МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
В.Н. ВАГУТЕНЕсли хотите быстро ознакомится только с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно):
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ : страница
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (6 июнь 1972)
Эта статья написана по материалам экспериментального
задания для 8—9-х классов Всесоюзной заочной математиче-
ской школы Академии педагогических наук СССР при Москов-
ском государственном университете имени М. В. Ломоносова.
Все знают, что любое целое поло-
жительное число можно разложить
в произведение простых множителей;
так например,
400==24-52, 1001 = 7-11.13,
290981 -43-67-101.
Почему такое разложение единст-
венно? Более простой факт: если
произведение та делится на 43, то
хотя бы одно из чисел тип должно
делиться на 43. Как это доказать?
Эти факты считаются очевидными.
Между тем доказать их не так просто.
Это мы сделаем в конце статьи, а нач-
нем с самых простых утверждений,
относящихся к делимости целых чи-
сел, и расскажем о том, как найти
наибольший общий делитель двух
чисел, не раскладывая их на простые
множители.
Всюду латинскими буквами («,
Ь, с, d и т. д.) мы обозначаем целые
числа.
1. Делимость суммы, разности и произведения
Мы говорим, что целое число а
делится на целое число b, если су-
ществует такое целое число к, что
a — kb. В таком случае число b на-
зывается делителем числа а.
Сразу выведем два простых ут-
верждения:
1°. Если числа а и b делятся на с,
то и их сумма а г Ь, и их разность
а — b делятся на с;
2 . Если а делится на с, a b де-
лится на d, то их произведение ab
делится на cd.
Докажем 1J. Поскольку а делится
на с, то а — kc, где k — некоторое
целое число. Точно так же b == тс,
где т — целое число. Поэтому
а + Ь = (ft -г т)с,а — b — (k — т)с,
откуда следует, что каждое из чисел
а -{- b и а — b делится на с.
Докажем 2\ Пусть а — kc, b —
— md. Тогда ab -= {km)cd, откуда
и следует утверждение 2°.
Задача 1. Докажите, что если а
делится на b, a b делится на с, то а делится
на с.
Задача 2. Какие из следующих ут-
верждений верны, а какие нет:
а) если одно слагаемое делится на 6, а
другое не делится на 6, то их сумма не делит-
ся на 6;
б) если каждое из дв)ух слагаемых не
делится на 6, то их сумма не делится на 6;
в) если сумма двух слагаемых не делит-
ся на 6, то хотя бы одно из них не делится
на 6;
г) если сумма двух слагаемых не долится
на 6. то каждое слагаемое не делится на 6;
30 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
д) если произведение нескольких со-
множителей делится на 6, то и один из сомно-
жителей делится на 6?
Задача 3. Про целые числа a, b и с
известно, что каждое из чисел а + b и а —Ь
делится на с. Следует ли отсюда, что каждое
из чисел а и b делится на с?
Задача 4. Докажите, что если
а* + ab + Ь2 делится на а + 6, то а4 +Ь*.
делится на (а + Ь)г.
2. Деление с остатком
Все знают правило деления од-
ного целого числа а на другое целое
число 6 «столбиком». Это деление мож-
но продолжать до тех пор, пока остаток
не станет меньше, чем делитель. На-
пример, если а — 1972, а 6 = 31, то
при делении получится частное 63
и остаток 19:
или 1972 = 31 63 4- 19. Можно по
этому поводу сформулировать сле-
дующее предложение (см. рис. 1):
если а и Ь — целые числа,
причем Ь больше нуля, то сущест-
вует такое целое число д, что
а — bq + г, где «остаток* г — це-
лое число, удовлетворяющее нера-
венству 0 ^ г < Ь.
Задача 5. В одном нз подъездов
8-этажного дома на первом этаже находятся
квартиры от М» 97 до Л« 102. На каком этаже
и в каком (по номеру) подъезде находится
квартира Л*8 211? (На всех этажах одинако-
вое число квартир н все подъезды устроены
одинаково).
Задача 6. Было 5 листов бумаги.
Некоторые из них разрезали на 5 кусков каж-
дый. Затем некоторые из получившихся кус-
ков снова разрезали на 5 частей, и так сде-
лали несколько раз. Могли ли в результате
получить 1971 кусок?
Задача 7. Найдите наименьшее шес-
тизначное число, которое делится на 3, на 7
и на 13.
Задача 8. Какой остаток дает число
98 765 432 123 456 789:
а) при делении на 4;
б) при делении на 8;
в) при делении на 9?
3. Наибольший общий делитель
(НОД1
Пусть а и ft — целые числа, не
равные одновременно нулю. Рас-
смотрим все числа, на которые делится
и а, и Ь, и выберем из них наибольшее.
Этот наибольший общий делитель чи-
сел а и b мы будем обозначать
через НОД (а, Ь). Например,
НОД D,12) = 4; НОД B1,91) = 7;
НОД A5,28) = 1.
Если НОД (а, Ь) = 1, то числа
а и b называются взаимно простыми.
Задача 9. Произведение двух чисел
равно 600. Какое наибольшее значение может
иметь НОД таких чисел?
Задача 10. Докажите, что если
d — НОД (а, Ь). а ¦- kd, b = (d, то
МОД (ft. 0 = 1.
Задача П. Какое наибольшее число
одинаковых букетов можно составить п.\ 264
белых и 192 красных тюльпанов?
Задача 12. а) На листке клетчатой
бумаги нарисован прямоугольник размером
10 х 15, на его диагонали лежат 6 узлов сетки
(рис. 2). Пусть имеется прямоугольник
m х п, стороны которого проходят гю ли-
ниям сетки. Сколько узлов сетки лежит на
его диагонали?
б) Сколько решений п натуральных чис-
лах х, у имеет уравнение тх + пу — тп,
где т и л—данные натуральные чкелл?
(Напомним, что натуральными называются
целые положительные числа).
31 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
