О книжке Пойя «Математическое открытие».
РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИИ
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
Автора этой книги читате-
ли нашей страны знают
давно. Еще в 1937—1938 гг.
вышли его, совместно с
Г. Сеге, двухтомные «Задачи
и теоремы из анализа»,
в 1957 году — «Математика
и правдоподобные рас-
суждения», в 1961 году —
«Как решать задачу»,
В предисловии к последней
книге Д. Пойя писал: «Круп-
ное научное открытие дает
решение крупной проблемы,
но и в решении любой задачи
присутствует крупица откры-
тия». И далее: «Автор ставит
себя иногда в положение
ученика, иногда — в поло-
жение учителя… Однако, ча-
ще всего… автор рассуждает
с точки зрения лица, не
являющегося ни учителем,
ни учеником, а просто
заинтересованного в реше-
нии стоящей перед ним за-
дачи». Это «третье лицо»
и есть, конечно, сам автор,
известный ученый — мате-
матик. Что же касается
исполнения им «по совме-
стительству» двух других
упомянутых ролей, то оно
представляется не просто
удачной литературной и пе-
дагогической находкой. Та-
кое «совместительство! есть
важнейшая составная часть
творческого кредо Дъердя
Пойа, которое он исповеду-
ет с редкостным постоянст-
вом.
В своей книге «Математи-
ческое открытие» Пойа про-
должает и развивает мысли,
высказанные в более ранних
книгах (хотя ни одна из них
не требует предварительно-
го знакомства с другими —
в этом лишний раз сказы-
вается педагогическая ис-
кушенность автора). Верный
своим принципам, Пойа
не столько рассказывает о
решении задач, сколько
показывает, как это делает-
ся. И, конечно, приглашает
следовать за ним. А затем
и в самостоятельный муть.
«Решение задач — практи-
ческое искусство, подобное
плаванию, катанию на лы-
жах или игре на фортепиано;
научиться ему можно, толь-
ко подражая хорошим об-
разцам и постоянно практи-
куясь. И в этой книге вы не
найдете волшебного ключа,
открывающего все двери.—
она не научит вас решать
все задачи, но даст вам
много хороших образцов
Х1Я подражания и воз-
можностей поупражнять-
ся. Но помните: если
вы хотите научиться пла-
вать, то,смело входите в воду,
а если хотите научиться
решать задачи, то решайте
их!». Книга буквально
напичкана интересными за-
дачами и ire менее интересны-
ми пояснениями к их реше-
нию. Соблазнительно, что
и говорить, было бы попы-
таться дать в рецензии хоть
какое-нибудь представле-
ние об этих задачах. Но
такая попытка неминуемо
обеднила бы и тем самым
исказила представление о
всей книге в целом. Посуди-
те сами: содержание романа,
даже очень большого, можно
пересказать на пяти, ну,
на десяти страницах. А как
быть со сборником из тысячи
небольших стихотворений?
Привести целиком десяток
лучших? Два десятка?
А если все хороши? Да и кто
поручится за объективность
выбора?
Поэтому мы ограничимся
тем, что перепечатаем без
всяких изменений, без
всяких сокращений и без
всяких комментариев один
параграф из книги ПоЙа
Мы вовсе не утверждаем,
что это самый лучший па-
раграф. Пли елмый типич-
ный, что ли. Просто нам
о» очень нрлнится. II очень
хочется, чтобы его прелестью
проникся читатель. Л если
он сам найдет потом в книге
что-либо, что понравит-
ся ему больше — не беда.
Во всяком случае, сам Пойа
меньше всего хотел бы
воспитать спонх учеников
в полном единодушии и
единообразии вкусов. Уж
в этом-то ничего хорошего
нет.
Прекрасно понимая, что
простое перечисление назва-
ний глав книги Пойа способ-
но озадачить читателя еще
больше, чем ее интригую-
щее название, мы тем не
менее (а может быть, именно
поэтому) не откажем себе
в • этом удовольствии:.
«Метод двух геометрических
мест», «Метод Декарта»,
«Рекурсия», «Суперпози-
ция», «О задачах», «Расши-
рение области применении
метода». «Геометрическое
представление процесса
решения», «План и програм-
ма», «Задачи внутри задач»,
«Зарождение идеи», «Умст-
венная работа». «Дисципли-
на ума», «Законы открытия»,
«Об учении, преподавании
и обучении преподаванию»,
«Догадка и научный метод».
