Испытание на правдоподобие

 

Г. Д. Балк, М. Б. Балк
Если хотите быстро ознакомится с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно):

Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ : страница

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1 1972)

И специалисту-математику, и
школьнику приходится встречаться
с математическими предложениями,
в истинности которых он сомневает-
ся. Иногда требуется «доказать или
опровергнуть» какое-либо утвержде-
ние или из нескольких предложенных
ответов к задаче выбрать единственный
правильный.
Если доказательство утверждения
упирается в громоздкие выкладки,
то часто бывает полезно не начинать
с попыток доказательства, а поста-
раться отдать себе отчет, насколько
данная гипотеза правдоподобна, не
приводит ли она к явно ошибочным
или сомнительным выводам.
Остановимся на некоторых прие-
мах такого рода «проверки на прав-
доподобие»*).
Обобщая известную формулу Ге-
рона для площади треугольника, ин-
дийский математик и астроном Бра-
магупта (VII век н. э.) высказал ут-
верждение, которое можно в приня-
тых сейчас обозначениях сформулиро-
вать так;
*) В основу статьи положена стенограм-
ма занятия математико-механнческого круж-
ка IX класса школы № 7 г. Смоленска A7 ян-
варя 1971 г.).

площадь S любого четырехуголь-
ника (рис. 1) выражается через его
стороны а, Ь, с, d по формуле
S = V{p-a)(p-b) (p-c)(p-d); A)
здесь р, как обычно,— полупериметр
четырехугольника:
Верно ли утверждение Брамагуп-
ты?
Прежде чем ринуться доказывать
это утверждение (если оно верно, то
доказательство будет, вероятно, весь-
ма громоздким), имеет смысл испы-
тать его на правдоподобие. Применим
простейший прием: проверку на
частных случаях.
Рассмотрим случаи, когда данный
четырехугольник — квадрат; произ-
вольный прямоугольник; ромб, от-
личный от квадрата.
В первых двух случаях формула
A) приводит к правильному резуль-
тату, в третьем — приводит к ошиб-
ке: по формуле S—аг, хотя ясно, что
в этом случае S<fi2.
Следовательно, утверждение Бра-
магупты ошибочно.
Заметим, попутно, что эта неудача не
должна заставить нас начисто отказаться от

20 Испытание на правдоподобие. 

привлекательней идеи обобщения формулы
14 pun л на случай ‘KUjpcxyiO-ibiiliKd, надо
ТОЛЬКО Л1|6о ОГ|)Ц111РМП1.СИ fxMri- V3KIIM клас-
сом чгтмрс-хуголмшкоп. либо искать более
с. южную формулу, пригодную хтя всех
четырехугольников. Па первом пути можно
получим, следующим факт формул* Брама-
гуты A) верна пи каждого четырехуголь-
ники, ннисапиого п окружность.

При обсуждении утверждения Бра-
магупты мы внделп, что решающую
роль сыграли не подтверждающие
частные случаи (квадрат, прямоуголь-
ник), а опровергающий частный слу-
чаи (ромб, отличный от квадрага).
Наличие любою большого (даже бес-
конечного) числа разнообразных под-
тверждающих примеров еще не может
служить доказательством правильно-
сти математического утверждения; но
указание на одни опровергающий при-
м?р(«котрпрнмер») пол ноет ью док азы —
няст. что утверждение ошибочно. Та-
кова сила контрпримера! Полез-
но приобрести кавыки в поиске не-
громоздких контрпримеров.
Пример I. У ч с и и к у Л а —
к о в у представляется
очевидным, что прямо-
у г о л ь н и к (рис. 2). о п п сан-
и ы и около правильного
г р с у г о л ь п и к а *). имеет
вдвое большую и л о m а д ь,
чем этот т р с у гол ь и п к.
У ч е и и к Н сгов но л а г а е т.
ч т о 9 т о у г в е р жд сине
ошибочно. Кто и р а в?
*) Прямоугольник считается описанным
около треугольника, если и я каждой стороне
прячоуюльннка <быть может. В копне *той
ггоронм) находится хотя 6и одна вершина
ippy голышка.
Рис. 2.
Для выяснения истины ребята об-
ратились к тому частному случаю,
когда одна сторона треугольника це-
ликом лежит па стороне прямоуголь-
ника (рис. 3). В этом случае гипо-
теза Дакова подтверждается. Однако
это еще не значит, что она верна.
Ученик Метов предлагает обратиться
к другому частному случаю: пусть
диагональ описанного «прямоуголь-
ника ОМСК расположена на биссект-
рисе угла правильного треугольника
ЛВС ‘(рис. 4).
Положим ОА=ОВ— 1. На про-
должении отрезка ОХ отложим отре-
зок XD AM. Тогда
A ACD = 30». АВ -* I 2.
>ллвс -¦
АВ’\ 3 Уз
лов
пке) =
— ~5~ «г» ^ лсо — ~о~
4- = l
Огсюда ясно, чго
о , I
°_.лвс ^ ~о~
А»С К •
Итак, мы получили контрпример,
опровергающий гипотезу Дакова.
Пример 2. Ученик Д а к о в
убежден. что пряная,
проходящая через центр
тяжести любого четырех-
угольн ir к а, делит пот
четырех у гольн и к н а
две равновеликие части
(рис. 5). Проверка пока-
зала, что это утвержде-
ние верно для квадра-
та, и р я м о у г о л ь н и к а, р о и
б а, пара л л ел о г р а м лг

