Home » ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ. » Магнитное поле тока

Магнитное поле тока

§ 22. Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды

Глава III . ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Главная страница СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ.

Скачать или посмотреть оригинал
«Глава III . ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ» в формате PDF. стр. 85-125

Ответы на задачи «Глава III . ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. Ответы«. стр. 280-347

Ниже можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска на сайте помогут Вам быстрее найти нужную информацию.

ЧП в семье Порошенко — сын попал в ДТП

569. Исходя из соображений размерности, определить
напряженность магнитного поля на расстоянии г от 1) бесконечно
длинной прямой нити, по которой течет ток /;
2 ) бесконечной плоскости, по которой течет поверхностный
ток плотности /..

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ.
Свойства пара.

561. По бесконечной прямолинейной тонкостенной трубе
течет ток /. Определить индукцию магнитного поля в произвольной
точке, внутри трубы.
562. Учитывая, что индукция магнитного поля внутри
длинного цилиндрического проводника равна Я = £ — 2я/г,
где / — плотность „тока, г — расстояние от оси проводника,
£ — коэффициент, зависящий от выбора системы единиц,
определить индукцию магнитного поля в произвольной

109 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды.

точке внутри длинной цилиндрической полости, вырезанной
параллельно оси проводника. По проводнику течет ток
плотности /. Расстояние между осями проводника и полости
равно d.
563. Начертить распределение линий индукции магнитного
поля в полости проводника, описанного в задаче 562.
564. По контуру в виде круга радиуса R течет ток.
Определить индукцию магнитного поля в центре круга,
если сила тока равна I.
П р и м е ч а н и е . При определении индукции магнитного
поля можно воспользоваться законом Био—Сава-
ра—Лапласа. Этот закон утверждает, что элемент контура
А/, по которому течет ток / , создает в произвольной точке
А пространства магнитное поле, индукция которого равна
где г — расстояние от элемента АI до точки А, а — угол,
который составляет радиус-вектор г с элементом A I, k —
коэффициент, зависящий от выбора системы единиц. Направление
А В определяется правилом буравчика: направление
вращения головки буравчика соответствует направлению
тока / в элементе контура А/. Вектор АВ перпендикулярен
к плоскости, содержащей элемент А/ и радиус-вектор
г.
565. По контуру в виде кольца радиуса R течет ток / ,
Определить индукцию магнитного поля в произвольной
точке, лежащей на перпендикуляре, восставленном к плоскости
кольца из его центра.
566. По бесконечно длинному проводнику ЛЯС, изогнутому
под прямым углом, течет ток / (рис, 191). Во сколько

Магнитное поле тока

Магнитное поле тока

раз изменится напряженность магнитного поля в точке
М, если к точке В присоединить бесконечно длинный пря1

110 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды.

на две равные части, а ток в проводнике АВ оставался
бы прежним?
567. По проводнику, расположенному в одной плоскости,
как изображено на рис. 192, течет ток. Найти индукцию
магнитного поля в произвольной точке линии АВ, являющейся
осью симметрии проводника.
568. .Под длинной горизонтальной шиной на двух одинаковых
пружинах (коэффициент упругости каждой равен
k) подвешен провод длиной I. Когда по шине и проводу
токи не текут, расстояние между ними А. Найти расстояние
между шиной и проводом, если по шине течет ток /,
а по проводу i. Провод не может выйти из вертикальной
плоскости.
— 569. Определить силу, с которой действует бесконечно
длинный прямой провод на прямоугольный контур, расположенный
в плоскости провода. Известно,
что по проводу течет ток / , а по
контуру — 1\. Стороны контура AD и ВС 1
имеют длину а и расположены параллельно
проводу. Расстояние от AD до провода
х. Длина сторон A B—DC=h. Направления
токов указаны на рис. 193 стрелками. |
.570. Медный провод сечением S, согну- ^ д
тый в виде трех сторон квадрата, может
вращаться вокруг горизонтальной оси
(рис. 194). Провод находится в однородном Рис. 193.
магнитном поле, направленном вертикально.
Когда по проводу течет ток / , провод отклоняется на
угол^х от вертикали. Определить индукцию поля. Плотн
о й меди равна р.
о ‘
о!
Рис. 194. Рис. 195.
А
571. В центре длинного соленоида, на каждый сантиметр
длины которого приходится п витке®, находится короткая
катушка, состоящая из N витков и имеющая сечение S.
Ось этой катушки перпендикулярна оси длинного соленоида
и направлена вертикально. Внутренняя катушка у креп

111 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды.

