Методы расчета эквивалентных сопротивлений. А. Хацет
юбую цепь можно рассчитать, используя уравнения Кирхгофа. Однако
они не входят в школьную программу и, кроме того, решать систему из боль-
шого числа уравнений со многими неизвестными — не лучший способ тра-
тить время на экзамене. Поэтому нужно уметь пользоваться методами,
позволяющими быстро найти сопротивление цепи. Об этих метрдах и
рассказывается в статье ученика 10 класса 145 школы г. Киева, члена,
физического кружка Киевского дворца пионеров Александра Хаиета.
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
1. Метод эквипотенциальных узлов
Идея метода состоит в том, чтобы
различные узлы цепи, имеющие рав-
ные потенциалы, рассматривать как
один узел. При этом потенциал в по-
лученном «склеенном» узле равен об-
щему значению потенциалов исход-
ных узлов.
Если эквипотенциальные узлы
соединить проводником (без сопро-
тивления), то электрические условия
во всех узлах и ветвях цепи не изме-
нятся, так как по этому проводнику
ток идти не будет.
Рассмотрим примеры.
Задача 1. Найти сопротивле-
ние, эквивалентное участку цепи,
изображенному на рисунке 1, а (все
сопротивления на схеме одинаковы и
равны г).
Решение. Нетрудно понять,
что узлы 1, 2 и 3 имеют равные потен-
циалы. В самом деле, из соображений
симметрии ясно, что токи, идущие по
S4
ветвям А-1, А-2 и А-3 — одинаковы.
Поэтому благодаря равенству сопро-
тивлений этих ветвей падения потен-
циала на них тоже одинаковы и оди-
наковы потенциалы узлов 1, 2 и 3.
Аналогично можно показать, что
узлы 4, 5 и 6 тоже имеют равные по-
тенциалы (эквипотенциальны).
Ясно, что сопротивление цепи не
изменится, если эквипотенциальные
узлы 1, 2 и 3 соединить вместе. Не из-
менится сопротивление цепи, если
соединить и вторую тройку экви-
потенциальных узлов.
Сделав это, мы получим цепь, эк-
вивалентную данной (рис. 1,6). Со-
противление этой цепи найти нетруд-
но: сопротивление участка AN равно
1/1 1 1 i \
~5~Г\Я—»~r~~f~~7~~i~~l’ сопро-
тивление участка NM равно —г- г,
а сопротивление участка MB равно
-5- г. Поэтому Rab = ~f- г.
54 Методы расчета эквивалентных сопротивлений.
Как же найти эквипотенциальные
узлы? Во многих случаях этому по-
могает «симметрия» включения участ-
ков цепи. «Симметрия» в том смысле,
что те или иные участки цепи, те или
иные узлы совершенно равноправны.
Решим еще одну задачу.
Задача 2. Найти сопротивле-
ние участка цепи, показанного на
рисунке 2, а. (Все сопротивления на
схеме одинаковы и равны г.)
Решение. Заметим, что узлы
1 и 2, а также узлы 3 и 4 образуют па-
ры эквипотенциальных узлов; сое-
диняя соответствующие эквипотен-
циальные узлы вместе, получим
эквивалентную схему (рис. 2, б), со-
противление которой подсчитать не
трудно, пользуясь правилами нахож-
дения сопротивления участков с па-
раллельно и последовательно вклю-
ченными сопротивлениями. Оно равно
7/,s г (рис. 2, в г, д).
2. Метод исключения участков цепи
Этот метод тесно связан с предыду-
щим. Если участок цепи включен
в
между двумя эквипотенциальными
узлами, то этот участок можно из
схемы исключить. При этом получит-
ся эквивалентная цепь, так как по
исключенному участку ток не шел.
Иногда после исключения участка
эквипотенциальные узлы целесооб-
разно соединить вместе. Рассмотрим
примеры. Начнем с совсем простого.
Задача 3. Найти сопротивле-
ние участка цепи, показанного на
рисунке 3, а.
Р е ш е и и е. Из соображений
симметрии очевидно, что токи в вет-
вях AM и AN равны. Поэтому узлы
М и N эквипотенциальны. Исключая
участок MN, получаем эквивалент-
ную цепь (рис. 3, б), сопротивление
_.3
которой легко находится: R =-^- г .
Теперь решим более сложную задачу.
Задача 4. Найти сопротив-
ление участка цепи АВ, показанного
на рисунке 4, а. Все сопротивления на
схеме одинаковы и равны г.
Решени е. Замечаем, что точки
F и f эквипотенциальны и, следова-
55 Методы расчета эквивалентных сопротивлений.
тельно, по участку FF’ ток не идет.
Поэтому можно удалить участок FF’
и мы получим эквивалентную схему,
изображенную на рисунке 4, б. После
простых преобразований цепи (рис.
4, б) легко подсчитать, что ее сопротив-
ление R =-х- г.
3. Метод «размножения» узлов
Этот метод тоже тесно связан с ме-
тодом эквипотенциальных узлов. Если
замена нескольких эквипотенциаль-
ных узлов одним (соединение узлов)
приводила к эквивалентной цепи, то
и обратная замена одного узла не-
сколькими эквипотенциальными уз-
лами не нарушит электрических ус-
ловий в остальной части цепи.
Приведем примеры цепей, для ко-
торых такое преобразование целесо-
образно.
Задача 5. Найти сопротивле-
ние участка цепи, показанного на
рисунке о, а.
