Home » Квант » ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.

К «Армянским нарочным задачам*
(см. стр. 28)

Квант 6/1972

Квант 6/1972

 НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Квант
Квант №6 1972

Скачать  сборники журнала «Квант» в хорошем качестве
Если хотите быстро ознакомится с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно):


сК а м с н ь з а т я и у л и в о двор».
4V2 дня.
«Сто марзан пшениц ы». 75,
15. 10.
«Дочери Навасарда». 7 до-
черей. 48 мотков.
«Лиса и лисята». 8-7^ 19208.
К статье «Алгоритм Евклида
и основная теорема арифметики»
1. По условию а ~ kb и b = lc. Отсюда
а -¦ (W) с.
2. Утверждение а) верно: докажем эго.
Пусть а + b ~ с, причем а делится на 6,
а & не делится на 6. Докажем, что с не делит-
ся на 6. Предположим противное: пусть с
делится на 6. Но тогда Ь -= с — а делится на
6 (см. 1°). Мы получили противоречие с усло-
вием задачи.
Утверждение б) неверно. Для опровер-
жения его достаточно привести противоре-
чащий пример: 7 + 5 — 12. Здесь каждое из
двух слагаемых не делится на б, в то время
как их сумма делится на 6.
Утверждение в) верно: если бы оба сла-
гаемых делились на 6, то тогда и их сумма
делилась бы на 6.
Утверждение г) неверно. Противореча-
щий пример: 6+5=11.
Утверждение д) неверно. Противоре-
чащий пример: 2-3—6.
3. Нет, не следует. Противоречащий при-
мер: а = 3, Ь = I, с = 2; тогда а + Ь = 4
делится на 2, и а — Ь делится на 2, но ни а,
•ни & не делятся на 2.
4. Из равенств ab= (а + Ь)г — (as +
+ ab + Ьг), а* + Ьг — {а + Ь)* — 2аЬ сле-
дует, что ab и о2 + Ь8 делятся на a + Ь.
Из равенства а4 + Ь* = (о2 + Ьг) — 2аЧг
следует, что а* + Ьх делится на (а + Ь)г.
5. Так как на одном из этажей в каком-то
подъезде находится 6 квартир (с X» 97 по
№ 102), то и на всех этажах находится по
6 квартир в каждом подъезде. Так как в
каждом подъезде 8 этажей, то всего в подъ-
езде 6-8 — 48 квартир. Поскольку 211 = 48 х
х 4 + 19, то квартира Ла 211 находится в
5-м подъезде, а так как 19=4-4 +3, то
эта квартира находится на 5-я.этаже.
6. При разрезании одного куска на 5 час-
тей число всех кусков увеличивается на 4.
Таким образом, число кусков будет всегда
иметь вид 4А + 1, то есть давать при деле-
нии иа 4 остаток 1. Однако 1971 = 4 -492 + 3,
и ответ отрицательный.
7. Шестизначное число должно делиться
на 3 -7 -13 ~= 273, а 100 000 = 366 -273 + 82,
можно добавить 191, получится 100 191 =
= 367 -273.
8. а) 1; б) 5; в) 8.
9. Пусть а и b—данные числа. d =
¦= ПОД (о, Ь). Тогда а — kd, b = md, где
числа k и т уже не имеют общих делителей,
больших единицы, то есть k и т взаимно прос-
ты. Из того, что ab = 600, следует, что
kmdr = 600. Но наибольший квадрат целого
числа, на который делится число 600, есть
число 100, поэтому наибольшее значение d
равно 10. Пример: а = 60. b — 10.
11. 24 букета.
12. а) НОД (т. и) + 1; б) НОД (т, п)—1.
13. а) 987 654 321 «= 8 -12 345 789 + 9;
123 456 789 делится иа 9 и
НОД (987 654 321, 123 456 789) = 9.
6) 77.
14. Два квадрата размером 141 х 141,
три 42 х 42. два 15 х 15, один 12 х 12,
четыре 3×3. НОД C24. 141) ¦= 3. поэтому
меньших квадратов не будет.
3
15- а » Т40-
16. После деления на НОД (85, 204) =
— 17 получим: 5х + 12у = I. Но 12 = 2 -5 +
+ 2, 5=2-2 + 1, откуда 1 = 5 — 2-2 =
— 5 — 2 A2 — 2 -5) = 5′-5 — 2 -12.
Одно решение: х = 5, у ~ —2. Общее
решение: х = 5 + 12/, у — —2 — 5/, где
/ — любое целое число.
17. а) Да; б) нет.
18. а) Мы должны найтн такие целье
числа х и у, чтобы выполнялось равенство
или
6х + \6у = 220
Зх + 8у= ПО.
Одно из решений: х^_— 330, yt= —ПО.
Общее решение можно записать так:
х ^ 330 — 8/, у = — 110 + 3/. (•)
где t — любое целое число. Теперь естествен-
но выбрать такое t, чтобы хну были неотри-
цательными. (Можно, конечно, подключать
аккумуляторы «в обратную сторону» — «плюс»
к сплюсу», но мы постараемся обойтись без
этого.)
Учтем это требование:
330 — 8/ Ss 0, то есть
110 + З/sgO, то есть
Ц5 = зб4-.