лена на одном конце коромысла весов, которые в отсутствие
тока находятся в равновесии. Когда через обе катушки
пропускают один и тот же ток / , для уравновешивания весов
на правое плечо коромысла (рис. 195) приходится добавить
груз Р. Длина правого плеча коромысла равна L.
Определить силу тока I. ‘
• П р и м е ч а н и е . Индукция магнитного поля вблизи
центра длинного соленоида равна В = ц 0п1, где п ■— число
витков на единицу длины соленоида, а / — сила тока, текущего
по соленоиду.
572. По проволочному кольцу радиуса R, подвешенному
на двух гибких проводниках, течет ток I. Кольцо помещено
в однородное магнитное поле с индукцией В. Линии
индукции горизонтальны. С какой силой растянуто
кольцо?
-575. Проволочное кольцо радиуса R находится в неоднородном
магнитном поле, линии индукции которого составляют
в точках пересечения с кольцом у гол а относительно
нормали к плоскости кольца (рис. 196). Индукция магнитн
о го поля, действующего на кольцо, равна Д. По кольцу
течет ток / . С какой силой магнитное поле действует на
кольцо?

574. Прямоугольный контур Л BCD, стороны которого
имеют длину а и Ь, находится в однородном магнитном поле
индукции В и может вращаться вокруг оси 0 0 ‘ (рис. 197).
По контуру течет постоянный ток /. Определить работу,
совершенную магнитным полем при повороте контура ца
180°, если вначале плоскость контура была перпендикулярна
магнитному полю и расположена так, как показано
на рис. 197,

112 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды.

575. Как будет двигаться в однородном магнитном поле,
электрон, если в начальный момент его скорость составляет
угол а с линиями индукции поля?
576. По металлической ленте ширины А В—а течет ток I .
Лента помещена в магнитное поле, индукция которого
перпендикулярна ленте (рис. 198). Определить разность
потенциалов между точками Л и В ленты.
577. Незаряженный металлический брусок представляет
сабой прямоугольный параллелепипед со сторонами
а, Ъ, с (сф>с, Ь^>с). Брусок дви-
.жется в магнитном поле в направлении
стороны а со скоростью
V. Индукция магнитного
поля В. перпендикулярна осно-
В , ‘
Рис. 198.
у
%V
Чс
ванию бруска со сторонами а, с (рис. 199). Определить
напряженность электрического поля в бруске и плотность
электрических зарядов на боковых поверхностях параллелепипеда,
образованных сторонами а,Ь.
578. Незаряженный металлический цилиндр радиуса г
вращается в магнитном поле с угловой скоростью со вокруг
своей осн. Индукция магнитного поля направлена вдоль
‘ оси цилиндра. Каково должно быть значение индукции
магнитного поля, чтобы в цилиндре не возникло электростатическое
поле?
579. Найти напряженность электростатического поля
в цилиндре (см. задачу 578), если индукция магнитного поля
равна В.
580. Пучок однозарядных ионов попадает в область пространства,
где имеется однородное электрическое поле с напряженностью
B = f0 0 Н/Кл и однородное магнитное поле
с индукцией В = 0,02 Н/(А-м). Электрическое и магнитное
поля направлены под прямым углом друг к другу и оба
перпендикулярны к пучку. Ионы проходят эти скрещенные
электрическое и магнитное поля без отклонения и проникают
через-щель в область однородного магнитного поля
с индукцией В ‘= 0 ,0 9 Н/(А-м), направленной перпендику-

113 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды.

лярно движению ионов. Если ионы представляют собой
смесь с массами, равными 2 0 и 2 2 атомным единицам массы,
то на каком расстоянии друг от друга эти ионы окажутся,
пройдя половину окружности?

114 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды.

 

 

 

§ 22. Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды. Ответы.

