Home » ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ. » Оптические системы и оптические приборы

Оптические системы и оптические приборы

§ 31. Оптические системы и оптические приборы

Глава V. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Главная страница СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ.

Скачать или посмотреть оригинал
«Глава V. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА» в формате PDF. стр. 136-152

760. На собирающую линзу с фокусным расстоянием
40 см падает параллельный пучок лучей. Где следует по

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ.
Свойства пара.
Элементарная физика.

поместить
рассеивающую линзу с фокусным расстоянием 15 см,
чтобы пучок лучей после прохождейия двух линз остался
параллельным?

146 Оптические системы и оптические приборы, Основные законы оптики. Элементарная физика учебник.

761. На каком расстояний от двояковыпушой линзы
е фокусным расстоянием /=1 м нужно поместить вогнутое
сферическое зеркало, имеющее радиус кривизны R = l м,
чтобы луч, падающик на линзу параллельно главной оптической
оси системы, поеле отражения от зеркала вышел из
линзы, оставаясь параллельным оптической оси? Найти
изображения предмета, даваемые данной оптической системой.

762. Оптическая система состоит из двух собирающих
линз с фокусными расстояниями Д*= 20 см и /3= 10 см.
Расстояние между линзами d = 30 см. Предмет находится
на расстоянии аг=30 см от первой линзы. На каком расстоянии
от второй линзы получится изображение?
763. Определить фокусное расстояние оптической системы,
состоящей из двух тонких линз: рассеивающей с фокусным
расстоянием h и собирающей с фокусным расстоянием:
/а. Линзы расположены вплотную друг к другу. Оптические
оси линз совпадают.
764. Две одинаковые рассеивающие линзы помещены на
одной оси так, что передний фокус одной и задний фокус
другой располагаются в одной и той же точке А оси. Третью
линзу располагают на той же оси так, что в точке Л
находите» ее оптический центр. Фокуеное расстояние третьей
линзы таково, что система дает действительное изображение
любого предмета, расположенного вне системы на
ее оси. Какое увеличение дает система, когда расстояние
между предметом и его изображением наименьшее?
765. Параллельный пучок света падает на систему из
трех тонких линз с общей оптической осью. Фокусные расстояния
линз соответственно равны / i= + 1 0 см,./*=’—20 см
и / з= + 9 см. Расстояние между первой и второй линзами
15 см, между в тщ ^ и тфетьей 5 см. Определить положение
точи! схождения пучка по выходе из системы линз,
766. Некоторая оптическая система создает действительное
изображение источника в точке А. Размер изображения
1 мм. Другая оптическая система состоит из двух собирающих
линз, расположенных так, что центр одной совпадает
с фокусом другой* и наоборот. Вторую систему располагают
на одной оси с первой так, что точка А оказывается
посредине между линзами. Найти размер изображения, образованного
второй системой.
767. Система состоит из двух линз е одинаковыми по
абсолютной величине фокусными расстояниями. Одна из
линз собирающая, другая рассеивающая. Линзы- располо-

147 Оптические системы и оптические приборы, Основные законы оптики. Элементарная физика учебник.

жены на одной оси на некотором расстоянии друг от друга.
Известно, что если поменять линзы местами, то действительное
изображение Луны, даваемое этой системой, сместится
на /=20 см. Найти фокусное расстояние каждой из линз.
768. Каким должно быть фокусное расстояние Fx собирающей
линзы, которая давала бы точно такое же по величине
изображение Луны, как и система из двух линз, упомянутая
в задаче 767? Расстояние между линзами а = 4 см.
769. При каком из двух расположений линз, указанных
в задаче 767, размеры действительного изображения Луны
будут больше?
770. Линза с фокусным расстоянием /—30 см дает на
экране четкое изображение предмета, расположенного на
расстоянии а = 4 0 см от линзы. Между линзой и предметом
перпендикулярно оптической оси линзы поместили плоскопараллельную
пластинку толщиной d= 9 см. На какое расстояние
нужно сместить экран, чтобы изображение предмета
на нем осталось четким?
Показатель преломления стекла пластин-ки-л =1,8.
771. Предмет АВ находится на расстоянии а= 3 6 см
от линзы с фокусным расстоянием /=30 см. На расстоянии
1—1 м за линзой расположено плоское’зеркало, повернутое
по отношению к оптической оси линзы на 45° (рис. 256).

Оптические системы и оптические приборы

Оптические системы и оптические приборы

На каком расстоянии Н от оптической оси нужно поместить
дно кюветы с водой, чтобы получить на нем отчетливое изображение
предмета? Толщина слоя воды в кювете d—20 см.
772. Стеклянный клин с малым преломляющим углом
а расположен на некотором расстоянии от собирающей линзы
с фокусным расстоянием /, причем одна из поверхностей
клина перпендикулярна оптической оси линзы. По другую
сторону линзы в ее фокусе находится точечный источник

148 Оптические системы и оптические приборы, Основные законы оптики. Элементарная физика учебник.