Ну что, не все здесь понят-
но? Ничего, это значит, что
вам пора приниматься за
«Математическое открытие».
(Не забудьте запастись
бумагой ь карандашами!).
А если книги этой у вас еще
нет, прочтите для» начала
хотя бы следующий отрывок
из нее.
Я позволю себе вольность
и попытаюсь проделать не-
большой эксперимент над чи-
тателем. Я сформулирую про-
67 О книжке Пойя «Математическое открытие».
стую, но не слишком изби-
тую геометрическую задачу,
а затем попробую воссоздать
последовательность идей, ве-
дущих к ее доказательству.
Я намерен продвигаться впе-
ред медленно, очень медлен-
но, выдавая последовательно
секреты один за другим, при-
чем каждый из этих секретов
выдавая не сразу, а посте-
пенно. Я надеюсь, что преж-
де, чем рассказ будет пол-
ностью доведен до конца,
читатель сможет уловить
главную идею если, конечно,
что-ннбудь не помешает это-
му, н так как эта идея ока-
жется несколько неожидан-
ной, то он сможет испытать
удовлетворение от своего не-
большого открытия.
А. Если три окружности
одного радиуса проходят че-
рез одну точку, то тот же
радиус имеет и окружность,
проходящая через остальные
три точки их пересечения.
Это и есть та теорема, ко-
торую нам нужно доказать.
Утверждение теоремы корот-
ко и ясно, но в him как будто
не хватает деталей. Сде-
лав чертеж (рис. 1)
и введя подходя-
щие обозначения,
мы приходим к следующему,
более подробному варианту
задачи;
Б. Три окружности ft, Л т
одного радиуса г проходят
через точку О. Окружности
I и т пересекаются в точке
А, т и k — в точке В, k
и I — в точке С. Требуется
доказать, что радиус окруж-
ности е, проходящей через
точки А, В и С, также ра-
вен т.
На рисунке 1 изображены
четыре окружности k, I, m
йен четыре точки их пере-
сечения. Однако эта фигура
может показаться неудовлет-
ворительной, потому что она
не так уж проста и в то же
время неполна; создается впе-
чатление, что на ней что-то
отсутствует; кажется, что не-
что существенное не принято
во внимание.
Мы имеем сейчас дело с ок-
ружностями. Что представля-
ет собой окружность? Вся-
кая окружность определя-
ется местоположением се
центра и величиной ее радиу-
68
са: все точки окружности на-
ходятся на одинаковом
(и равном радиусу) расстоя-
нии от центра. Но мы забы-
ли ввести в рассмотрение
этот общий всем четырем
окружностям радиус г; та-
ким образом, мы и е при-
няли во внимание
существенную часть
условия. Обозначим по-
этому прежде всего центры
наших окружностей: К для
окружности /г. L для окруж-
ности ( и М для окружности
т. В каком теперь месте
лучше всего провести радиус
г? По-видимому, нет смысла
отдавать предпочтение какой-
то одной из трех данных ок-
ружностей ft, l и т или какой-
нибудь одной из трех точек
их пересечения А, В и С.
Рис. \.
Поэтому соединим, пожалуй,
каждый из трех ценгзсы со
всеми тремя точками пере-
сечения, принадлежащими
соответствующей окружнос-
ти: /С с В, С и О. и так далее.
Получающаяся фигура
(рис. 2) оказывается обеску-
раживающе перетруженной.
На ней cTO.n.Kt) л>;кчн —
прямых и крипмх,— что ее
невозможно как следует «ох-
ватить взором»; она «но хо-
чет стоять на месте;.-. Эта
фигура может напомнить не-
которые рисунки, гш-.одне
нам по старинным журна-
лам,— такой рисунок наме-
ренно делался неопределен-
ным: если смотреть на лето
как обычно’, то на нем видна
одна фигура; если же повер-
нуть журнал, придав ому
специально выбранное поло-
жение, и рассматривать ри-
Рис. 2.
сунок под определенным уг-
лом, то внезапно возникает
другая фигура, поражающая
вас как более или менее
остроумный комментарий к
первой. Можете ли вы рас-
познать на нашей запутан-
ной фигуре, перегруженной
прямыми и окружностями,
какую-нибудь другую, воз-
можно, полезную для наших
целей фигуру?