Ответы на задачи «Глава III . ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. Ответы«. стр. 280-347

560. В системе СИ имеем
[Я] = //Д [/] = /, [r]=L, [j)=UL,
где / и L—символы размерностей тока и длины. Отсюда следует:
в случае (1) Я = Ct / /г; в случае (2) Я = С2/,
где Ci и С2—некоторые константы. Теоретический расчет дает следующие
точные формулы:
в случае (1) Я = //2яг; в случае (2) Я = //2.
561. Ток, протекающий по трубе, можно рассматривать как сумму
множества одинаковых прямолинейных
токов, равномерно распределенных
по поверхности трубы.
Напряженность магнитного поля
в любой точке пространства можно
представить как сумму напряженностей
полей, создаваемых этими
токами.
На рис. 463 изображено поперечное
сечение трубы, вдоль которой
проходит ток. Сравним напряженности
магнитных полей Я 1
и Я 2, создаваемых в точке А линейными
токами / х и / 2, проходящими
через малые дуги St и S2.
Длины дуг равны Sl = a/?1/cos фх
и S2= a / ? 2/cos«p2, где 1?! и Я2 —
расстояния до точки А. Но, как
видно из чертежа, ф] = cp2- Следо- Рис. 463.
вательно, S1/S2 = l? i/# 2- Ток по
трубе распределен равномерно, поэтому / 1/ / 2 = S J S 2, откуда / х/Ях =
= ^г/Я2. — ‘ ■
Напряженности магнитных полей, создаваемых в точке А токами
/х и / 2, пропорциональны этим токам и обратно пропорциональны
соответствующим расстояниям. Следовательно,
Я х ~ klxj Ях — k l 2/Я2 = Я 2,
причем Я х и Я 2 направлены в противоположные стороны. Так как
для каждого элемента поперечного сечения трубы можно подобрать
соответствующий элемент, полностью компенсирующий магнитное
поле первого элемента в точке А , то результирующее магнитное поле

325 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды. Ответы.

тока, протекающего по трубе, в любой точке внутри трубы будет
иметь напряженность, равную нулю. >
562. Проводник с подсетью эквивалентен сплошному проводнику,
по которому течет, ток плотности /, а по объему, соответствующему
полости, -кроме того, течет ток той же плотности в обратном направлении.
Суммарный ток в указанном объеме будет равен нулю, а это
соответствует наличию полости в сплошном проводнике.
Поле, созданное током плотности / в произвольной точке А полости,
равно Bi = k-2njR (рис. 464). Здесь ^ — расстояние от оси
проводника до, точки А. (Предполагается, что ток течет к нам.) В той
же точке ток, текущий по объему, соответствующему полости, в обратном
направлении, создает поле В2 = &-2л;/л. Как видно из рис.
464, полная индукция

563. Д АОС сю Д BAD (рие. 464), так как зги треугольники
имеют по одному равному углу, а стороны, заключающие эти углы,
пропорциональны. Значит, £ A O C = £ B A D . Ho R _|_ В1г и, следовательно,
В _\_d. Индукция магнитного поля в любой точке полости
перпендикулярна линии, соединяющей центры проводника и полости-
Соответствующее распределение линий -изображено на рис. 465.
564. Люб ей элемент кругового контура АI находится на одном
и том же расстоянии R от центра. Кроме того, для любого элемента
АI радиус-вектор R перпендикулярен к А/, т. е. се= я/2,
sin а = 1. Таким образом, индукция магнитного поля’ АВ,, создаваемого
в центре круга элементом Д£, равна АВ — k l Al/R2.
Индукция АВ направлена перпендикулярно к плоскости круга,
и так как все элементы АI создают в центре одинаково направленные
АВ, то суммарная индукция-магнитного поля выразится суммой

326 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды. Ответы.

385. Определим индукцию магнитного поди в точке А, отстоящей
на расстояние d от плоскости контура (рис. 466). Расстояние
«лементов At от точки А обозначим через г. Рассмотрим индукции
ДВ* и ДВ2, создаваемые двумя элементами контура А/, и Д/2, находящимися
на противоположных концах диаметра. Так как угол а
между г я At равен я/2 (как угол между образующей конуса и элементом
окружности его основания), то (см. задачу 664)
A B i ^ k lA l J r l , А В г ^ к ! A l t / r l
Выбрав Д/1 = Д/2==Д/ и замечая, что гг = гг, получим
ABt = ДВ2 = k l Al/r2.
Геометричеекая сумма АВ векторов ДВ^ и ДВ2 будет направлена
вдоль оси кругового тока и численно равна сумме проекций
ДВ, я ДВ* на ось &-А\» . .
ДВ — ABt sin р — f ДВ2 sin р = 2к sin р.
Поскольку sin Р ==-/?//■, то
Д. B„ = k, 2—/ Д/ R.
Разбивая весь круговой контур на хоответствующие пары элементов
Д/, получим, что результирующая индукция магнитного поля
направлена вдоль оси кругового тока и численно равна сумме
21 M R . I R
В = 2 дв = 2 *
Поскольку 2 ‘^ jA l — 2nR, то
В = А ^ 2 я # = А
k ‘ « 2 S A / .
2n R 4
(7?2+ d 2)s/2‘
566. Проводник ВС не создает поля в точке М. Согласно данному
в примечании к задаче 564 правилу магнитное поле от любых
элементов проводника ВС должно быть перпендикулярно линии
ВМ. Поэтому наличие отличного от нуля поля в М противоречило
бы симметрии задачи, ибо все направления, перпендикулярные ВМ,