21 Испытание на правдоподобие. 

T р с 6 у с т с я д о к а з а т I» г » —
и о т е з у Л а к о в а или опро-
вергнуть с е.
В случаях, рассмотренных Дако-
пым, центр тяжести четырехуголь-
ника является одновременно и центром
симметрии. Поэтому хорошим испы-
танием на правдоподобие будет рас-
смотрение какого-либо четырехуголь-
ника, не имеющего непгра симметрии,
например трапеции. Выберем такую
трапецию, центр тяжести которой
было бы нетрудно найти (рис. 6).
Трапеция Л BCD составлена из квад-
рата А ПСЕ со стороной а и равно-
великого с ним прямоугольного тре-
угольника CF.D iED—Щ.
Пусть О. .И, 7. соответственно
центры тяжести квадрата, треуголь-
ника, транетш; О,, .И,. Z, — проек-
ции зти.х точек из прямую .-ID. Тог-
да Z — середина отрезка ОМ, и легко
подсчитать, что
О,Л/, — ~а ; -g~’2″ ПГ»‘
Следовательно, точка Z, лежит
между Е и D, гак что прямая Z,Z
Рис. 6.
Рис. 8.
не делит трапецию на равновеликие
фигуры. Гипотеза Дакова ошибочна.
Симметрия обязывает …
Пусть в условии задачи говорится
о каких-то величинах а. 1>. с, … Если
условие не изменяется, когда меняют
местами две in этих величин (скажем,
а и ft), то говорят, что оно симметрич-
но относительно этих величин. Ес-
тественно, что этим свойством должен
тогда обладать н ответ к задаче.
.Можно представить н более слож-
ный случай, когда условно задачи
не меняется от «циклической» («кру-
говой») перестановки некоторых ве-
личин (рис. 7). Тогда п ответ к задаче
не должен меняться при той же ци-
клической перестановке букв.
Эти простые замечания иногда по-
зволяют обнаружить ошибочность от-
вета к калаче даже тому, кто сам
ее решить не умеет.
Пример 3. Па занятие
м а т е м а т и ч е с к о г о к р у ж ¦
к а X к л а с с о в о д н а ж д ы
н р п ш е л д е и я т и к л а с с н и к
Пет я. Ч л с и ы кружка р е —
ш а л и т а к у io я а д а ч у: дан
тетраэдр (рнс. 8). и рот и-
в о и о л о -к и ы е ребра к о т о —
р о г о п о и а р и о р а в и ы. Сто-
р о и ы о с и о в а и и я р а в п ы
соответственно «, 5. с.
Требуется в ы ч и с л ить
объем V г с г р а ‘* д р а.
Десятиклассник, рядом с которым
оказался Петя, объяснил ему, что
такое тетраэдр (треугольная пира-
мида), и сказал, по какой формуле

22 Испытание на правдоподобие. 

