Home » Квант » МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Применение неравенства Буняковского-Коши к решению некоторых задач.

В. К. Смышляев

Квант 1/1972

Квант 1/1972

 НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Квант
Скачать Квант (все номера)
Квант №1 1972

 

Скачать  сборники журнала «Квант» в хорошем качестве
Если хотите быстро ознакомится с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно):


При решении многих математических задач применяется так называе-
мое неравенство Буняковского — Коши
V atb, ^ |/ V в?. |/ У ь? (а,- > 0. &, > 0). (*)
Приведем сначала малоизвестное, но весьма простое доказательство
этого неравенства. Пусть 1/ ? а? = А, 1/ ^] 6? = В. Тогда нам надо
доказать, что

1.
Используя неравенство x#^-jr(*2+f/2), напишем следующую цепочку
неравенств: i
Отсюда следует неравенство (*). Как известно, равенство в нем дости-
гается при
с, 6j a-, bi an bn
то есть при
о, а* ал
Покажем теперь, как применяется неравенство (*).

33 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК.

1. Найти
функции
наибольшее значение
(в>0.
Решение. В силу неравенства (*)
имеем
< v/e» + ft’-у sinsx + cos2x «= >V+F.
Максимум достигается при условии
a sin х а
Т = ^Гх’ то есть при tgx = — ¦
2. Трансформатор переменного тока нужно сконструировать так, что-
бы его крестообразный железный сердечник заполнял возможно большую
часть внутренней полости круглой обмотки. Каковы должны быть размеры
сечения сердечника, изображенного на рисунке, если раднус катушки
равен Ю
Решение. Пусть <1 АОВ=а, тогда
-4″ S — уг — (у — хJ = 2ху — х2 = R2 B sin a cos a — sin2 a).
Отсюда 5 = 2#8B sin 2a -f cos 2a— 1). Воспользуемся неравенством {«):
5 <2Яг(/22 -|-18- v/sina2a + cosa2a- 1) — 2RZ (/5- l).
z .,- ч sin 2a 2
Саедовательно, SmaX = 2/?2 (/5- 1; и достигается при Cos2a»= ~Г» OT’
куда a = ^-arctg2.
3. Рассмотрим три пары действительных чисел (аи bx), (c2, b2),
{а9, Ь3). Доказать, что существует треугольник со сторонами
а = /(о, — о3J + F, — taJ , & — /(ga-aQ’ + ^s-uiI.
/A8) + Aг)
Решение. Для того чтобы а, 6 и с были сторонами треугольника,
необходимо, чтобы выполнялись неравенства a-f-fr>c, 6-rc>a, a+c>&,
каждое из которых эквивалентно неравенству Буняковского — Коши.
В самом деле, соотношение а-\-Ь^с эквивалентно неравенству
*-а*-Ьг или 2 /(а2 — а3)8 + (Ьг — Ь3J ¦ /\а3 — a{f + (ft, — б,J ^
а2)8 + F2 — 6гJ — (as — а3)8 — F, — &3)г — fa-a.)* ~ (Рг — biJ •
2()( ftft F6)
сокращая на 2, получаем неравенство (*). Равенство достигается только,
если числа а3—alt Ь3—^ пропорциональны числам аг—а3, Ь2—bs; про-
верьте, что в этом случае вершины треугольника должны лежать на одной
прямой.
Аналогично доказывается, что a-rc^b, b+с^а. Значит, треугольник
со сторонами а, Ь, с существует, хотя и может выродиться в отрезок. Можно
построить этот треугольник геометрически — в декартовой системе коор-
динат его вершины надо поместить в точки с координатами (alt bj, (a2, b2).

34 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК. 

Упражнения

1. Найти наибольшее значение функций
a) y = asinx-r 6sinl-g—{-*J + csinl-g- — jc)(a>0, fc>0. c>0,
б) г = a sin (x -f y) + b sin (x — y) + cVcos 2x-cos 1y
(e>0. 6>0, c>0,
в) и = a cos x + b cos у -{- с cos г + d V2 cos д; cosy cos г,
где а, Ь, с, d — положительные числа, х, у, г — острые углы треугольника;
г) и = a sin х + b sin у + csinzJ-dsin< -\-е ~\J’l cos (x + у) -cos (у -f- z) -cos (г -]- x) ,
где a, 6, с, d, с — положительные числа, х-\- у -f- z-\-1 = 2л;
л
2. Найти наибольшее н наименьшее значения функции и = ^j *z Уь *-‘сли из»
я л
вестно, что >| */< «2, ^ у1 ^Ь2 и а и 6—положительные числа.
3. Доказать неравенство
где все Xj и #j — положительные числа.
4. Доказать неравенство
п п
\ i= l / »= I
где все a,-, bi, Xj—положительные числа.
5. Доказать неравенство
где все х,-, ^j — положительные числа.
в. В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшей полной поверхности. Какопы его
радиус и высота?
7. Внутри треугольника некоторая точка расположена так, что сумма квадратов рас-
стояний от нее до сторон треугольника наименьшая. Выразнть эти расстояния через длины
сторон треугольника и найтн эту точку.
8*). Площади граней тетраэдра равны 5,, S2, S3 и St. Точка М лежит внутри тетраэд-
ра на расстояниях hlt ht, ha, н hA (соответственно) от граней.
а) При каком положении точки М сумма
А, + Л2 + Т3 ~ Л4 К)
принимает наименьшее значение?
б) Доказать, что любой тетраэдр имеет хотя бы одну точку М, для которой сумма (•)
минимальна. Найти, сколько таких точек может быть.

35  МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК.

Скачать Квант (все номера).
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ Школьный КРЖОК

Статистика


Яндекс.Метрика