73 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.

Подставляя t = 37, 38, 39. 40, 41 в формулы
(*), получаем 5 вариантов:
батарей
по 6 в
батарей
по 16 в
34
1
26
4
18
7
10
10
2
13
б) Здесь дело сводится к решению урав-
нения 6х + 15у = 220. Однако НОД F,15) =
= 3, а 220 не делится на 3. Поэтому урав-
нение не имеет решений в целых числах.
19. Сумма четного числа нечетных чисел
четна, поэтому 45 рублей нельзя разменять
указанным способом.
20. Поскольку а — bd и делится на с,
а НОД F, с) = 1, то по лемме 3 число d
делится на с.
21. а), б) и г) верны; 6) неверно.
22. 1971 = З3 -43; 1972 = 4-17 29;
1973 — простое.
23. а) если am делится на п и
НОД (т,п)= 1,то a— kn, поэтому b = km.
б) пусть в разложении х на простые мно-
жители некоторое простое р входит в степени
а, а в разложении у — то же р в степени Ь.
Тогда из теоремы о единственности разло-
жения на простые множители am = bn и
из задачи а) следует, что а = kn, b = km.
В разложение t на простые множители вклю-
чим р с показателем k, и так — для всех про-
стых множителей чисел х и у.

К «Вариантам вступительных экзаменов»
МОСКОВСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА
Физический факультет

Указание. Выразить cos 2x через tg x.
_ ‘»/’ О 1 \f «J ч
3. а = 12 км/ч. Указание. Надо
определить, при каком значении а выражение
ВС/3 2SC/3
.о -\- jo—.Г» принимает наименьшее зна-
чение (расстояние ВС — фиксированная
величина).
а
4. -?-. Указание. Пусть прямая
AM пересекает сферу в точках Р и Q, причем
на отрезке AM точки расположены в таком
порядке: А, Р, Q, М. По теореме о касатель-
ной и секущей получить равенство AQ-AP =
а
= -TJ-. Доказать, далее, что вписанная сфера
касается грани DSC в точке М, и потому точ-
ка Q совпадает с точкой М. После этого
74
непосредственным вычислением показать, что
AQ^ а.
5. й «]/Ъ. У к а з а н и с. Убедиться, что
Д MQ?oo Д PNE, причем ЕМ и ЕР — сход-
ственные стороны.
1. 3.
Факультет психологии
2. Точка Р должна совпадать либо с
вершиной С, либо с вершиной С,.
3
4. 11 деталей вида А, 9 деталей вида В.
5. а— I.
МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО
ТРАНСПОРТА
Специальности: промышленное
н гражданское строительство и др.
1. За 30 дней.
2. *! О, Хо = —2, х3.= —1±
3. г _^см.
4
Специальности:
автоматика, телемеханика и связь и др.
1. Первый —за 6 ч, второй — за 8 ч.
2. х = 2, у= -у.
3. 9,6гл см2.
1 2
4. х = ( — ly-rparcsin-jp
л л
п = 0, ± I, ± 2. . . .
Специальности:
прикладная математика и др.
1. 0<а<68.
2. х = — 1, у .-=-_ 1 + -j- Bл J- 1),
п — 0, ± 1. ±2, . . .
3. d3 sin a sin p Vcos (а -f- P) cos (а — р).
jtj = -у arctg 5-f ~П~ Bfe -г 1).
где п к k — любые целые числа.
УРАЛЬСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Матсматико-мсханический факультет
±V^ 2 . Указание. Подставить число
1 + ~V ‘* в данное уравнение и доказать,
что должны одновременно выполняться
равенства За + b +9 = 0, 2а + Ь + 5 = 0.