света. Отраженные от клина лучи дают после преломления
в линзе два изображения источника, смещенные друг относительно
друга на d. Найти показатель преломления
стекла клина.
773. Вогнутое зеркало имеет форму полусферы радиусом
/?=55 см. В это зеркало налит тонкий слой неизвестной
прозрачной жидкости. При этом оказалось, что данная оптическая
система при некотором положении источника дает
два действительных изображения, одно из которых совпадает
с самим источником, а другое отстоит от него на расстояние
/=*=30см. Найти показатель преломления п жидкости.
774. Двояковыпуклая линза имеет фокусное расстояние
/а = 10 см. Одна из поверхностей линзы, имеющая радиус
кривизны R = 10 см, посеребрена. Построить изображение
предмета, даваемое данной оптической системой, и- найти
положение изображения, если предмет находится на расстояний
а= 1 5 см от линзы.
775. Плоско-выпуклая линза из стекла (показатель преломления
п) с посеребренной плоской стороной имеет фокусное
расстояние F t. Какое фокусное расстояние будет
иметь та же линза, если посеребрить не плоскую, а выпуклую
сторону?
776. На плоской поверхности массивного куска стекла
(показатель преломления п) вырезано углубление в виде
шарового сегмента. Вынутый из углубления кусок стекла
представляет собой тонкую собирающую линзу с фокусным
расстоянием f. Найти фокусные расстояния Д и Д получившейся
сферической поверхности.
777. На прозрачный шар, имеющий радиус R и показатель
преломления п, падает в направлении одного из диаметров
узкий параллельный пучок световых лучей. На каком
расстоянии f от центра шара лучи будут сфокусированы?
778. Алмазный шарик (п—2,4) радиуса R посеребрен с
задней стороны. На каком расстоянии d перед шариком должен
быть расположен точечный источник света, чтобы лучи,
преломившись на передней поверхности, отразившись
от задней и вновь преломившись на передней, образовали
изображение, совпадающее с источником?
779. Найти положение главных плоскостей прозрачного
шара, используемого в качестве линзы.
780. Предмет находится на расстоянии d=2,5 см от
поверхности стеклянного шара, имеющего радиус R— 10 см.
Найти положение изображения, даваемого шаром. Показатель
преломления стекла я= 1 ,5 .

149 Оптические системы и оптические приборы, Основные законы оптики. Элементарная физика учебник.

781. Сферическая колба, толщина стенок которой &.R
значительно меньше ее радиуса 7?, изготовлена из стекла
с показателем преломления п. Считая эту колбу оптической
системой и рассматривая лишь лучи, близкие к прямой,
проходящей через центр сферы, определить положение фокусов
и главных плоскостей системы.
782. На капельку воды сферической формы под углом т
падает луч света. Найти угол 0 отклонения луча от первоначального
направления в случае однократного отражения
от внутренней поверхности капли.
783. На капельку воды сферической формы падает параллельный
пучок лучей.
1) Вычислить значения углов 0 отклонения лучей от
первоначального направления для различных углов падения:
0; 20; 40; 50; 55; 60; 65; 70°.
2) Построить график зависимости 0 от i -и по графику
найти приближенное значение угла наименьшего отклонения
0min.
3) Определить, вблизи каких значений угла 0 лучи, вышедшие
из капли, идут приблизительно параллельно.
Показатель преломления веды считать равным «=1,333.
(Это значение п имеет место для красных лучей.)
784. Почему в тех фотоаппаратах, в которых при наводке
на резкость употребляется матовое стекло, не пользуются
прозрачным стеклом?
785. Два фонаря одинаковой яркости находятся на
разных расстояниях от наблюдателя.
1) Будут ли они казаться наблюдателю одинаково яркими?
2) Будут ли их изображения на фотографиях одинаково
яркими, если фонари сфотографировать на разных кадрах,
чтобы изображения были в- фокусе?
786. Один и тот же объект фотографируют с небольшого
расстояния двумя фотоаппаратами,’имеющими одинаковую
светосилу, но различные фокусные расстояния. Одинаковы
ли должны быть выдержки?
787. При помощи линзы, последовательно получают два
изображения-одного и того же предмета с увеличениями
&i=5 и &2= 2 . Во сколько раз изменилась освещенность экрана
в месте получения изображения с переходом от одного
увеличения к другому?
788. Точечный источник света расположен на оси рассеивающей
линзы на расстоянии а= 3 0 см от нее. На экране,
расположенном по другую сторону линзы на расстоянии

150 Оптические системы и оптические приборы, Основные законы оптики. Элементарная физика учебник.

