Математические ГОЛОВОЛОМКИ И РАЗВЛЕЧЕНИЯ | РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ

Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :

страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)

Ниже текст для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Смотрите оригинал в формате PDF по ссылке выше.

Под таким названием вышла
в 1971 году книга М. Гарднера
*).
Это не первый перевод
книг М. Гарднера. Вышедшие
ранее переводы его
книг «Этот правый, левый
мир», «Теория относительности
для миллионов», «Математические
чудеса и тайны
» завоевали широкое признание
советского читателя.
Секрет удачи автора в том,
что он умеет позаботиться
о читателе: там, где необходимость
требует что-либо
объяснить, он не пренебрегает
этим; там, где читатель с
удовольствием провел бы
рассуждения или вычисления
сам, Гардиер предоставляет
ему такую возможность.
В «Математических головоломках
и развлечениях»стиль
автора — сочетание довольно
высокого для популярного
текста научного уровня изложения
с мягким, тактичным
и, как правило, уместным
юмором — остался прежним.
На науку у него выработался
собственный взгляд, вероятно,
еще в 50-е годы, когда
он занимался исследованием,
что собой представляет псевдонаука.
Впрочем, несколько
позднее ему довелось редактировать
книгу известного
философа н физика Карнапа,
который пытался Доступно
для широкого читателя
рассказать, что собой
представляют понятия, теория
и методы физических
наук. С другой стороны,
Мартин Гарднер приобрел
•) М. Г а р д н е р. Мате-
՞ матические головоломки и
развлечения. М., «Мир»,
197\.
опыт очеркиста, работая до
Второй мировой войны в
газетах. После войны он
начал писать новеллы, и
намеревался стать писате-
лем-профессионалом, специализирующимся
в беллетристике,
но победило влечение
к точным наукам, в которых
ои искал занимательное и парадоксальное.
Книга «Математические головоломки
н развлечения»
представляет собой сборник
математических научно-
популярных очерков и отдельных
задач с решениями.
Эти материалы выдержали
читательскую критику, поскольку
первоначально издавались
в журнале Scientific
American, где с 1957 года
Мартин Гарднер ведет раздел
«Математические игры».
Наиболее интересные письма
читателей автор включил в
книгу.
За счет чего достигается
занимательность? Конечно,
дело не только в мягком
юморе. Целые страницы
уделяются истории возникновения
и развития чем-
либо замечательных математических
проблем, игр
и теорий, причем читателю
представляется возможность
участвовать в создании этой
истории. Читатель (а он
далеко не всегда является
профессиональным математиком)
находит решения
задач, которые ставят в
тупик порой и специалистов,
хотя и не требуют сколько-
нибудь глубоких познаний от
того, кто ими занимается.
Немаловажную роль для занимательности
играют неожиданные
выводы, к которым
Гарднер подводнт читателя.
И еще об одной стороне
занимательности книги
Гарднера следует сказать
особо. Ссылаясь на известного
изобретателя головоломок
Генри Дьюденн.
ГарДнер пишет: «…литература
по занимательной математике
страдает чудовищными
повторениями». И
тут же добавляет: «…хочу надеяться,
что в моей книге
читатели обнаружат ббль-
шую, чем обычно, порцию
свежего материала, который
прежде не находил места
на страницах занимательной
математической литературы».
Большинство читателей едва
ли не в любом нз помещенных
в «Математических головоломках
и развлечениях» очерке
или подборке задач найдет
для себя новое и неожиданное.
Устанавливая свое кредо,
Мартнн Гарднер пишет: «Математики
творческого склада
обычно не стыдятся своего
интереса к занимательным
задачам н головоломкам.
Топология берет свое
начало в работе Эйлера о семи
кенигсбергских мостах.Лейбниц
потратил немало времени
иа решение головоломки,
которая недавно пережила
свое второе рождение под
названием «Проверьте уровень
своего развития».