вычисляется объем пирамиды. Петя
попытался решить эту задачу, но
безуспешно. Тем временем некоторые
члены кружка уже успели получить
решения — различные ответы были
выписаны на доске:
У=У 2{а2 + Ь2Ч-с8)(a*—6s+ti) X
V
c\
A)
V — V 2 (а2 4- б2 + с2) (и2 4- 6*—с*) X
-аг-Ьа-), B)
V = 4
т с а ) X
^Г C)
X J>4c2-q2)(c!-|u8-6!). D)
Каком же ответ правилен?
Здесь Петя показал, что он со-
образительный парень, хотя и не
знает стереометрии.
«Условие задачи, — сказал он, —
не изменится, если поменять местами
буквы а и Ь. Поэтому и ответ не дол-
жен измениться при такой переста-
новке букв, то есть если ответ A)
верен, то должна быть верна и такая
формула:
V = у 2
X \ а*
E)
Но формулы A) и (о) (при афЬ)
приводят к различным значениям для
объема, что нелепо.
Ответ B) сохраняется, если по-
менять местами любые две из трех
букв а, Ь, с; он поэтому сохранится
и при циклической перестановке этих
букв. Но он все-таки ошибочен —
это видно «из соображений размер-
ности»: если считать, что а, Ь и с
измеряются в метрах, то объем V,
определяемый формулой B), имел бы
размерность лМ
Ответ C) успешно выдерживает
испытания «на симметрию», «на ци-
кличность» и «на размерность». Про-
верим его на частном случае: рас-
смотрим тетраэдр, у которого все
шесть ребер равны а. Вычисляя пло-
щадь его основания и высоту и поль-
зуясь формулой для вычисления объе-
ма тетраэдра (V = -у 5 • Н), найдем
(выкладки опускаем): V — ° У ¦
Между тем ответ C) при6—с- а дает:
V — -g-a3. Следовательно, этот ответ
тоже неверен.
Ответ D) успешно выдерживает
все те испытания, которым мы под-
вергли предыдущие ответы. Это, ко-
нечно, еще не значит, что он верен;
но имеет смысл, —закончил Петя,—
проверить лишь то решение, которое
привело к этому ответу».

Эта странная задача Мальфаттн

В 1803 году в одном итальянском
математическом журнале появилась
статья профессора университета
в Ферраре Джапфранческо Мальфат-
тн, где была сформулирована сле-
дующая задача:
Задача 1. Как пало выре-
зать из прямой треу-
гольной призмы (рис. 9)
три прямых к р у го в ых
ци л и н д р а (то н же вы-
соты, что и призма), что-
бы отходы были мини-
мальны м и?
Эта задача равносильна, очевидно,
такой:
Задача 11. Как следует
расположить в данном
треугольнике три по-
парно не перекрывающих-
ся круга так, чтобы сум-
ма их площадей была
наибольше и?
Мальфатти считает, что последняя
задача II сводится, в свою очередь,
к следующей:
Задача III. В данном тре-
уг о л ь н и к е рас н оло ж и т ь
три круга так. чтобы
к а ж д ы и и з них к а с а л с я

23 Испытание на правдоподобие. 

л в у х л р у г н х
двух сторон
н и к а (рис. 10).
Тройку кругов, о которой го-
ворится в задаче III, принято на-
ливать «кругами Мальфатти» данного
треугольника. .Мальфатти в своей
статье сообщил (без доказательства,
опущенного им из-за его «чрезвычайной
сложности») формулы, позволяющие
вычислить радиусы таких кругов и
построить сами круги циркулем и
линейкой. В течение последующих по-
лутораста лет к задаче Мальфатти
обращались математик» разных стран
(в том числе знаменитый швейиар-
скнй геометр Якоб Штейнер, немец
Шельбах. француз Деруссо, амери-
канцы Лоб и Ричмонд и др.). которые
указывали различные способы пост-
роения кругов Мальфатти и вычис-
ления их радиусов.
Любопытно, что в течение 125 лет
(до 1929 г.) справедливость гипотезы
.Мальфатти о сводимости задачи II
к задаче Ш ни у кого не вызывала
сомнений. Между тем простые рас-
суждения позволяют испытать эту
гипотезу Мальфатти на правдоподо-
бие и … опровергнуть ее!
Рассмотрим равнобедренный треу-
гольник ABC, высота CD которого
значительно больше основания. Пс-
местим в нем три круга (один за
другим), как указано на рисунке II.
Проследим, как будет меняться кар-
тина при увеличении высоты DC-
При неограниченном росте этой вы-
соты сумма площадей указанных трех
кругов станет как угодно близкой
к утроенной площади круга с диа-
метром, равным основанию А В, то
есть к -т- лАВ*. Между тем сумма
площадей кругов Мальфатти (рис. 12)
для того же треугольника с ростом
высоты DC будет оставаться меньше
чем
Из полученных формул ясно, что
для «очень узкого треугольника» сум-
марная площадь кругов, изображен-
ных па рисунке II, будет примерно
вдвое (!) больше суммарной площади
кругов .Мальфатти.
Таким образом, гипотеза Маль-
фатти неверна.
Мы могли бы, кстати, применить
и другой способ проверки правдопо-
добия гипотезы Мальфатти — испы-
тать какой-либо частный случай, ска-
жем, правильный треугольник. Для
9той цели можно было бы сравнить
суммарную площадь кругов Мальфат-
ти (рис. 13), например, с суммарной
площадью трех кругов, указанных
на рисунке 14. Но выкладки при *том
оказываются более громоздкими и
расхождение не столь разительным:
суммарная площадь этих кругов ока-
зывается больше общей площади кру-
гов Мальфаттн для того же треу-
гольника лишь примерно на КЗ11».