/—10 см, получается световое пятно. Если увеличить расстояние
между линзой и экраном в 4 раза, то освещенность
центра пятна уменьшится во столько’же раз. Найти фокусное
расстояние линзы. ‘
789. Расстояние от точечного источника до собирающей
линзы d=3Q см, от линзы до экрана /—60 см. Известно, что
освещенность центра светового-пятна на экране увеличится
в п = 4 раза, если экран придвинуть вплотную к линзе.
Определить фокусное расстояние линзы.
790. Небольшое количество непрозрачной жидкости покрывает
посеребренный участок на дне черного сферического
сосуда, в центре которого расположен точечный источник
света. Когда жидкость заменили на прозрачную,
освещенность верхней точки сосуда увеличилась на 25%.
Определить показатель преломления прозрачной жидкости.
794. Линзы, о которых говорится в задаче 767, имеют
одинаковые диаметры. Сравнить освещенности изображений
Луны в случаях первого и второго расположений и при
применении эквивалентной линзы.
792. Можно заметить, что освещенная заходящим Солнцем
белая стена кажется ярче поверхности Луны, находящейся
на той же высоте над горизонтом, что и Солнце.
Означает ли это, что поверхность Луны состоит из темных
пород? (Миннарт, «Свет и цвет в природе».)
793. Почему, открыв глаза под водой, мы видим только
туманные очертания предметов, а в маске для ныряния предметы
видны совершенно отчетливо?
794. Близорукий человек, пределы аккомодации глаза
которого лежат между а\—\2 см и а3= 6 0 см, носит очки,
с помощью которых может хорошо видеть удаленные предметы.
Определить, на каком наименьшем расстоянии а я может
этот человек читать книгу в очках. 4
795. Два человека, дальнозоркий и близорукий, надев
свой очки, видят так же, как человек с нормальным зрением.
Однажды они случайно поменялись очками. Надев
очки близорукого, дальнозоркий обнаружил, что он может
отчетливо видёть только бесконечно удаленные предметы.
На каком-наименьшем расстоянии а сможет читать мелкий
шрифт близорукий в очках дальнозоркого?
796. Предмет рассматривают невооруженным главой с
‘расстояния D. Каково будет угловое увеличение, если тот
же предмет рассматривать в лупу, расположенную на расстоянии
го т глаза и помещенную таким образом, что изображение
находится на расстоянии L от глаза? Фокусное

151 Оптические системы и оптические приборы, Основные законы оптики. Элементарная физика учебник.

расстояние линзы равно f. Рассмотреть случаи: 1) L = o о;
2) L =D . . _ .
797. У оптической трубы, установленной на бесконечность,
вынули объектив и заменили его диафрагмой диаметра
D. При этом на некотором расстоянии от окуляра на
экране получилось действительное изображение диафрагмы,
имеющее диаметр d. Чему было равно увеличение трубы?
798. При изготовлении двухлинзового объектива фотокамеры
конструктор ирпользовал рассеивающую линзу с
фокусным расстоянием /i=5 см, поместив ее на расстоянии
/=45 см от пленки. Где необходимо поместить собирающую
линзу с фокусным расстоянием /2= 8 см, чтобы на пленке
получалось резкое изображение удаленных предметов?
799. Для трех различных расположений линз, найденных
в задаче 798, рассчитать диаметр D изображения Луны
на негативе. Поперечник Луны виден с Земли в среднем под
углом ф = 3 1 ‘5 «« 0 ,9 -1 0 -2 рад.
800. Главное фокусное расстояние объектива микроскопа
fo6= 3 мм, окуляра /оК= 5 см. Предмет находится
от объектива на расстоянии а= 3 ,1 мм. Найти увеличение
микроскопа для нормального глаза. Рассмотреть случаи:
1) изображение располагается на расстояния D—25 см;
2) в глаз из окуляра идут параллельные пучки лучей

152 Оптические системы и оптические приборы, Основные законы оптики. Элементарная физика учебник.

§ 31. Оптические системы и оптические приборы. Ответы

Ответы на задачи «Глава V. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА. Ответы». Скачать. стр. 363-400

760. Рассеивающую динау следует расположить на расстоянии
25 см, от собирающей.’ Тогда фокусы рассеивающей и собирающей
линз будут совпадать. На рис. 526 изображен ход лучей.

382 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

7В!. Возможны два случая.
1) Зеркало находится на расстоянии d= f — \ -R от линзы. Ход
лучи, параллельного оптической оси системы, а также изображение
«редаюта АВ приведены на рис. 527. Изображение А’В’ (прямое и
действительное) получается в натуральную величину при любом положении
предмета.

2) Зеркало находится на расстоянии d = f = R от линвы(рис. 528).
Изображение предмета А ‘В1, также в натуральную величину, будет
обратным и мнимым при любом положении предмета.

762. Ход лучей в данной оптической системе изображен на
рис. 529. Первая линза при отсутствии второй дает изображение А’В’,
находящееся на расстоянии дг — 60 см от линзы. Это расстояние
находится по формуле линзы
1 , 1 1

383 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

Изображение А’В’ является «мнимым» по отношению ко второй
линзе. Следовательно,
где о2 = f»i—d — 30 см. Отсюда Ь2 —7,5 см.

