвариантно относительно всех
преобразований Т.т,, то есть если оно не
пусто, то совпадает с множеством всех корней.
У к я з а и и с. Показать, если k по-
четно, то существует такое т, что km дгет
при делении на IG остаток 1.
С другой стороны, имеются две группы
корней, инвариантные относительно всех
Гц. с четны ни к: корми Ьу. с четными I и
корни с нечетным» /. Нх суммы мы обозна-
чили через о,.„, о4-1.
Ясно, что л2 „-\ ¦ <т2,, -=¦¦ — I. Исследуам
®z,«ai,\- Это произведение является сум-
мой попарных произведений K[*i?|/]. >’ДС k —
четное, / — нечетное, каждое из которых яв-
ляется некоторым корнем »»inii, а всего —
64 слагаемых. Мы покажем, что среди них
каждый из корней *’гОм •’т.-¦¦¦ ‘A51 ВСТРе-
чается одинаковое число раз (четыре раза),
а в результате ог>0о2Л —¦!. Воспользуем-
ся тем. что преобразования T^k, сохраняют
группы корней при k четном и переводят
их одна в другую при k нечетном. Каждое
слагаемое в ot,0-at,t однозначно представн-
мо в виде ffmfim+ry где О^ш-^15. г — 1.3,
5. 7 (докажите!). Сгруппируем слагаемые
с одинаковыми г. Полученные суммы будут
иметь вид
-r 11 «г tl
-r-…-i-Г
Т1т?1к]Т1т}е[1]~ T[mftlkflt})-
и уже упоминавшимися свойствами T^j-
Значения oTj0, агл найдены в приложе-
нии 1.
Переходим к следующему шагу. Мы хо-
тим ввести в рассмотрение новые, меньшие
группы корней, инвариантные относитель-
но каких-нибудь 7″rftj. По аналогии с зада-
чей 3 можно показать, что при »том k обя-
зательно должно делиться на 4. Поэтому
имеется четыре группы корней, инвариант-
ные относительно всех Т[.}(] и меньшие, чем
уже рассмотренные; запишем суммы корней
в каждой группе: o4il), aiiV, o<-2, ati^. .Мы уже
отмечали, что
Вычислим произведение ot>l}oiti\ оно
представляется о виде суммы IG слагаемых
вида е[4Д|Е[4(-(-2]’ Каждое такое слагаемое
однозначно записывается в виде
Сгруппируем слагаемые с одним г и заме-
тим, что F
[oje[l>]
«‘»t’iK
iK»
— fi?i-. =ei«—ff8i- При/¦’-I получаем сумму
при г — — 3 — сумму
i — с.
то есть cifi-atri oiM—ot-l=—1. Решая
квадратные уравнения, мы нашли с4>,,, о4>2-
На последнем шаге мы рассмотрим груп-
пы корней, инвариантные относительно Г,’8];
их восемь. В частности. o?i0+oB,4~o4i0.
ВЫЧИСЛИМ Оц^-Оц.4- УЧНТЫПЯЯ.’ЧТО f[0Jf[4|~
piEia»r=f i4r=*p'[O]> получаем °^.о’°я,1
^т» ‘ЗП с —I— *Г» р —I— Т о —|— Т <• ¦ ¦
‘ i С\ 1’/О II ‘ FJl^IQl’ ‘ ffll^fO | i ¦» Г I 91* fQ]
|uj|Jj l’ll*’l I ^ I I -* J I’ ^ I I * I
2л
*^°4,i- Это позволило найтн agi0 — 2cos-ry
и тем самым закончить решение.

11 Гаусс.

 

 

Гаусс