Заменим узел О тремя узлами; Ои
Oz » Оз (Рис- 5, б). Однако нам нужно
еще доказать, что эти цепи эквивалент-
ны. Для эквивалентности цепей необ-
ходимо, чтобы узлы 0ь 0о и 03 были
эквипотенциальны. По это очевидно,
так как разность потенциалов фоа —
—фА равна половине разности потен-
циалов точек А и В: фо8—Фл = — «л я-
Аналогично, из соображений симмет-
рии включения сопротивлений не-
трудно найти, что Фо,—Фл = — «лв и
Фо, — Фл = 4″ ал я- Следовател ьно,
<Ро,==Фоа»Фоа. то есть узлы О,, 05 и
03 эквипотенциальны. Теперь найти
сопротивление цепи не составляет
труда. Оно равно 0,8 г (рис. 5, е).
56 Методы расчета эквивалентных сопротивлений.
Задача 6. Определить сопро-
тивление участка цепи АВ, показан-
ного на рисунке 6, а. Все сопротивле-
ния равны г.
Решение. Осуществим «раз-
двоение» узлов Р и Q на попарно экви-
потенциальные узлы Р 1г Р2 и Qlt Q.2.
Теперь наша цепь — это параллель-
ное соединение двух одинаковых це-
пей, так что достаточно рассмотреть
одну из них (рис. 6, б). Нетрудно
заметить, что узел Рг эквипотенциален
с узлом/Y, узлы Qj и Q/ также экви-
потенциальны. Поэтому их можно по-
парно соединить. Получим цепь, изо-
браженную на рисунке 6, б. Ее сопро-
тивление равно -у г. Следовательно,
сопротивление цепи, показанной на
рисунке 6, о, равно -^- г.
4. Метод «расщепления» ветвей
Мы знаем, что несколько парал-
лельных или последовательных ветвей
можно заменить одной эквивалентной
ветвью.
Приведенный ниже пример пока-
зывает, что иногда полезно применять
эти правила в обратном направле-
нии — не для «объединения» ветвей,
а для их «расщепления».
57 Методы расчета эквивалентных сопротивлений.
Задача 7. Найти сопротивле-
ние R цепи, показанной на рисунке
7, а.
Решение. Заменим ветвь ОС
двумя параллельными ветвями с рав-
ными между собой сопротивлениями
2 г. Затем раздвоим узел С на эквипо-
тенциальные узлы С\ и Сг (их экви-
потенциальность следует из сообра-
жений симметрии относительно узлов
А и О). Цепь, показанная на рисунке
7, б, эквивалентна цепи на рисунке
7, а. Найдем ее сопротивление. Участ-
ки ВО и BCjO соединены параллельно.
Поэтому сопротивление RBO = -^-г.
Аналогично, R0D = -j- г. Теперь узлы
А и 0 связаны тремя параллельны-
ми ветвями с сопротивлениями
-j- г, г, -г- г. Общее сопро тивление
цепи равно R = -^ г (рис. 7, г).
5. Рекуррентный метод
Рекуррентными методами решения
задач называют обычно такие методы,
при которых задача решается по ша-
в
гам, причем на n-м шаге надо исполь-
зовать результаты, полученные на
предшествующих шагах. Рекуррент-
ные методы в задачах расчета сопро-
тивлений цепей особенно удобны, ког-
да схема имеет повторяющуюся струк-
туру и число сопротивлений велико.
Разберем простой пример.
3 а д а ч а 8. Найти сопротивле-
ние цепи, показанной на рисунке 8, а,
т г
=гв = г.
Решение. Перерисуем цепь
так, как показано на рисунке 8, б.
Ясно, что расчет нужно вести с кон-
ца В. Заменяя сопротивление г3, ге
и г2 эквивалентным сопротивлением
R^rzi—Г-^—~т, получаем схему,
показанную на рисунке 8, в. Теперь
сопротивления R, г5 и rlt можно вновь
заменить эквивалентным Rt = г1 +
Ч- оггт- — г (Рис- 8, г). Общее сопро-
тивление цепи равно
58 Методы расчета эквивалентных сопротивлений.
6. Метод Иона Тихого
Н. Я- Виленкин в книге «Рассказы
о множествах» поведал о воображае-
мом 1001-м звездном путешествии
Иона Тихого, известного героя произ-
ведений замечательного польского пи-
сателя Станислава Лема.
В этом путешествии Ион встречал-
ся с такой проблемой: нужно поселить
еще одного путешественника в гости-
нице, все номера которой заняты. Осо-
бенность задачи состоит в том, что в
гостинице бесконечное число номеров.
Ион решает задачу так: каждому оби-
тателю гостиницы дается приказ —
перейти в комнату с номером, на еди-
ницу большим, чем номер его комнаты.
При этом все прежние обитатели обес-
печены жильем (ведь последнего-то
номера нет в бесконечном ряду!), а
комната № 1 освобождается для но-
вого путешественника.
Этот способ можно применить, ре-
шая задачи на расчет цепей с беско-
нечным числом элементов. Заметим,
что хотя в конкретных физических це-
пях число элементов всегда конечно,
оно может быть столь велико, что его
приближение можно считать беско-
нечным.
Для иллюстрации рассмотрим та-
кую задачу.
Задача 9. Найти сопротивле-
ние R участка цепи, содержащего
бесконечное число сопротивлений
(рис. 9, а), каждое из которых
равно г.
Решение. Если мы, восполь-
зовавшись идеей Иона Тихого, отде-
лим первое звено из трех сопротивле-
ний ACDB, то цепь и ее сопротивле-
ние не изменятся. Поэтому схема,
изображенная на рисунке 9, а, экви-
валентна представленной на рисун-
ке 9, б. Теперь без труда находим
Rr
откуда R = r(\ + |’3).
Аналогично решаются и другие
задачи для цепей с бесконечным чис-
лом сопротивлений.
59 Методы расчета эквивалентных сопротивлений.