763. Из решения предыдущей задачи следует, что в случае двух
собирающих линз, .-находящихся на некотором расстоянии d друг
от друга, справедливо равенство
1 . 1 1 I 1 I й
Ч h fi h «2&i ’
В нашем случае рассеивающая линза расположена вплотную к собирающей
(d = 0), поэтому
JL._L JL+JL-J.
«1 + Ь2 ~ h + h ~ f ’
где / —искомое фокусное расстояние системы. Отсюда ■ /= /1/ 2/(/i — /2).
764. Средняя линза (третья) — собирающая. Если расстояние от
предмета до передней линзы системы равно d, то расстояние от задней
линзы до изображения / = F 2/4d, где F — фокусное расстояние
рассеивающей линзы. Увеличение системы k — F/2d. При наименьшем
расстоянии между предметом и его изображением (это расстояние
равно 3F) k — l.

765. На вторую линзу падает световой пучок, выходящий из
точки, расположенной на расстоянии аг = 5 см от линзы. Продол-

384 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

как вытекает из формулы линзы, яа расстоянии 5S= 4 см от нее
(рве. 530). Эта точка как раз совпадает е фокусом третьей’линзы.
Поэтому лучи, вышедшие из системы, пойдут параллельным пучком.
Данная система является Телескопической. —
766. Изображение, даваемое второй системой, получается мнимым.
Оно располагается в передней фокальной плоскости первой
линзы. Размер’ изображения 2 мм. ~
767. Пусть расстояние между линзами равно а. Тогда, если лучн
надают сначала иа рассеивающую линзу, то уравнение для второй
(собирающей) линзы будет иметь вид
_ L— j— L=-L. ‘ .
F + a ^ h F
В случае, когда первой стоит собирающая линза, уравнение для рассеивающей
запишется в виде
F —а /а F
Здесь fx и f% — расстояния от задней, линзы до изображения в первом
и во втором случаях. По условию /»— f s~ l . Из этих равенств F- —
==//2=10 см. : .•
768. Диаметр изображения Луны, подученного е помощью одной
линзы, d1 = (pFx , где ф — угловой диаметр Луны. Диаметр действительного
изображения, образованного данной системой, d2 — (fF2fa,
где а — расстояние между линзами, F—их фокусные расстояния (см.
решение задачи 767). Следовательно, Fx = F2/a = 25 см.
769. Размер изображения, образованного первой линзой, не зависит
от того, рассеивающая эта линза или собирающая. В обоих
случаях диаметр изображения’равен фЕ, где ф—угловой диаметр
Луны. Если вторая линза собирающая, то ее увеличение kl= f 1/(F-\-a)=
= F/a. Аналогично, если вторая линза рассеивающая, то k2 = /2/(Е—а).
Отсюда следует, что й диаметр окончательного изображения
г/=фЕ-/7а=фЁ*/в одинаков в обоих
случаях.
770. На рис. 531 изображен ход
луча через пластинку от точки S
предмета. В результате преломления
света пластинкой луч BE кажется.
выходяцвм из точки S’;
S ‘—мнимое изображение S в пластинке.
Таким образом, расстояние
между изображением предмета
в пластинке и линзой а’= а —SS’..
Смещение SS’ = AD—d—DC. Считая
углы падения иа пластинку
малыми, имеем
I * я Рис. 531.
так как i/r я я. Следовательно, SS’= d ( 1 — 1 /я )= 4 см. До помещения
пластинки экран находился на расстоянии b=af / (a—/ ) = 120 см,
после ее помещения—на расстоянии b‘ = a’f/(a’ — f )= 180 см. Эк-
рав нужно сместить на 60 см.

385 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

771. Без зеркала изображение предмета А’В’ получится »а расстоянии
6 = а/:/(а-—/ ) = 180 см от линзы (рис. 532), После отражения

в зеркале изображение
на расстоянии Я ‘ = & —
займет положение А»В» и будет находиться
1 — 80 см от оптической оси. Слой воды толщиной
d сместит изображение на
расстояние Я,— Я ‘ = d (1 — 1/га), где
га—показатель преломления воды.
Это вытекает непосредственно из
решения задачи 770. Следовательно,
Я = Я ‘ — И (1 —1/га)=85 см.
772. Возможны два случая:
1) передней грани
клина. Лучи, отраженные от передней
грани, пройдя линзу, дадут
изображение точечного источника,
совпадающее с самим источником.
Лучи, отраженные от задней грани, отклонятся на угол ф (рис. 533),
определяемый равенством sin ^ /sin 2а=га. Ввиду малости углов ф я 2ая.

Второв изображение источника получится на расстоянии d от первопо
изображения: d — / ’ф=*/-2ага. Отсюда n — d/2af.

