ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ Квант 2 1972
Проективную прямую, дополненную бес-
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
конечно удаленной точкой, естественно пред-
ставлять себе как окружность (когда точка X
пробегает прямую, то X’ проходит полный
оборот по окружности).
Если точка X движется в одну сторону,
то Y=f {X) — в противоположную, поэтому
отображение / имеет две неподвижные точ-
ки Zx н Z2 такие, что / (Z^Z^, f (Z2)—Zo.
(Это верно для любого непрерывного взаимно
однозначного отображения / окружности
на себя, меняющего направление обхода.
Если точка L — бесконечно удаленная
точка прямой /, то, как нетрудно проверить,
/ (/ Щ) — L, причем / (L) ф L. Отобра-
жение X—/ (/ (Л)) проективное н имеет трн
неподвижные точки: Zu Z2 и L, поэтому
f(f(X))=X для всех X.
К ч. Вариантм не |у|1И1глы1ЫХ экзаменов»
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА
Отделенне экономической кибернетики
экономического факультета
второго типа.
Указание. Если число произве-
денных деталей первого и второго типа обо-
значить через хну соответственно, то Зх+
-f-5^=68. Если бы детали первого типа изго-
товлялись из металла М,, то каждая деталь
весила бы 1,6/х кг, а если бы из металла Мг,
то 5,2/х кг. Так как на самом деле каждая
деталь первого типа весит 0,31 кг и изготов-
ляется из сплава металлов Л4, н Мг, то 1,6/х<
<0,31<5,2/х (почему?), то есть 5-gj~ < х <
24
< 16 -~т. Аналогично получаем, что
14 4
8-jy < У < ‘З-jy. Таким образом, задача
сводится к отысканию таких целых значений
х и у, которые удовлетворяют >равнению
Зх+5у~68 и условиям ^^ у?
Это уже легко сделать прямым перебором,
если переписать уравнение в виде х *=-•
68 — Ъу
— и последовательно придавать у
значения П. 10, 11, 12, 13.
2.
= arctg
где n — целое число, aft — целое число,
зэ исключением ft——2, —I, 0, 1, 2, н
1
х ==¦ arctg— -f run, где /я— целое
число.
Указание. Уравнение приводится
к виду
cos (л tg х + л ctg х) ~ О,
или
я. tg х -{- л с tg х = -g- -Ь ?л,
* = 0, ±1, ±2, …
Таким образом, для каждого целого k
нужно найти все решения уравнения tgx-f-
-{- ctg х— ~n~ + k, а затем отобрать из них
те, которые входят в ОДЗ исходного урав-
нения (ОДЗ описывается условиями:
л л .
х ф рл. х ф — 4- <?л. л tg х it -у- г ^л.
лс|рх^5Л, р, <7- f- * нелые числа).
Если обозначить tg x чс-рел г, гг* придш к
квадратномч уравнению г;
-f-1 -^ 0; оно имеет дьа
корня при каждом целом fe
При k = 2 один из корней придется отбро-
сить, так как он не входит в ОДЗ
^1
Указание. Представим общий член
последовательности в виде ап • i {п) ¦’- g (n),
где
; (я) п- — Вп \- 15,
ейегтните
—2. —1, 0, 1.
Из свойств квадратного трехчлена следует,
что функция / (а) .V2—8л -15возрастаег при
xi>4. а функцияf>(x) —~^х._ i^.\.(T
«озрасгаст при х ;>: S-jv-(докажите!). 11<»’+т<»-
70 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ Квант 2 1972.
му прнп^б общин членвя последовательности
как сумма двух возрастающих выражений
будет возрастать с ростом номера п. Следо-
вательно, наименьший член последователь-
ности надо искать среди членов alt аг, а3,-
д4, оь, ов. Это можно сделать прямым пере-
бором.
4.
У к aVa н и е.’ Доказать, что центр
искомого шара лежит в плоскости, прохо-
дящей через центр данного шара и перпен-
дикулярной к оси цилиндра.
5. 648 чисел.
Отделение политической экономки
экономического факультета
1. 17%.
-V5+1 … V5+1
2.
5л
3. -гг
4. 462462.
2V2— 1
<х<\.
13л
= 0. ± I, ±2,
*.ШЧк.
2 Т/2 + 1 21/2-1
Указание. Обратить внимание, что
существуют два шара, удовлетворяющих тре-
бованиям задачи.
Отделение биологии инолого почвенного
факультета
1. х-—3. 2. лУТ4:12. 3. 4 г/см3.
_ 1 . я . л.ч
-п~, где п — любое
В1 — ч 9 ^ <
целое число. 5. 3 : I. Указание. Пусть
Pi, pt — периметры треугольников ABE и
ECD соответственио, а -4ВАЕ — а. Показать,
что Pi:Ps= (l—sin-^i-j^osa. Устано-
вить далее, что s|n «•>» =
2_
3
Географический факультет
1. 16 деталей. 2. а+Ь.
Л л Л
3. х1=-^- + *л, х2 =¦- ( — 1) -g- + nn,
где А и п — любые целые числа. 4. /1? : ЕВ—
=4:3. Указание. Доказать, что
~$АВС= 90°. Воспользоваться далее теоре-
мой: квадрат касательной равен произведе-
нию секущей на ее внешнюю часть. 5. 3<
<<10
московский автомобильно-дорож-
ный ИНСТИТУТ
Вариант 1
2. 1Ьдм*. 3. х = 1/12. 4. xl=-~-\-kn;
x2fS = ± ~з~ + Лл. 5. Ъсм.
Вариант 2
1. 12. 2. 85714. 3. 1/3; 9. 4. х=
2л 2
= ± -g- -f- -jj- л*. 5. 25 л.
К заметке «Кванг» длн младших школьников
(см. «Квант» № I, 3-я стр. обложки)
1. Ясно, что если пробка заворачивается
так, что человек должен нажимать на ключ
сверху вниз, то максимальная сила, с кото-
рой он может давить на ключ, равна его
весу. Однако в том случае, когда ключ
должен идти от пола вперх, эта сила может
быть значительно больше песа: сильный
человек может легко поднять груз, значи-
тельно превышающий его собственный вес.
2. 24-мя нулями.
3. Лампочки одинаковой мощности нуж-
но соединить параллельно между собой
и затем получившиеся две группы лампочек
соединить последовательно.
4. 24 суток.
5. У утки лапы расставлены шире,
чем у курицы. Поэтому ее центр тяжести
находится дальгле от точки опоры, и за время
шага, который у уткн и курицы примерно
одинаков, утка поворачивается на больший
угол, чем курица: больше момент силы
тяжести относительно точки опоры, и поэтому
больше ускорение и угловая скорость вра-
щения.
6. Кирпич обладает большей теплопро-
водностью, чем дерево. При потеплении
поверхность деревянной стеики быстро ста-
нонится теплой. Кирпичная стенка, «накопив-
шая холод», передает его наружу, и ее тем-
пература оказыпается ниже О'»‘С, то есть
ниже температуры окружающего воздуха.
71 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ Квант 2 1972.