74 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.

треугольника ОАВъ (рис. 1). На продолжении
отрезка ОС за точку С возьмем точку D так.
Рис. 1.
что ОС = CD; тогда OBXDA — параллело-
грамм. Поскольку О А — ОАг, AD — ОВХ —
— ОВ н -$OAD — *$AiOB (как углы с соот-
ветственно перпендикулярными сторонами),
тэ AAOD — ААгОВ. Далее. АОРА •=
= AOQH,, а .<МРО = S0° (ибо AD|| Ofllf
а 0Й|Х05); поэтому ОСхА^В. Аналогично
доказывается и второе утяерждсние задачи
3. х1 = 3, th = B* + 1) л, где * = О,
— 1, —2, . . ., О < х2 < 1, у3 — любое пе-
ществсннос число. Указание. Пусть
z — 1о?3 х; тогда предложенное неравенство
записывается в
(I)
1
-f »^ — 2ccsy.
Но «при любом г > 0 имеем г + —
2.
потому неравенство A) может быть спра-
ведливым только для тех у, для которых 2 ^
=^— 2cos«/, то есть при cosy = —1. Да-
лее, из A) получаем 2=1. Если же г < О,
то г + — ^ — 2, а —2^— 2cosу при
любом у, то есть неравенство (I) справед-
ливо при всех г < 0.
4. Решение существует, если Ь < —1,
я а — любое действительное число, или если
—1, а
кл — arcsin A + cf ^
-f- arcsin А + ф. k = 0, = 1, =?2, . .., B)
где Лиф определяются равенствами
А ~ -./-¦>. ^. . -g — ()
Указан н е. Так кйк хф —^- Bfe -\- \),
уф ~y Bk -f-1), то исходная система эквива-
лентна следующей (проверьте!):
jx-f y = a.
J
( «; fb—Г) cos(x —у
Спедоватслыю, исходная система имеет ре-
шение тогда н только тогда, когда
(Ь ~ 1) cos (х — у) = 2 sin а — (b + I) cos a. D)
Если Ьф\, то из D) получаем, что параметры
& должны удовлетворять условию
2 sing — (b -r I) cos а
а и
b — 1
.1.
Вводя ф и А по формулам C), это условие
представим в виде Isin (а — ф)| ^ А. Та-
ким образом, либо А > 1 (то есть Ь < —1)
к а — любое действительное число, либо
А ^ I (то есть b5s —1. Ь Ф I), а для а по-
лучаются неравенства B). В случае Ь= 1
соотношение D) исследуется непосредственно.
I.
Физический факультет
ч —«
Указание. За-
метьте, что если v — средняя скорость на
перегоне АХА2 после отправления, го иа
перегоне АпАг. завершающем первый круг,
средняя скорость равна vqn~l, а на пере-
гоне АхАг. открыпающем второй круг, она
равна vq».
2. г- coseccc sin P sin 2 (а + Р) cos (а +
+ Р). Указание. Рассмотреть отдельно
случаи, когда -$ODB>^}MDB и <$ODB <
<«-s MDB. где О — центр круга.
3. х> 2.
4″ 12 ^аг^ 2 ‘
х = ( — 1)» arcsin
fc = 0, +1. ±2, . . .
московский
инжрнерно-физический институт
Вариант I
I. 23. Решение. Искомое число за-
пишем в виде Юл- + у, где хну — целые
числа, причем 1^:х^9, О^у^.9. Так
как по условию при делении двузначного чис-
ла на ху получили остаток, равный 5, то хуфО;
следовательно, 1 ^ у ^ 9. Из условия за-

75 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.