386 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

2) Оптическая ось линзы перпендикулярна задней поверхности
; клина. Лучи, отраженные от передней поверхности, отклонятся на
‘ угол ф = 2а и дадут изображение, отстоящее от источника на расстояние
d1 = 2af (рис. 534). Лучи, отраженные от задней поверхности,
отклонятся на угол 0, определяемый из уравнений
sin a/sin р =* л, -sin (a-f-0)/sin (2 a— Р) =п .
При малых упдах 0=*2a(n — 1). Поэтому второе’ изображение будет
находиться от источника на расстоянии d2 = 2 a ( /i—1)/. Полное расстояние
между изображениями d = d1-J-d2 = 2an/. Отсюда n=d/2af,
как и в случае (I). .
773. Так как изображение, совпадающее с источником, образуется
в результате отражения от части зеркала, не покрытой жидкостью,
то очевидно, что источник расположен в центре полусферы О, Найдем
положение другого изображения (точка А на рис. 535). По закону
преломления
sin a/sin р = я a/P, sin cp/sin 0 = п « ф/0.
Как видно из чертежа, 0 = р + 2у, где у и a — Р —угол падения
преломленного луча на зеркало, и (R— l —h) tg <р « (R — h) tg а . Пренебрегая
h~ по сравнению с R, из полученной системы уравнений
найдем n = (2R— l) /2 (R—1)= 1,6.

774. Получаемое в системе изображение А » ‘В ‘ » показано на
рис. 536. Fx и F j—фокусы линзы и зеркала. Л’S ‘ —изображение,
даваемое линзой в случае, если ее поверхность не посеребрена.
Изображение А’В», даваемое вогнутым зеркалом, можно построить,
учитывая, что луч ВО после прохождения лйнзы и отражения
от зеркальной поверхности пойдет по пути ОВ», причем ,/ ВО А =
= В»ОА. Луч ВС выходит-из линзы параллельно оптической оси
системы и после отражения идет через S 2.
Отраженные, от зеркала лучи преломляются в линзе еще раз и
дают изображение А ‘»В ‘» . Точка В ‘» лежит на пересечении лучей
ОВ’ и CD. Луч ОВ» проходит через оптический центр линзы после
отражения и потому не преломляется. Луч CD строится следующим

387 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

образом. После первого преломления р линзе и отражение луч ВС
пойдет в направлении Fa и преломится в линзе еще раз. Его найррв-
ление после второго’преломления находится способом, изложенным
6 задаче 763: черев ойтнческий центр О проводится до пересечения
с фокальной плоскостью_ линзы луч OD, параллельный CF2. Тогда,
соединяя С и D, получим искомый луч.

Так как лучи преломляются в линзе дважды, фокусное расстояние
/ системы может быть найдено из соотношения задачу 763)
где /2 = ^ / 2 —фокусное расстояние зеркала. Таким рбразом, f =
= / i / 2/(/i + 2/2) = 2,5 см. Отсюда расстояние b до изображения А » ‘В » ‘
находится по формуле
775. Оптическая сила системы равна сумме оптических сил составляющих
ее компонентой (если они сложены вплотную). В первом
Случае
Рис. 536.
1 , 1 , 1
Следовательно, b=^afj(a—/ )—3 см.
-Fi~ J) R +( « !) ^ •
Во втором случае
Отсюда F2 = F1(l — ljn).

388 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

776. Фокусное расстеяние тонкой линзы / = ’где г ~ радиус
сферической, поверхности. Пусть лучи, параллельные оптической оси
сферичесной поверхности, падают на нее из воздуха (рис. 537). Преломившись
на поверхности, луч NK отклоняется на угол а—р от
оптической оси. Как видно из рис. 537, a, OP- tg a — FiP t g ( a—$).

По закону преломления sin a /sin р = п. Ввиду малости рассматриваемых
углов отсюда вытекает, что r a x (а— Р) и а = ря. Следовательно,
Если же параллельные- лучи падают из стекла (рис. 537,6), то
аналогичное рассмотрение приводит к уравнениям’
sin a/sin р = 1/л, г tg a = f2 tg (Р — a).
Ввиду малости углов р = яос, r a= f2 (Р^ -а). Отсюда f2 = r/(n — 1) = /.

777. Возможны два случая: фокус находится вне шара и внутри
шара. Рассмотрим сначала первый случай. Ход луча, падающего на

389 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

шар под углом изображен на рис. 538. Учитывая, что углы i и г
малы в соответствии с условием задачи, имеем
BC = R sin a = R sin (2r — i) « R (2r—i ) « ~ ^ ( 2 —«).
Очевидно, что фокус лежит вне шара при я < 2. Если я — 2, то фокус
лежит на поверхности шара. Расстояние
C F = SC -c tg P к ВС/р, р « 2 ( ( — г ) « 2((я —1)/я,
как нетрудно определить с помощью рис. 538.
Искомое расстояние f = R-{-CF — Rn/2(n— l).

Ход луча при я > 2 изображен на рис. 539. Искомое расстояние
f = OF м CF — R. Как видно из рис. 539,
CF = AC ctg (t — г)7 я t—г я I —г .
Отсюда / ‘ == /?/(п — I).
778. Преломление лучей от источника на передней поверхности
шарика описывается формулой
1 . я п—1
~d h ~ R V
где f i—расстояние от изображения до передней поверхности. От
задней (посеребренной) поверхности изображение находится да расстоянии
2R — /]. Отражение лучей в образовавшемся сферическом
зеркале описывается формулой .
2R — h ^ Г2 R ‘ ‘
Новое изображение находится на расстоянии /2 от зеркальной
задней поверхности и на расстоянии 2R — /2 от передней. Расчет
-преломления на передней поверхности производится по формуле
я . 1 я —I
W =T * ~ d ~ ~ R ’
где; учтено, что окончательное изображение получается в воздухе на
расстоянии d от шарика.

