Home » Квант » Основная теорема арифметики

Основная теорема арифметики

6. Основная теорема арифметики.

Квант 6/1972

Квант 6/1972

 НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
Квант

Квант №6 1972

Скачать  сборники журнала «Квант» в хорошем качестве
Если хотите быстро ознакомится только с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно):


До доказательства основной те-
оремы сделаем еще один шаг — до-
кажем лемму.
Лемма 3. Если произведение
ab делится на с, причем числа
b и с взаимно просты, то а де-
лится на с.
Действительно, поскольку у нас
НОД F, с) — 1, то но лемме 2 най-
дутся такие целые числа х и у, что
I ~ Ьх -г су. Умножая обе части ра-
венства на а, получаем, что а =
= abx -г асу. Так как по условию ab
делится на с, то и abx, и, разумеется,
асу делятся на с, а значит, и их сум-
ма а делится на с.
Лемма 3 очень часто используется
при решении задач, причем иногда
совсем «незаметно». Мы, например,
опирались на нее в предыдущем пунк-
те при выводе формул, дающих все
решения уравнения I19.V+ 13л/ —- 1
(там мы выделили соответствующую
фразу курсивом).
Задача ’20. Докажите, что если’чис-
ло и делится па взаимно простые числа & не,
то и делится на be.
Задача 21. Какие из следующих
утверждений перны:
а) если ««делится па 15, то хотя бы один
из сомножителей делится на 15;
Г>) если ab делится на 17, от хотя бы один
из сомножителей делится на 17;
в) если а делится на 6, а & делится на 10,
то ab делится на 15;
г) если ab делится на 60, а Ь взаимно прос-
то с 10, то с делится на 20.
Напомним теперь, что натуральное
число р называется простым, если
оно имеет ровно два делителя: р
и 1.

34 Основная теорема арифметики 

Если р просто, то для любого
целого числа а верно одно из двух
утверждений: либо а делится на р,
либо аир взаимно просты (потому
что НОД (а, р) может равняться толь-
ко р или I).
Лемму 3 можно сформулировать
в частном случае так:
если произведение ab делится
на простое число р, то или чис-
ло а, или число b делится на
число р.
Отсюда сразу выводится основная
теорема арифметики.
Каждое число разлагается на
простые множители и притом
единственным образом.
Действительно, пусть число рас-
кладывается на несколько множите-
лей и хотя бы один нз них не является
простым числом, тогда этот множи-
тель сам разлагается на множители;
если среди его множителей снова
имеется не простой множитель, он
опять разлагается на множители, и так
далее. Поскольку каждый множи-
тель числа меньше самого числа, та-
кой процесс не может продолжаться
бесконечно, и мы обязательно придем
к разложению числа на простые мно-
жители.
Докажем теперь, что не может
быть двух различных разложений
числа на простые множители. Пред-
положим, что имеются два разло-
жения числа а : а — рхр., . . . рг =-
— <7i<7-> ¦ ¦ ¦ Яп {r^k), где»/?,- и qi —
простые числа. Так как левая часть
равенства делится на plf то и пра-
вая его часть должна делиться на
/>,, и значит, одно нз чисел qt
должно делиться на р1. Но qt —
простое число, значит, qt — p,. Со-
кратив равенство на общий множи-
тель qt -~ р,, обратимся к множи-
телю р., и установил! аналогично, что
он равен некоторому множителю qt.
Сократив равенство на р.> — qt, об-
ратимся к множителю р3 и так далее.
В конце концов слева сократятся все
множители и останется 1, а так как
qi — целые положительные числа,
то и справа не может остаться ниче-
го, кроме 1. Итак, числа pt и qt
будут соответственно равны и оба
разложения тождественны.
Задача 22. Разложите числа 1971,
1972 и 1973 на простые множители.
Задача 23. а) Докажите, что если
т и п взаимно просты и am ¦= bn, то существу-
ет такое целое it. что a— kn. b ¦¦= km.
б) Докажите, что если т и п взаимно
просты и хт — у», то найдется такое целое
число г, что х — г», а у — г'».

ШКОЛЬНИКИ
РАСЧИЩАЮТ КАТОК

Группа школьников рясчн-
щает лопатами каток, по-
крытый ровным слоем снега.
Действуя оптимальным об-
разом, ош1 расчищают круг-
лый каток радиусом 10 .«
(рис. I) за I ч. Зп сколько
времени они смогут расчи-
стить клток радиусом 20 м?
Что школьмнкн расчистят
быстрее — этот каток или
хоккейную площадку, имею-
щую форму прямоугольника
20 м X Ь4 ‘.« * рис. 2). по-
крытую таким же слоем
снега? Считается, что время
затрачивается на работу
против сил трения.
(Ответ смотрите на стр. 50)
В. М. Фшиман

35 Основная теорема арифметики 

Скачать Квант (все выпуски).

Статистика


Яндекс.Метрика