Решая ее, находим: *i = 2, yv — 3;
xs — —, у2 = ®- Второе решение не удов-
летворяет условию задачи.
2аЬ
2. —~, г-. Решение. По условию
(см. рис. 2) МN |[ AD || ВС; положим AD — а,
ВС == &. Согласно лемме о подобии треуголь-
ников AOCN<^>AACD, AMBOts>AABD.
а
Рис. 2.
Из теоремы об отношении высот подобных
треугольников следует
Л, МО hx ОЛ/
Лд -f Л2 = ЛО ‘ Л4 -р Л2 » ЛО ‘
Отсюда получаем ON = ОМ. О1едовательно,
MN = 2СШ, а потому

ДМ = 2а
A)
В треугольниках ОВС и О?М углы ВОС
и ДОЛ равны как вертикальные. *?ОВС =-
— ^ODA, *$ВСО= *$OAD как внутренние
накрестлежащне при параллельных прямых;
поэтому ?\А0Оьъ&С0В. Из теоремы об
отношении высот подобных треугольников
следует
Л, ~ b ¦ Ki)
Из A) и B) получаем ответ.
841
3. 0^Гх<тт7. Решение. ОДЗ:
0. Неравенство можно представить в виде
У~х~ -г УхТ? + 2 У7
+ 7) -Ь
откуда
— 7
A)
Поскольку У~х~ + У* ¦+¦ 7 >0. для всех
х^; 0, то при х^О неравенство A) экви-
валентно неравенству
B)
Обе части этого неравенства положительны,
поэтому после возведенияобеих частей этого не-
76
равенства в квадрат получим неравенство
2х, C)
эквивалентное неравенству B). Так как левая
часть этого неравенства неотрицательна, то
ясно, что ему могут удовлетворять лишь
29
х<С~~2~, входящие в ОДЗ, то есть
O<
Для таких значений х обе части неравенства
C) не отрицательны. Поэтому после возведе-
ния обеих частей C) в квадрат приходим к
эквивалентному рациональному неравенству,
841
из которого находим: 0^x<j^.
4. Решение. ОДЗ уравнения: х^ 4.
Равенство cos л Ух — 4 cos я У»х = 1
может иметь место лишь в двух случаях:
1°.
^ .
jcos л Ух — 4 = 1.
[cos л У х = = 1;
cos л Ух — 4 — — 1,
cos л У х ~ — 1.
Решим первую систему. Из первого урав-
нения этой системы следует
= 0, 1,2..
откуда
4(*г + 1), k= 0, 1,2, — . .
Из второго уравнения находим
я.у!с~ ~.2пп; л=-0, I, 2, . . .
откуда
хг = 4л’, п = 0, 1, 2„ . .
Нужно найти значения х, = х2, то есть те
значения х, которые удовлетворяют обоим
уравнениям системы 1°. Приходим к уравне-
нию к2 + I ~ пг, или
{n — k) {п + k)= |.
где л, А: — целые неотрицательные числа.
Число n -f ft не может бить отрицательным,
оно не может быть и нулем; поэтому
п — k > 0, то есть л + А и л — ft —’ нату-
ральные числа. А так как их произведение
равно 1, то
(п + ft = I,
\п — ft — 1.
Отсюда л = 1, ft — 0; следовательно, х = 4.
Аналогично рассматриваем вторую систе-
му и убеждаемся,что она не имеет решений.
Вариант 2
I. 3535. Решение. Пусть N — число
марок I) коллекции, из которых т седьмых
содержится во втором альбоме. Согласно ус-
2Л/ тМ п п ¦
ловию задачи цр + -у- ¦+- 303 =^ Лг,

76 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.

имеют вид:
в точке А
в точке В
‘8
mo-R •¦= mg + TA,
(I)
ma-R = TB — mg, B)
где to — 2лл — угловая скорость вращения,
п — число оборотов в секунду. Из этих
равенств находим
-lj к -2,7 «;
ке А. При
штанга была
Так как Тд<0, то в действительности
штанга сжата, когда тело_находится в точ-
2К 1 -к»
бы растянута и в точке Л.
3. При вращении проводника ОС в нем
возникает э. д. с. индукции (рис. 2)
Дф
At
где Q>=BS = B-y —
магнитный поток
через контур АОС, S — площадь заштрихо-
ванного сектора.
ДФ Вгг Дф Вгг
Сопротивление контура складывается из
сопротивлений двух прямолинейных уча-
78
Рис. 2.
стков и дуги окружности:
R — (ф + 2) ф.
Ток в контуре в момент, когда <f =¦ л,
равен
1,5-Ю-2 я.
По правилу Леица легко определить
также направление индукционного тока.
4. При установившемся движении уско-
рение сосуда н жидкости в нем равно а ~
g sin 0. Поверхность жидкости в движу-
щемся сосуде параллельна наклонной плоско-
сти. Определим ход луча в сосуде (рис. 3).
‘/////УХ/
Рис. 3.
На основании закона преломления света
n sin 0 = sin <р получаем <р = 60° и <р — 6 =
* 30°. Проведем луч ОН параллельно лу-
чу АВ. Лучи ОН и ВН собираются в одной
точке фокальной плоскости. Смещение HF
луча АВ равно /-tg(<p — 0) = 5,8 см.
К статье «Решение задач по »лектростатике»
1. Напряженность поля перпендику-
лярна эквипотенциальной поверхности и