390 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

Решив систему трех уравнений, получим dt — 5R, rfa= — R. Вто-
рое значение соответствует расположению источника в центре шарика,
что противоречит условию.
779. Продолжим луч BF до пересечения с продолжением луча,
падающего на шар параллельно оптической оси (рис. 538). Нетрудно
видеть, что отрезок DO, соединяющий точку пересечения с центром
шара, образует с направлением падающего луча прямой угол. Треугольник
DDF прямоугольный, так как
о ^ .рv 2 п—^ -1г — п t
(см. задачу 777). Следовательно, главные плоскости шара MN совпадают
и проходят через его центр.
780. Фокусное расстояние шара
R
/=■ 2 л — 1==15 см
(см. задачи 777 и 779). Используя формулу линзы, что допустимо,
так. как главные плоскости совпадают, найдем расстояние от центра
линзы до изображения: Ь—аЦ(а—{ )=— 15 см. “Изображение мнимое
и находится перед шаром.
781. Тонкую стенку сферической колбы можно рассматривать как
рассеивающую линзу о фокусным расстоянием
, 1 /?г
h ( л — 1 ) ( 1 / ^ — 1 ^ ) * > — 1 ) Д Я —
Пройдя две такие линзы, расположенные на расстоянии 2R одна
от другой (рис. 540), лучи, параллельные главной оптической оси

(диаметру колбы), преломятся так, что их продолжения пересекутся
в фокусе F системы на расстоянии Ь от второй линзы, причем по
формуле линзы
1 1 1
f i + 2 /г ъ f t *
“Отсюда * = / i ( / i+ 2 / ? ) /2 ( /1+ /? ). Точка D пересечения отрезка АВ
(продолжение падающего луча) и отрезка CF (продолжение луча

391 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

преломяенного^ лежит на главной плоскости системы, находящейся
на расстоянии х от второй линзы.
: Из подобия треугольников АСВ и F-fiO, а также треугольников
DC В и FCO следует, что
х 2R
. Главная плоскость лежит от второй линзы на расстоянии
… .Ш fiR
-2/ г + Д f i + R \
Следовательно, фокусное расстояние системы
Г t х fl ~ h — Ri ’
‘ 2 ( /1-ЬУ?)~ 2 _ 2 ( л — 1 )ДЯ* ‘
В силу симметрия данной оптической системы положения второго фокуса
и другой главной плоскости очевидны.
782. Как видно из рис. 541, угол преломления
г= £О А В = £ АВО= £О В С = £О С В , а 2 BAD = £ BCD = i — r .

В точке А луч поворачивает на угол i—r, в точке В — на угол я — 2г
и в точке С —на угол i—r. Следовательно, полный угол отклонения
луча от первоначального направления
0 = £ — г + я — 2 г + 1 — г = Я + 2 £ — 4 г .
Угол г можно найти из соотношения sin i/sin г — п.
783. При падении на капельку параллельного пучка лучей луч,
идущий вдоль диаметра, имеет угол падения i = 0‘S а лучи, лежащие
выше и ниже его, имеют углы падения, принимающие всевозможные
значения от 0° до 90°.
1) Используя результаты предыдущей задачи и закон преломления,
можно найти значение 0 для различных i:

392 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

2) График зависимости 0 от / изображен на рис. 542.
— 3) Наименьшее значение угла отклонения приближенно равно
®min= 138°. Лучи, вышедшие из капли, идут приблизительно

параллельно именно при 0 = 1’min> так как ПРИ этом, как видно из
Таблицы и графика, 0 меняется наиболее медленно при изменении i.
Примерный ход лучей в капле изображен на рис. 543.