51

Очевидец рассказывает о целой
полке в книжном шкафу
Эйнштейна, «забитой математическими
забавами и головоломками
». «Нетрудно понять
интерес, который все
эти великие умы питали
к математической игре, ибо
творческое мышление, находящее
для себя награду
в стать тривиальных за дачках,
сродни тому типу
мышления, который приводит
к математическому и
вообще научному открытию.
В конце концов, что такое
математика, как не систематические
попытки найти
все лучшие и лучшие ответы
на тс головоломки, которые
ставит перед намн природа?».
При всем том, будучи популярной,
книга Гарднера не
для легкого чтения. Очень
часто он приводит ответы иа
вопросы, которые моглн в свое
время заинтересовать читателя,
и остались тогда нерешенными.
Вот, скажем, игра
в крестики и нолики
Кто в нее не играл?
Впрочем, не будем пересказывать
эту книгу, вы,
вероятно, уже согласны с тем,
что ее необходимо прочитать.
В заключение приведем несколько
фрагментов из этой
книги.
* * *
«Кто из пас в детстве не играл
в крестики и нолики?
Любой .мальчишка за час
может стать непобедимым
чемпионом. В то же время игра
в крестнкн и нолики имеет
и более сложные разновидности
и более глубокую
стратегию.
На языке теории игр крестики
н нолики можно назвать
конечной (то есть доигрываемой
до конца за конечное
число ходов) строго
детерминированной (то есть
не содержащей элемент случайности)
игрой двух сторон
с полной информацией.
Последнее означает, что обоим
игрокам известны все
сделанные ходы. Если обе
стороны играют «рационально
», игра должна закончиться
вничью. Единственный способ
выиграть заключается в
том, чтобы заманить неосторожного
противника в ловушку,
заготовив для сле-
52
О и I >
Рис. 1.
д>ющего своего хода два
почти готовых ряда (противник
может помешать достроить
лишь один ряд).
Из трех возможных начальных
ходов — в угол, в
центр и в боковую клетку —
самым сильным является ход
в угол, так как при этом
противник, чтобы не попасть
с самого начала в ловушку,
из восьми оставшихся клеток
может выбрать только одну
центральную. Наоборот, если
первый ход сделан в центр,
то блокировать его можно,
лишь заняв угол. Наиболее
интересная партия получается
только в том случае,
когда первый игрок, открывая
игру, занимает одну
из боковых клеток: при таком
начале перед обеими
сторонами открываются широкие
возможнести в постановке
ловушек. Три первых
хода и ответы на них второго
игрока, действующего осмотрительно,
показаны на
рисунке 1 .
За много веков до нашей
эры были известны гораздо
более интересные с математической
точки зрения варианты
крестиков и ноликов,
чем тот, в который
принято играть в наше время.
Во всех этих вариантах для
игры нужно взять шесть фишек,
по три у каждого игрока
(у одного, например,
три трехкопеечные монеты,
а у другого три пятака),
2 3
• ՝• 6
• ՛• •
Рис. 2.
н доску, изображенную на
рисунке 2 .
В древнем Китае, Греции
и Риме был популярен самый
простой вариант игры, когда
играющие но очереди выставляют
на доску фишки и делают
это до тех пор, пока
не выставят все шесть фишек.
Если ни одному игроку не
\ дается поставить три монеты
в ряд и выиграть, то
игра продолжается. Каждый
из противников передвигает
по очереди одну из своих фишек
на соседнюю клетку. Передвигать
фишки можно только
по вертикали и горизонтали.
Поскольку первый игрок,
начиная с центра, наверняка
выигрывает, то такое начало
не сулит ничего интересного
и обычно им не пользуются.
Это ограничение при рациональной
тактике приводит
к ничьей, но обе стороны могут
поставить противнику уйму
потенциальных ловушек.
Я знаю многих любителей
крестиков и ноликов, которые
ошибочно полагают, что
самое главное — это научиться
неизменно выигрывать,
и считают, что они
уже постигли все тайны этой
игры. Истинный же мастер
игры в крестики и нолики
должен уметь использовать
малейшее преимущество, возникающее
даже в тяжелых
для него ситуациях. Следующие
три примера помогут
читателю > яснить сказанное.
Первый ход во всех трех
партиях делается на одну
из клеток 2, 6, 8 и 4.
Если вы начинаете с ход
а х 8, а противник отвечает
вам ходом О 2- т0 вторым
ходом вам лучше всего пойти
на четвертую клетку (Х4).
Этот ход приводит к выигрышу
в четырех нз шести возможных
ответных ходов противника.
Помешать вам выиграть
противник может
лишь ходом Q7 или 0 9 —
Если противник сначала
пошел X 8, а вы ответным ходом
заняли одну из нижних
угловых клеток, например,
©9, то вы еще можете надеяться
на победу: противнику
достаточно совершить
любой из ходов X 2, X 4
или Х7.