77 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.

направлена к сторону убывания потенциала,
то есть вверх.
2. Энергия заряженного шара Я =
с<Р2 R ор2
г= -п- = -я— (С — емкость, R — радиус
шара). При разряде эта энергия выделяется
в виде тепла. Выражая энергию в калориях,
получим: Я =* 0,13 кал.
‘3. При увеличении радиуса оболочки
на малую величину Д* электростатические
силы совершают работу &А — 4дЯ3/Дл:, где
/ — сила, приходящаяся на единицу площади.
Работа совершается за счет убыли электро-
статической энергии:
9L
2R
Q2
2{R + Ах) ‘^ 2R (R 4- Да.) ‘
Согласно закону сохранения энергии:
Q2Ax
4nR2fAx =^ ,)R .^ , &х ¦. Учитывая, что
= 2до2, где о =
— поверхностная плотность заряда.
q
4. Потенциал капельки Ф1 = ~, где q —
заряд, а г — радиус капельки. Потенциал
Xq .\'(fv
большой капли ф — —^- s= —п—. Очевид-
s= —п
но. что
4 jx
—я—
4 *х
4 х
= —^- /?3. Счедователь\ю.
R «Ч~
5. А.=
К статье «Закон Ома для неоднородного
участка цепи»
1. 0. Результат не зависит от числа
элементов в батарее.
2. 0.
3. Потенциалы диаметрально противо-
положных точек кольца (см. рис. 1) не равны.
%
В.
СА
Рис. 2.
Соотношение между ними определяется со-
отношением между R и г и направлением
возникающей в кольце э. д. с. индукции.
В том случае, когда фА> цв, график распре-
деления потенциала вдоль кольца имеет
внд, показанный на рисунке 2 (/0—длина
окружности кольца).
К «Задачам на осешую симметрию»
(см. стр. 69)
1. 100°.
2. Отразите квадрат относительно сто-
роны АВ и используйте точки его пересече-
ния с окружностью.
5. Рассмотрите следующий рисунок, на
котором изображена последовательность от-
ражений шара в бортах биллиардч.
В
6. Нет. Рассмотрите вертикальную (на
рисунке в тексте) составляющую вектора
скорости шарика.
7. Сравните движение шарика внутри
куба с движением горизонтально брошенного
тела.
a) v 1ы 10,4 м/сек;

78 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.

К замети «Кяант» для младших школьнике*
(см. «Квант* Л» 5, /972 г.)
1. Искомым геометрическим местом точек
является дуга «внутренней окружности» об-
руча от «северного полюса> до точки, диамет-
рально противоположной той точке на стен-
ке, куда вбит гвоздь.
2. Сначала определим, какой из значков
соответствует знаку—. Этот знак встречается
по одному разу в каждой строчке, при этом
он не может стоять ни в начале, ни в конце
строки. Отсюда легко определить, что это II.
Сравнивая число значков слева и справа
от него, легко определить, что знаку + со-
ответствует значок О, а знаку — соответст-
вует значок <.
Подставив найденные значки, получим:
>iG=vee-D d u
VAG+>V=DUDA
елие=еоvv+e
d ui i->v=veo
Очевидно, что Q это 1, a V — 9. далее
легко находятся цифры, соответствующие
остальным значкам: Л—2, 0—3, (—4,
0-5,] -6. Q-7. >-8.
3. См. рисунок.

78 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.

Скачать Квант (все выпуски).
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ Школьный КРЖОК

, ,

Статистика


Яндекс.Метрика