327 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды. Ответы.

равноправны. Так как напряженность поля пропорциональна силе
тока, то до присоединения провода H1 = kl. Поля от проводников
АВ и BD складываются. Следовательно, после присоединения проводника
BD
Я2 = й/ +Й//2.
Отсюда Н2/Н1 = 3/2.
567. В произвольной точке линии АВ любой малый элемент тока
проводника АСВ создает магнитное поле, перпендикулярное плоскости
чертежа (см, задачу 566), Симметричный ему элемент проводника
ADB создает такое же поле, но направленное в противоположную
сторону. Поле от двух любых симметрично расположенных элементов
поэтому будет равно нулю. Следовательно, поле в произвольной
точке А В , созданное всем проводником, равно нулю, так как
прямолинейные участки проводника также не создают поля на АВ.
568. 1) Токи / и i текут в одну сторону. Сила взаимного притяжения
между шиной и проводом при расстоянии х между ними
равна
2ях I.
Равнодействующая силы тяжести и сил упругости пружин направлена
вниз и равна / = 2й(й—х). В положении равновесия F — f.
Отсюда получаем квадратное уравнение относительно х. Решение
уравнения дает
= — у -j- (устойчивое равновесие);
*2 = -g-— ~ \ / ~ (неУст°йчивое равновесие).
Если й2/4 < р0/(7/4яй, т. е. k < [i0Iil/nh2, провод притянется к шине.
2) Токи I n i текут в противоположных направлениях. Провод
отталкивается и будет в устойчивом равновесии на расстоянии
— r + V
й2 , ц0Ш
4я к
569. Силы, действующие на стороны АВ и DC, равны по величине
и противоположны по направлению, их сумма равна нулю.
Сила Ft , действующая со стороны тока / на AD, равна
2ях
Сила F2, действующая на ВС, равна
р __ P o ^ i
2я (х+ й )
Силы F1 и F2 направлены вдоль одной прямой в противоположные
стороны, причем Fx > й 2. Следовательно, контур будет притягиваться
к проводу с силой

328 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды. Ответы.

570. Обозначим длину стороны квадрата через /. Момент сил
магнитного поля, выводящий рамку из вертикального положения,
равен
М — B I l 2 cos ос.
На рамку, отклоненную от вертикали на угол ос, действует, кроме
того, момент сил тяжести, стремящийся вернуть рамку в вертикальное
положение. Этот момент равен
М’ = 2pgSl2 sin а.
Условие равновесия рамки:
М = М’, ВП2 cos a = 2pgSl2 sin а.
Отсюда находим индукцию магнитного поля: В = tg а.
571. Магнитный момент М, действующий на короткую катушку
со стороны поля соленоида, равен M = INSB, где В = ц0п1. Из ус-
ловия равновесия весов M = PL находим 1— 1 // —P—L— . У Цо nNS
572. Под влиянием магнитного поля кольцо повернется таким
образом, что силовые линии поля станут перпендикулярными плоскости
кольца и будут образовывать с направлением тока правый
винт. При этом натяжение кольца станет максимальным. Применяя
метод, использованный при решении задачи 415, получим F = BIR.
573. На элемент кольца Д/ действует сила ДF = BI Д/ (рис. 467).
Разложим ее на составляющие AFt и Д/; Д/г1 лежит в плоскости
кольца, a Af=&Fs ina, нормальна к плоскости кольца. Равнодействующая
сил ДFu действующих на отдельные элементы кольца, равна
нулю. Эти силы только растягивают кольцо. Полная сила /, действующая
На кольцо, равна сумме сил Дf:
/ = 2 BI sin a-Ali = B_I 2kR sin a.
i
574. Силы, действующие на стороны ВС и AD, перпендикулярны
перемещению этих сторон, поэтому эти силы не совершают работы.
Силы, действующие на стороны АВ и CD, постоянны, составляют

329 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды. Ответы.