52

Если противник делает первый
ход Х 8, то ответный
ход 0 5 может привести к
интересному развитию партии:
если противник вторым
ходом занимает клетку
2( Х2), то вы можете даже
позволить ему выбрать за
вас ту клетку, которую вы
займете при следующем ходе-
При любом вашем ходе
выигрыш вам обеспечен.
* * *
В наши дни редко кому
удается придумать математическую
игру, которая была
бы одновременно и новой,
и интересной. Именно такой
оригинальной и увлекательной
является игра в гекс,
впервые появившаяся лет пятнадцать
назад в Институте
теоретической физики Нильса
Бора в Копенгагене.
Гекс вполне может стать
одной из наиболее популярных
и наиболее полно исследованных
математических
игр нашего века.
В гекс играют на доске,
имеющей форму ромба, составленного
из шестиугольников
(рис. 3). Число шестиугольников
может быть разным.
но обычно предпочитают
играть на доске, вдоль стороны
которой укладывается
одиннадцать шестиугольников.
Две противоположные
стороны ромба называются
«черными», две другие «белыми
». Шестиугольники, находящиеся
в углах ромба, относятся
к обеим сторонам.
Одни игрок играет черными
фишками, второй белыми.
Играющие по очереди ставят
фишку на любой шестиугольник,
еще не занятый
другой фишкой. Цель «черных
» состоит в том, чтобы построить
цепь из черных фишек
между двумя «черными»
сторонами. «Белые» стремятся
построить цепь нз белых
фишек между «белыми» сторонами.
Цепь может как угодно
изгибаться, поворачивать.
Фишки ставят до тех пор,
пока кто-нибудь из игроков
ие выстроит свою цепь. На
рисунке 3, например, видно,
как победили «черные» Игра
никогда не кончается вничью,
потому что один нз участников
может запереть другого
только построив свою цепь.
Хотя правила гекса очень
просты, тем не менее он
оказывается удивительно тонкой
математической игрой.
Придумал гекс датчанин
Пит Хейн. В молодости Хейн
*?Sf
провел несколько лет в Институте
теоретической физики,
а затем, сделав несколько
технических изобретений,
стал работать в промышленности.
Так продолжалось до
1940 года, до вторжения немцев
в Данию. Во время
оккупации Хейн дважды уходил
в подполье — он был
председателем антинацистс-
кого демократического союза,
распущенного с приходом
нацистов.
Идея игры в гекс пришла
Хейну в голову, когда он
размышлял над знаменитой
топологической проблемой
четырех красок. Вскоре правила
игры были опубликованы
в газете «Полнтикен» и
гекс стал необычайно популярен
в Данин под названием
«Многоугольник».
Читателям, которым захочется
поиграть в гекс, следует
заранее заготовить
листки с начерченными на
них досками. Ходы можно
отмечать крестиками и кружками.
Если вам больше нравится
передвигать фишки на
«настоящей» доске, можно
нарисовать большую доску
на листе толстого картона нли
сложить ее из шестиугольных
керамических плиток.
Если плитки достаточно большие,
то играть можно обычными
шашками.
Чтобы понять все тонкости
игры в гекс, лучше воспользоваться
игровым полем, состоящим
из небольшого числа
шестиугольников. На
доске 2 x 2 (четыре шестиугольника)
всегда выигрывает
тот, кто делает первый ход.
На доске ЗХ 3 легко выиграть,
если первый ход сделать в
центр доски (рис. 4). «Черные
» могут пойти двумя разными
способами, заняв любой
нз двух шестиугольников,
Рис. 5.
53