24 Испытание на правдоподобие. 

Интересно, что американскому ма-
тематику Л\. Гольдбергу удалось в
1%7 голу обнаружить, что круги
Мальфатгн mi для какого треуголь-
ника не дают решения «исходной
задачи Мал ьфаттн» (задача II).
Использованный при рассмотрении
задачи Мальфаттн прием «обращения
к предельному случаю» часто и ус-
пешно привлекается для испытания
математических предложений на прав-
доиодобие.
Только ли .мм лмринсржения?
Тольь’А ли в чатемл1 ике?
До сих noj) вроде бы получалось,
что «испытании на правдоподобие»
могут лишь привести к опровержению
сомнительных гипотез. Но нельзя ля
прийти таким путем к результату
«положительного» характера? Не уда-
стен ли с помощью этих методов
получить новое открытие? А как в
других науках: в физике, химии,
биологии? Ведь любой опыт, строго
говоря, может либо опровергнуть лож-
ную гипотезу, либо подтвердить се
правдоподобие, но никоим образом
не доказать! И тем не менее мы
знаем мною «законов пауки», полу-
ченных именно опытным (как гово-
рят, «индуктивным») путем.
Все это, конечно, требует спе
цнальиого разговора. Чтобы не ста-
вить такой разговор в зависимость
от продолжения этой статьи, поре-
комендуем читателю прекрасные кни-
ги Льердя Пойа:
1) Математика и правдоподобные
рассуждения (ИЛ, 1957);
2) Как решить задачу (Учпедгиз,
1959);
3) Математическое открытие («На-
ука», 1970).
Отдельные примеры, связанные с
темой данной статьи, читатель может
найти и в нашей книге «Математика
после уроков» («Просвещение», 1971).

Числовой треугольник

iivz\. uu нмлптч: iiv fctci. числовой тре-
угольник, я ю.1ько его мемю» часть. За-
кон fifiii.uowMiiiH 1Гк»\толы»!КЛ очеимлен. и

гш бей труда Mtifeerc продолжить enj
утдно ja.iL-ко uiip;iiio. Средняя ггрика »ю-
rii чнелопоги Tpi-yiо и.ника оамдиег рядом
X 11С«»б1*1111ОСТ1-Й.
ix. исо ч»1й II «toft cl роке -че-
чегние.
!iontofn.ix. :имим1>1.’ть u:i . |Ш у >им»| по-
1мо.кшаголык>сп1 ia *.t. чти у натурального
рила Осл елипним: ‘2. 3. 1. 5. li m спь
первое число мл три но лс.’ммея. торос ло
.пнгн. греты: но делнггя. мсгниртое не до-
.iiiTi-я, пятое дйлпки… Bi>o6me на грн ле
.iii*i’)i ж’яь’ое {‘-Ik—П-е чне.ю сгрпк;|.
Вгретьих. iipon.ini-.iiMiiic Двух ссч-Ч-диих чн-
tei »топ строк» также лежит о »rufi отроке.
Например, чне.’ю 21 «ччь upon шо.ц-ине чп
сел i н 7.
Чтобы усгяноиить. чем шлианы ьгн то-
бсиносгн числового треугольника, попро-
буйте найти ooiuVw формулу чжмн и грел-
мей отроке. В этом в’ам улулчст помочь реше-
ние «алачн \\78 (см. стр. 40 i

25 Испытание на правдоподобие. 

 

Испытание на правдоподобие