дома » Квант » МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Применение неравенства Буняковского-Коши к решению некоторых задач.

В. К. Смышляев

Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ : страница

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1 1972)

При решении многих математических задач применяется так называе-
мое неравенство Буняковского — Коши
V atb, ^ |/ V в?. |/ У ь? (а,- > 0. &, > 0). (*)
Приведем сначала малоизвестное, но весьма простое доказательство
этого неравенства. Пусть 1/ ? а? = А, 1/ ^] 6? = В. Тогда нам надо
доказать, что

1.
Используя неравенство x#^-jr(*2+f/2), напишем следующую цепочку
неравенств: i
Отсюда следует неравенство (*). Как известно, равенство в нем дости-
гается при
с, 6j a-, bi an bn
то есть при
о, а* ал
Покажем теперь, как применяется неравенство (*).

33 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК.

1. Найти
функции
наибольшее значение
(в>0.
Решение. В силу неравенства (*)
имеем
< v/e» + ft’-у sinsx + cos2x «= >V+F.
Максимум достигается при условии
a sin х а
Т = ^Гх’ то есть при tgx = — ¦
2. Трансформатор переменного тока нужно сконструировать так, что-
бы его крестообразный железный сердечник заполнял возможно большую
часть внутренней полости круглой обмотки. Каковы должны быть размеры
сечения сердечника, изображенного на рисунке, если раднус катушки
равен Ю
Решение. Пусть <1 АОВ=а, тогда
-4″ S — уг — (у — хJ = 2ху — х2 = R2 B sin a cos a — sin2 a).
Отсюда 5 = 2#8B sin 2a -f cos 2a— 1). Воспользуемся неравенством {«):
5 <2Яг(/22 -|-18- v/sina2a + cosa2a- 1) — 2RZ (/5- l).
z .,- ч sin 2a 2
Саедовательно, SmaX = 2/?2 (/5- 1; и достигается при Cos2a»= ~Г» OT’
куда a = ^-arctg2.
3. Рассмотрим три пары действительных чисел (аи bx), (c2, b2),
{а9, Ь3). Доказать, что существует треугольник со сторонами
а = /(о, — о3J + F, — taJ , & — /(ga-aQ’ + ^s-uiI.
/A8) + Aг)
Решение. Для того чтобы а, 6 и с были сторонами треугольника,
необходимо, чтобы выполнялись неравенства a-f-fr>c, 6-rc>a, a+c>&,
каждое из которых эквивалентно неравенству Буняковского — Коши.
В самом деле, соотношение а-\-Ь^с эквивалентно неравенству
*-а*-Ьг или 2 /(а2 — а3)8 + (Ьг — Ь3J ¦ /\а3 — a{f + (ft, — б,J ^
а2)8 + F2 — 6гJ — (as — а3)8 — F, — &3)г — fa-a.)* ~ (Рг — biJ •
2()( ftft F6)
сокращая на 2, получаем неравенство (*). Равенство достигается только,
если числа а3—alt Ь3—^ пропорциональны числам аг—а3, Ь2—bs; про-
верьте, что в этом случае вершины треугольника должны лежать на одной
прямой.
Аналогично доказывается, что a-rc^b, b+с^а. Значит, треугольник
со сторонами а, Ь, с существует, хотя и может выродиться в отрезок. Можно
построить этот треугольник геометрически — в декартовой системе коор-
динат его вершины надо поместить в точки с координатами (alt bj, (a2, b2).

34 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК. 

Упражнения

1. Найти наибольшее значение функций
a) y = asinx-r 6sinl-g—{-*J + csinl-g- — jc)(a>0, fc>0. c>0,
б) г = a sin (x -f y) + b sin (x — y) + cVcos 2x-cos 1y
(e>0. 6>0, c>0,
в) и = a cos x + b cos у -{- с cos г + d V2 cos д; cosy cos г,
где а, Ь, с, d — положительные числа, х, у, г — острые углы треугольника;
г) и = a sin х + b sin у + csinzJ-dsin< -\-е ~\J’l cos (x + у) -cos (у -f- z) -cos (г -]- x) ,
где a, 6, с, d, с — положительные числа, х-\- у -f- z-\-1 = 2л;
л
2. Найти наибольшее н наименьшее значения функции и = ^j *z Уь *-‘сли из»
я л
вестно, что >| */< «2, ^ у1 ^Ь2 и а и 6—положительные числа.
3. Доказать неравенство
где все Xj и #j — положительные числа.
4. Доказать неравенство
п п
\ i= l / »= I
где все a,-, bi, Xj—положительные числа.
5. Доказать неравенство
где все х,-, ^j — положительные числа.
в. В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшей полной поверхности. Какопы его
радиус и высота?
7. Внутри треугольника некоторая точка расположена так, что сумма квадратов рас-
стояний от нее до сторон треугольника наименьшая. Выразнть эти расстояния через длины
сторон треугольника и найтн эту точку.
8*). Площади граней тетраэдра равны 5,, S2, S3 и St. Точка М лежит внутри тетраэд-
ра на расстояниях hlt ht, ha, н hA (соответственно) от граней.
а) При каком положении точки М сумма
А, + Л2 + Т3 ~ Л4 К)
принимает наименьшее значение?
б) Доказать, что любой тетраэдр имеет хотя бы одну точку М, для которой сумма (•)
минимальна. Найти, сколько таких точек может быть.

35  МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК.

 

Статистика


Яндекс.Метрика