расположенных по обе стороны
от центра, н поэтому
на третьем ходу обязательно
выигрывают.
На доске 4X 4 все гораздо
сложнее. Начинающий игру
выигрывает наверняка лишь
в том случае, если он сразу
же занимает одну
из четырех пронумерованных
клеток (рнс. 5). Сделав первый
ход на любую другую
клетку» он непременно проиграет.
Начав игру с клеток
2 нли 3, первый игрок
одержит победу на пятом
ходу; начав с клеток 1 или
4 — на шестом.
Для доски 5 x 5 еще можно
доказать, что если первый
игрок сразу же занимает
центральную клетку,
то он может выиграть на седьмом
ходу. Для досок большего
размера анализ становится
слишком сложным.
Стандартная доска 11X11 таит
в себе астрономическое
число усложнений, н полный
анализ игры в гекс на
такой доске находится за
пределами человеческих возможностей.
Специалисты по теории игр
считают гекс особенно интересной
игрой. Действительно,
для игры на стандартной
доске не известно, какой
тактики необходимо придерживаться,
чтобы наверняка
обеспечить победу.
Однако доказательством от
противного можно довольно
изящно показать, что для
первого игрока всегда существует
выигрышная стратегия
на доске любого размера.
* * *
В заключение приведем
еще две задачи
f * *
В трехэтажном доме проведена
скрытая проводка. Наружу
провода выходят только
в двух местах: на третьем
этаже н в подвале. В том и
другом случаях вывод представляет
собой пучок нз 11
абсолютно одинаковых проводов.
Какой конец провода
в верхнем выводе соответствует
тому нли иному
концу провода в нижнем
выводе, неизвестно. Именно
это и должен был установить
мситер.
S4
Чтобы выполнить свою за дачу,
он может сделать две
вещи:
1) закоротить любые провода
вверху или внизу, скрутив
нх концы;
2) отыскать замкнутый контур
с помощью специального
тестера, состоящего нз батарейки
и звонка.
Не желая понапрасну бегать
вверх и вниз по лестнице,
электрик, увлекающийся
к тому же исследованием операций,
уселся на ступеньке
с карандашом и бумагой
н вскоре придумал наиболее
эффективный способ решения
задачи.
В чем состоял его метод?
Одна нз самых старых топологических
головоломок,
известных любому школь-
Рис. б.
нику, состоит в вычерчивании
непрерывной линии, пересекающей
по одному разу
все 16 звеньев замкнутой
сети прямолинейных отрезков,
изображенных иа рисунке
6. Кривая, проведенная
на этом рисунке, не может
служить решением головоломки,
потому что не пересекает
одного звена сети.
При построении решения использовать
какие-нибудь трюки
— проводить кривую через
вершины сети, вдоль
ее звеньев, складывать лист
бумаги и т. д., — нельзя.
Нетрудно доказать, что на
плоскости эта головоломка
решения не имеет. Возникают
два вопроса: можно ли
решить ее на сфере? Существует
лн решение на поверхности
тора?»
В. Н. Березин,
М. Л. Смолянский

ПОПРАВКА

к статье А. X а ц е т а
сМетоды расчета
эквивалентных
сопротивлений»
(«Квант» Ms 2, 1972)
По вине редактора в решении
задачи № 6 допущена
ошибка. Утверждение, что
пары точек Р , н Р \ , и Q,’
(см. рнс. 66 в статье) эквипотенциальны,
неверно. Эквипотенциальными
являются
точки М и М’
(см. рис. а). Соединив эти
м.м’ = ֊г
6)
точки, можно преобразовать
цепь так, как это указано
на рисунке б. Сопротивление
такой цепн равно — j г. Следовательно,
сопротивление
всей цепи (см. рис. 6а в статье)
13
равно ~ղ г.

 

Математические ГОЛОВОЛОМКИ, Математические РАЗВЛЕЧЕНИЯ

#физика #квант #АБИТУРИЕНТ

Математические ГОЛОВОЛОМКИ, Математические РАЗВЛЕЧЕНИЯ