прямой угол с направлением поля и численно равны f= jB /a
(рис. 468). Искомая работа будет равна удвоенному произведШвд
си’Лы на перемещение стороны АВ или CD в направлении силы. Это
перемещение при повороте контура на 180° равна Ь, Следовательно,
Л = |В/а&. }
575. Разложим скорость электрона на составляющие: v |( —параллельную
В и —перпендикулярную В (рис. 469). v ц не меняется
ни по величине, ни по направлению, так как сила Лоренца
не действует на частицу, имеющую скорость вдоль поля, меняется
по направлению, так как за счет этой составляющей на электрон
‘ действует сила Лоренца, постоянная по величине и перпендикулярная
скорости Uj_. Поэтому ускорение электрона тоже постоянно по
величине и перпендикулярно скорости Но движение с Постоянной
скоростью и постоянным ускорением, перпендикулярным этой
скорости, есть равномерное движение по окружности.
Таким образом, на равномерное поступательное движение вдоль
В накладывается вращение по окружности в плоскости, перпендикулярной
В. В результате возникает движение но винтовой линии
с шагом А = СцТ, где т —время одного оборота электрона ho
окружности, радиус которой, как легко найти, равен R — mv sin а/Be.
Так как т *= 2nR/v^ = 2пт/Ве, то h = (2пт/Ве) и cos а.

576. Вследствие действия силы Лоренца электроны будут перемещаться
к краю ленты. Поэтому один край ленты приобретет отрицательный
заряд, а другой — положительный; внутри ленты возникнет
дополнительное электрическое поле, напряженность -Е которого
направлена перпендикулярно току. Перемещение электронов продолжится
до тех пор, лока сила Лоренца не будет уравновешена силой,
действующей на электрон со стороны электрического поля; еЕ == Bev.
Отсюда E = Bv, Разность потенциалов фд — q>s^Ea = Bva, или, так
как I = nevS, фд — Фа = Bal/neS.
577. Сила Лоренца действует как на свободные электроны, так
и на положительные ионы, находящиеся в узлах кристаллической
решетки, поскольку и те и другие движутся в магнитном поле. Сила
/, действующая на свободные электроны, согласно правилу девой
руки будет направлена так, как это показано на рис. 470. Электроны
относительно решетки смещаются, и одна боковая сторона параллелепипеда
заряжается отрицательным электричеством, другая —положительным.
В бруске возникает электрическое поле, и, когда напря

330 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды. Ответы.

женность этого поля будет удовлетворять соотношению еЕ — Bev,
перемещение электронов относительно решетки прекратится. Искомая
напряженность Е = Bv. Плотность зарядов о находим из соотношений
а/е0 — Е. Следовательно, о = Вое0.
378. Для того чтобы электростатическое поле не возникало, электроны
при вращении цилиндра не должны перемещаться относительно
кристаллической решетки. Эго перемещение будет отсутствовать, если
_ действующая на электроны сила Лоренца равна тв>2г, т. е. mceV —
— Bev. Так как о == шг, то В — тш/е. Поле должно быть направлено
в сторону поступательного перемещения буравчика, рукоятка которого
вращается в том же направлении, что и цилиндр.
579. Е ~ т® Г ш г В. Здесь заряд электрона равен (—; е). Е положительно,.
если направлено от оси цилиндра. Если направление В
и направление вращения цилиндра составляют правый винт, то надо
брать знак минус, в противном случае—знак плюс.
380. Так как ионы проходят скрещенные поля без отклонения,
то Ее—Bev — 0, откуда v= E /B = 5000 м/с. В дальнейшем каждый
ион будет двигаться по окружности диаметра 2 R = 2mvfB’e, где т —
масса иона. Следовательно, искомое расстояние р’авно Д(2R )—
— . т а?{ как Д /в = 2 атомные единицы массы =2-1,66 -10—27 кг,
е— 1 ,6 -1 0 — и ‘Кл, о=5000 м/с, В ‘= 0 ,0 9 Н/(А-м), то

331 Магнитное поле тока. Действие магнитного поля
на ток и движущиеся заряды. Ответы.

Статистика


Яндекс.Метрика