393 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

784. Матовое стекло нужно, во-первых, для того, чтобы фиксн^
ровать плоскость, в которой получается изображение, и, во-вторых,
для увеличения угла зрения.
Прозрачное стекло употребляется при рассматривании изображения,
даваемого фотообъективом, в микроскоп. Для этого на прозрачном
стекле наносят черту, которая фиксирует плоскость наводки, и
добиваются резкого изображения в микроскопе этой черты и прилегающего
к ней участка картины, даваемой объективом. Матовое стекло
в этом случае применено быть не может, так как в микроскоп будут
видны все искажения, обусловленные структурой матовой поверхности.
785. 1) Фонари будут казаться одинаково яркими, так как освещенность
сетчатки глаза E = BSfb2 одинакова для обоих фонарей.
(Здесь В — яркость фонаря, S—площадь входного отверстия зрачка,
Ь—расстояние от хрусталика до сетчатки.)
2) Изображение более удаленного предмета лежит ближе к объективу,
чем изображение близкого предмета. Поэтому удаленный фонарь
создаст большую освещенность на фотопластинке и изображение
его на фотографии будет более ярким.
786. Освещенность фотопластинки Е ~ S/b2 ~ А (а—/)2/а2, где
A = d2/ f2 — светосила объектива, / —фокусное расстояние, а —расстояние
от объектива до фотографируемого предмета (см. задачу 785).
Отсюда очевидно, что у короткофокусного аппарата выдержка должна
быть меньше.
787. Рассмотрим, от чего зависит освещенность изображения. Гак
как свет исходит от каждой точки протяженного источника, то световой
поток Ф, попадающий на линзу, пропорционален площади
источника Sx. Кроме того, световой поток пропорционален телесному
углу и, под которым видна линза из точек источника. Если площадь
линзы S2, а расстояние от источника до линзы равно d, то <в = S2/d2.
Таким образом, 0 = BS1w, где коэффициент пропорциональности В
характеризует яркость источника,
Световой поток Ф распределяется по площади изображения S3.
Поэтому освещенность изображения
„ «Ф BSx(o BSXS%
S3 S 3 S$d2
Отношение площадей источника й изображения равно отношению
квадратов их расстояний от линзы: S 1/S3 = d2/ f 2. Следовательно, освещенность
изображения E — BS2/ f2 зависит при неизменных В и S2
лишь от расстояния / от линзы до изображения. Используя формулу
линзы
и соотношение k — f/d, легко найти f= F ( k — (-1). Поэтому искомое
отношение освещенностей
е 2 f\ f ‘ b + i y
E i ~ ft \ А + 1 /
788. F = 2al/(a—« ) = 60 см.
789. Сила света изображения данного точечного источника не зависит
от. положения экрана, Поэтому пГ/{1—/)2= ///*. Это квадратное

394 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

уравнение дает два значения f: f= l j ( \ ± У »)• Применив формулу
линзы
1 , 1 1
d + f ~ р •
получим два значения F
= Id -_L’— 14 СМ, ГО—
l+ d .+ d У п l + d —d У п
F 1= _ — ld :■= 12 см, F.t = U = 60 см.
• 790, л = 0,75 + 0,25 У Е г/(Е2—Я1)= 1 ,2 5 .
791. Если лучи падают сначала на собирающую линзу диаметра D
(или на заменяющую эквивалентную линзу), весь световой поток Ф,
прошедший через линзу, участвует в образовании изображения. Если
же первой стоит рассеивающая линза, то часть света проходит мимо
второй (собирающей) линзы. «Действующий диаметр» d рассеивающей
р
линзы можно найти из подобия треугольников по формуле d = -^-p^Z).
Поэтому в образовании изображения участвует световой поток
\ F + a ) ~ 2
Площадь изображения во всех случаях одинакова. Следовательно,
освещенность изображения, если впереди стоит рассеивающая линза,
будет в два раза меньше, чем в остальных случаях.
792. Расстояния между Солнцем и Землей и Солнцем и Луной
практически равны. Поэтому, если бы Луна и стена имели одинаковые
коэффициенты отражения, то яркость их казалась бы одинаковой.
Следовательно, можно считать, что поверхность Луны состоит из
темных пород. ‘
793. В воздухе внешняя выпуклая роговая оболочка глаза собирает
лучи и создает изображение на сетчатке. Хрусталик только
помогает ей в этом. Показатель преломления жидкости внутри глаза
очень близок к показателю преломления воды. Поэтому в воде роговица
почти не преломляет свет и глаз становится крайне дальнозорким.
В маске преломляющие свойства роговицы целиком сохраняются.
794.’ Рассматривая удаленные предметы через очки, человек видит
их так же, как видел бы предметы, находящиеся на расстоянии
о2= 6 0 см, без очков. Поэтому для человека, вооруженного очками
(см. решение задачи» 763),
JL+ 1 _==_1 + _L
a b f h ‘
где а = оо.
Для человека без очков
а» _ 7 *
Здесь b—глубина глаза, 1 //—наименьшая оптическая сила глаза,
1//о — оптическая сила очков. Предполагается, что очки придвинуты
вплотную к глазу. Отсюда /0 = — а2.

395 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

Определим теперь положение ближней точки аккомодации глаза,
вооруженного очками:
Отсюда
_1_ _1 1 ._ 1____
ai h fi aa bi fx /о
J___L I’J_ !___L
a3 ~~ a x ‘ /о _r_ ax a2
и, следовательно, «3= 1 5 см.
795. Надев чужие очки, дальнозоркий видит резно только очень
удаленные предметы. Следовательно, расстояние а2 наилучшего зрения
глаза дальнозоркого определяется из уравнения
————— = D x , ax’ а2
где аг — очень большое расстояние (% -> оо), Dx — оптическая сила
очков близорукого.
Оптическую силу D2 очков, исправляющих дефект зренйя дальнозоркого,
можно найти по формуле
. аа ~а-2= £ > 2 ,
где а0 = 0,25 м —расстояние наилучшего зрения нормального глаза.
Расстояние а3 наилучшего зрения близорукого глаза определится из
уравнения
———= D X.
а0 а3
Если же близорукий наденет очки дальнозоркого, то расстояние
наилучшего зрения, т. е. минимальное расстояние о, на котором близорукий
сможет без напряжения читать мелкий шрифт, можно определить
по формуле
— а- —- -а3= П 2.
Решив эти 4 уравнения, получим а— 12,5 см.
796. При. рассматривании предмета высотой I с расстояния D
угол зрения ф х определяется выражением ф х = 1/D. Если рассматривать
тот же предмет в лупу, то <p2 = l’/(b-i-r)=^l’/L, где Г —высота
изображения (рис. 544). Угловое увеличение
N = ф 2 / ф х = / ‘ £ > / / £ = kD /L,
где k = l’/l — b/D — (f-j-b)/f—линейное увеличение, определяемое по
формуле линзы ( /—фокусное расстояние). Следовательно,
/v _ _D b -_r f Df . -L—- rL- 1 — f .