На эту нужную иам фи-
гуру, скрывающуюся за пе-
реплетением линий нашего
перегруженного деталями ри-
сунка, мы можем либо на-
пасть сразу, либо распозна-
вать ее постепенно. К иско-
мой фигуре нас могут при-
вести те усилия, которые
мы предпринимаем для ре-
шения предложенной задачи,
или какое-нибудь второсте-
пенное, несущественное об-
стоятельство. Так. например,
копа мы были заняты пере-
черчиванием нашей несовер-
шенной фигуры, мы могли
заметить, что вся фигура це-
ликом определяется входя-
щей в ее состав шрямоли-
мейноЙ4 (составленной из от-
резков) частью (рис. 3).
Последнее обстоя гельсгво
кажется нам важным. Оно
существенно упрощает гео-
метрию рисунка и, возмож-
но, проясняет логическую
еторину дела. И оно приво-
дит к следующей изменен-
ной формулировке нашей тео-
ремы.
В- Если каждый из девяти
отрезков
КО, КС, KB,
LC, LO, LA,
MB, MA. МО
равен г, то существует точка
Е такая, что каждый из от-
68 О книжке Пойя «Математическое открытие».
резкое
ЕА, ЕВ, ЕС
также будет равен г.
Последнее утверждение
привлекает наше внимание
к рисунку 3. Этот рисунок
чем-то примечателен; он на-
поминает нам что-то знако-
мое. (Что именно?)
Рис. 3.
Конечно, у любого из че-
тырехугольников, изобра-
женных на рисунке 3, на-
пример у четырехугольника
OLAM, все четыре стороны
по условию равны друг дру-
гу, то есть все эти четырех-
угольники — ромбы.
Ромб — хорошо знакомая
нам фигура; выделив его
мысленно на нашем рисунке,
мы можем «видеть» всю фи-
гуру лучше. (Что напомина-
ет вам эта фигура в ц е —
л о м?)
Противоположные сторо-
ны ромба параллельны. Ос-
новываясь на этом обстоя-
тельстве, можно разбить 9
отрезков, из которых состав-
лена фигура, изображенная
на рисунке 3, на три группы,
в каждую из которых входят
только параллельные друг
другу отрезки; например, в
одну на таких групп.отрезков
войдут отрезки AL, МО
и ВК. (Что может напом-
нить нам эта фигура т е —
п е р ь?)
Мы не должны забывать
цели, к которой стремимся.
Допустим, что заключение
нашей теоремы справедливо.
Нанося на рисунок центр Е
окружности е и три ее радиу-
са, оканчивающихся в точ-
ках А, В и С (рис. 4), мы
(предположительно) получа-
ем новые ромбы, новые парал-
лельные отрезки. (Что напо-
минает нам вся фигура в це-
лом теперь?)
Ну, конечно, рисунок 4
представляет собой проекцию
Рмс. 4.
12 ребер параллелепипеда,
расположенного таким обра-
зом, что все эти проекции
имеют одинаковую длину.
Рисунок 3 является проек-
цией «непрозрачного парал-
лелепипеда»: мы видим толь-
ко 3 его грани, » вершии
н 9 ребер, в то время как 3
грани, 1 вершина и 3 ребра
на рисунке не видны. Этот
рисунок является частью ри-
сунка 4, но такой частью,
которая определяет всю ин-
тересующую нас фигуру. Ес-
ли параллелепипед и направ-
ление проектирования выбра-
ны так, что проекции девяти
ребер, изображенных на ри-
сунке 3, равны г (т. е. тако-
вы, какими они и должны
быть по условию задачи),
то проекции трех оставшихся
ребер также должны быть
равны т. Из проекции Е
восьмой, невидимой верши-
ны исходят три отрезка дли-
ной г, а сама эта проекция
является центром окружнос-
ти, проходящей через точки
А, В и С, радиус которой
равен л
Наша теорема доказана,
причем доказана при помо-
щи неожиданной остроум-
ной идеи, заключающейся в
том, что мы рассматриваем
плоскую фигуру как проек-
цию пространственной фи-
гуры.
(В этом доказательстве ис-
пользуются стереометричес-
кие понятия. Мне кажется,
что беда здесь невелика, тем
более, что она легко попра-
вима. В самом деле, посколь-
ку мы теперь знаем, что поло-
жение центра Е может быть
охарактеризовано весьма
просто, длины отрезков ЕА,
ЕВ и ЕС можно ввести в рас-
смотрение, не прибегая ни
к какой стереометрии. Одна-
ко мы не будем настаи-
вать здесь на этой точке зре-
ния.)
М. Л. Смолянский,
Ю. А. Гостев
69 О книжке Пойя «Математическое открытие».
