ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ СУММЫ РАДИКАЛОВ Л. Н. Камнев
Если хотите быстро ознакомится с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно)/ Если статья Вас заинтересовала, можете скачать оригинал по ссылкам выше :
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
Квант 2 февраль 1972
Напомним, что число называет-
ся рациональным, если оно равно
—, где пит— целые числа, и ир-
рациональным в противном случае.
Все пнают, что число > 2 иррацио-
нально. Легко доказать и более об-
щее утверждение: если натуральное
число к — ие полный квадрат, то чис-
ло /к иррационально. Заметим, что
k можно представить в виде bhi, где
а и b — натуральные, причем а не де-
лится на квадрат целого числа (как
говорят, «свободно от квадратов»),
то есть а равно простому числу или
произведению различных простых чи-
сел: а~-р1р2—Рг’, г^>\. Утверждение,
что число \ k ¦— b \ а иррациональ-
но, сводится к следующему: ие су-
ществует ненулевых целых чисел Ьл
и Ь2 таких, что b,>/a-f- b2^ 0. Дей-
ствительно, если такие 6t и Ь2сущест-
вуют, то b»\a=b\. Но это равенство
противоречит теореме о единственно-
сти разложения натурального числа
на простые множители: в правую
часть pj входит в четной степени,
а в левую — в нечетной.
В этой заметке мы докажем, что
если blt b2t…, bn— ненулевые целые
числа, flj, й2,…, ап — натуральные
числа, свободные от квадратов, то
4- … -6д)^0.
Вплоть до я—4 это легко доказать
от противного, несколько раз воз-
вышая обе части (сгруппированные
подходящим образом) в квадрат. В об-
щем случае мы проведем доказа-
Л. Н. Камнев
тсльство индукцией по числу различ-
ных простых чисел рг рк, деля-
щих хотя бы одно из чисел а,. Как
это часто бывает, удобнее докапать
по индукции более сильное утвержде-
ние (интересное и само по себе):
существуют такие целые чист г,,
t/j. с2, d2,…, cc. d.., что ds =)b 0,
fi??l, &.e простые делители чисел с{
соОержатся среди чисел р1г…, р^
и произведение
(d,
\/av
является ненулевым целым числом.
Обозначим by \ а, ¦••¦ … 4- 6„ \ а„
через S, a искомую сумму rf, \ с, —
+ -..-[-d,. \ с~— через 5′.
ЕслиiV = 1, то s имеет вид bt \ pt-\-
+ Ь2 \ 1 и можно взять 5′ — b^ j»Fi —
— h^. мы доказали выше, что 5S’-=
=-b’\pv—Ь-уфЪ. Предположим теперь,
что xV\—2 и что наше утверждение
справедливо для всех меньших зна-
чений Л’.
Будем обозначать буквами Sj.
S2,…, 5« суммы вида р\ ] а, -|- .. .
г ?>,., \’««. где pj—целые числа, а,-
свободные от квадратов натуральные
числа, все простые делители которых
содержатся среди чисел plT…, p.v_i’,
SIt So,…, S8, если не огойорено про-
тивное, могут равняться нулю.
Сумму 5 можно записать в виде
S-S,+ S2l’/>.v. где Sg^O. По
предположению индукции, сущест-
вует такая сумма S3, что / — S 52-
нснулевое целое число. Произведу-
26 ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ СУММЫ РАДИКАЛОВ.
иие 535 имеет вид
53S =- S:iSl + f V p.v — S4 + / ]
с [фО. Остается доказать, что
Если S4~0, то это очевидно. Пред-
положим теперь, что Sy^O. Пусть
S, — Р, 1- «I + • • ¦ т Р« г о^; если
/и = 1, то есть S4- pt i а,; то S^ —
— /2P.v = Р ?«i — f*Ps Ф 0 (действи-
тельно, р^ а! делится на четную сте-
пень рк, a /V.v— на нечетную).
Если же н.\>1, то можно записать
5 4 в виде 5в 4- S7 1 р, где р — одно
hi простых чисел pv.., plV_,, SeS7=j?O,
и числа, стоящие под знаками кор-
ней в суммах Se,S7, не делятся на р.
Тогда
T-2S6S7,
ввиду предположения индукции, по-
скольку 2SeS7=it0.
Снова, по предположению индук-
ции, найдется 5е такое, что 55SB—
ненулевое целое число g. Возьмем
5′ « 5S (SS5, — S,/ , /77). Тогда SS’.=
Из доказанной теоремы следует,
в частности, что если Ь{— любые ра-
циональные ненулевые числа и а,-—
натуральные числа, большие 1 и сво-
бодные от квадратов (j- 1, 2,…, п;
n^s \), то число
by I al-i-b2 \ а2-г
иррационалыю.
n \ ап
У л р а ж и с и и я
I. «ОсвоОодитссь от иррациональности в
1
знамена геле» выражения
УУ+У
то есть представьте это число и вндг (*). То
2. Докажите, что числоV^ -г V 3 + \ Ъ
иррационально.
3. Попробушс обобщить iiHUDi резуль-
таты на сумму корней различных степеней
(не обязательно квадратных).
[Окончание, начало см. стр. 19).
Эту оценку можно уменьшить
примерно в 4 раза. Для этого нужно
заметить, что схему (см. рис. 3) мож-
но еще упростить (рис. 8). При этом
доказательство 8-универсалыюсти
схемы, по существу, не меняется.
Эту схему также можно обобщить
на произвольное четное число вхо-
дов (рис. 9). В случае нечетного чис-
ла входов можно применить похожую
схему (рис. 10). Эти две схемы дают
возможность строить я-универсаль-
ные схемы при любом п (не только
при целых степенях двойки) посте-
пенным переходом к схемам с мень-
шим числом входов. Так построенная
схема содержит
=s? n ¦ log2n
переключателей.
Итак, получены следующие огра-
ничения для числа ;И(л) переключате-
лей в минимальной /г-универсальной
схеме:
п (log2(я -г 1) — log2e) < log, (я!) ^
2
l-r
.
При «=2,3,4 нижняя оценка !ogs(n!)
совпадает с верхней, при п^Ъ — от-
личается. Оказывается, что при п—Ъ
с истинным значением уИE)=-8 совпа-
дает именно верхняя оценка. Поэтому
можно предположить, что верхняя
оценка более точно оценивает М(п),
однако этот вопрос не выяснен и, по-
видимому, является очень трудным.
При формулировке задачи и написа-
нии этой статьи были использованы
результаты советских математиков
Ю. П. Офмана, М. И. Кратко и
Э. Я. Гринберга.
27 ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ СУММЫ РАДИКАЛОВ.