396 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

797. Увеличение трубы /V = fi/fv где /j —фокусное расстояние
объектива, а / 2—фокусное расстояние окуляра. Так как у установленной
на бесконечность трубы расстояние между объективом и окуляром
равно /^+/г> то D/d = (f1-\-f2)/b. Здесь 6 — расстояние от окуляра до
изображения диафрагмы. По формуле линзы
1 1 1
fi + h fs
Исключая из этих уравнений Ь, найдем Z )/d = /,//2 = N.
798. Резкие изображения удаленных предметов будут получаться
при двух различных положениях собирательной линзы. Ее можно
поместить’ перед рассеивающей линзой или за ней.

Для первого расположения расстояние d между линзами можно
найти, рассматривая точку К как мнимое изображение точки А
в рассеивающей линзе (рис. 545): *
1 1

397 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

Луч M N параллелен оптической оси системы. Отсюда : ■ ,
d = f2— ‘ j ^ T l= 3.5 см.
• Для второго расположения (собирательная линза за рассеиваю»
щей) ход лучей изображен на рис. 646. Рассматривая точку А как
изображение К в собирательной линзе, применим формулу линзы
1 , 1 1
h + dT i — d f2 ‘
Отсюда
d ~ 2 ” ± / -t-/i •
4/2
Расстояние между линзами может быть d2 = 35 см или ds ««5 см.

799. Пусть лучи, идущие от одного из концов диаметра видимого
диска Луны, направлены вдоль оптической оси системы. Они дадут
изображение на оптической оси в точке А, отстоящей на расстояние
1 = 45 см от рассеивающей линзы (рис. 547). Лучи, идущие от другого
конца диаметра, составляют с первыми лучами по условию угол ср.

Пройдя систему, они дадут изображение (точка В), лежащее в плоскости,
перпендикулярной оптической оси и отстоящей от рассеивающей
линзы на то же расстояние I.
Для нахождения диаметра изображения П1 = ЛВ рассмотрим ход
луча, проходящего через оптический центр первой линзы. При первом
расположении линз собирательная линза помещена перед рас-

398 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

Сбивающей на расстоянии ^ = 3,5 см. В этом елучае{ рассматривая
ТОЙКу В как мнимое изображение точки О, можно написать
1
di
1
Xi
1
h ‘
• Используя . подобие треугольников АВЕ и ОхРЕ и учитывая, что
O iP ^ d jtg (р, получим
Д| __<к tg q? ^ d*<p ^
1 + Х 1 Х х ~ Х *
Исключая х* из данных уравнений, найдем £>* = 0,72 см.

Для второго расположения линз (d2 = 35 см) ход лучей изображен
на рис. 548. Величину изображения Луны £>а можно найти из
уравнений
£>з _ <Mgq> _ 4 ф
(x2+ d 2)— l х2 ~ хг
(рассматривая треугольники ЕОР^ ЕАВ и ОРОх),
_1
4, *2 /2
(рассматривая £ как изображение О*). Отсюда D3 к 0,011 см.
Для третьего расположения (d3 — 5 см) ход лучей будет несколько
иным (рис. 549) по сравнению с изображенным на рис. 548.

Уравнения для определения Ds запишутся по аналогии с предшествующими
случаями так:
° з _ dgtgy <*зф J 1 __ 1
d$)-\~X$ Хд Хд dg Хд f 2

399 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

800. Из формулы- линзы
Jп }* АL
1
F06
следует, чта’увелвчение объектива ki — b/a=F0^f(a—F0e) — 30. Действительное
обратное — увеличенное изображение предмета, даваемое
объективом, «рассматривается через окуляр, как через лупу, причем
в первом случае мнимое изображение, даваемое этой лувой, располагается
от глаза на расстоянии £> = 25 см. По формуле лупы
1 _ 1
P . f ок
1
a.i
где аг — расстояние изображения, даваемого объективом, до окуляра.
Увеличение окуляра й2 = £>/% = (D+ F0K)/F0ll = 6. * Полное увели-,
чение микроскопа k = k 1k2 — 180 раз. Во втором случае k2 — D/F0H — 5
и k — kt k2 — Г50 раз.

400 Оптические системы к оптические приборы, Основные законы оптики. Ответы.

Статистика


Яндекс.Метрика