Home » Квант » Пирамида и сфера

Пирамида и сфера

Пирамида и сфера. Ю. В. Сидоров

Скачать Квант (все номера)
Квант №2 1972

Скачать  сборники журнала «Квант» в хорошем качестве.

Если хотите быстро ознакомится с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно)/ Если статья Вас заинтересовала, можете скачать оригинал по ссылкам выше :

На приемных экзаменах в институ-
тах часто встречаются задачи, в кото-
рых речь идет о некотором располо-
жении сферы (или нескольких сфер)
относительно пирамиды. Решения та-
ких задач основаны, по существу, на
следующих трех фактах:


трех фактах:
1) если плоскость (или прямая) ка-
сается сферы, то расстояние от цент-
ра сферы до этой плоскости (или пря-
мой) равно радиусу сферы;
2) если сфера касается двух пере-
секающихся плоскостей, то центр сфе-
ры лежит в биссекторной плоскости
двугранного угла, образованного этими
плоскостями;
3) если пирамида описана вокруг
сферы, то
V-J-rS, A)
где г — радиус сферы, V и S — объем
и полная поверхность пирамиды.
Эти факты известны каждому аби-
туриенту из школьного курса матема-
тики. Но в математике мало просто
знать формулировки теорем — важно
понимать эти теоремы и уметь приме-
нять их для решения задач.
Как правило, задачи, предлагае-
мые на вступительных экзаменах, фор-
мулируются просто, и большинство
абитуриентов достаточно быстро на-
ходят какой-нибудь путь к решению.
Но часто выбранный способ оказы-
вается очень сложным и громоздким,
требует длинных выкладок. Таким
60
«формально-вычислительным» мето-
дом иногда очень трудно получить
окончательный результат. Для каж-
дой задачи нужно постараться найти
как можно более короткое и «изящное»
решение.
Иногда и на устном экзамене аби-
туриенту предлагают не решить за-
дачу, а лишь указать путь решения,
проверяя тем самым, насколько аби-
туриент ориентируется в данном раз-
деле теории.
В этой статье мы и рассмотрим за-
дачи, в которых использование не-
сложных геометрических соображений
помогает найти простое и красивое
решение.
Задача 1 (МФТИ, 1966). Внут-
ри правильного тетраэдра с ребром а
расположены четыре равные сферы
так, что каждая сфера касается трех
других сфер и трех граней тетраэдра.
Найти радиус этих сфер.
Решение. Пусть ABCD —
данный тетраэдр, О — центр вписан-
ной в него сферы, г — радиус этой
сферы; М, N, К, L — центры данных
сфер, их радиус мы обозначим через х.
Тетраэдр MNKL — правильный,
так как каждое его ребро равно 2х.
Грани тетраэдра MNKL параллельны
граням тетраэдра ABCD (докажите!),
а точка О удалена от каждой грани
тетраэдра MNKL на расстояние г—х.
Следовательно, точка О является цент-
ром сферы, вписанной в тетраэдр

60 Пирамида и сфера.

MNKL, и радиус этой сферы равен
Г—X.
Используя выражения для объема
и полной поверхности правильного
тетраэдра через его ребро, по формуле
A) находим
Г»= ° Г — X ~= —
21/6′ 1/G’
г У6 а
х —
+ 1/6 2A + 1/6)
3 а д а ч а 2 (МФТИ, 1965). Ребро
правильного тетраэдра A BCD равно
а. Найти радиус сферы, вписанной в
трехгранный угол, образованный гра-
нями тетраэдра с вершиной в точке А,
и касающейся плоскости, проведенной
через середины ребер АВ, AD и ВС.
Решение. Заметим, что иско-
мый радиус г равен радиусу любой сфе-
ры, касающейся граней ABC, ACD и
данной секущей плоскости (рис. 1). по-
тому что ‘DH = НС, AC\\EF]\ GH,
и надо лишь вписать сферу в призму,
а затем пододвинуть ее к плоскости
ABD. Расположим центр одной из
таких сфер в плоскости, проходящей
через ребро BD и перпендикулярной
к ребру АС. Радиус этой сферы равен
радиусу окружности, вписанной в
треугольник MNK, у которого
я Т/3
4
Используя выражение для радиуса
вписанной в треугольник окружности
через его площадь и полупериметр, на-
ходим
г__ Юдм-ук _ д(Уз-1)
» /(.V + 2/VbV 4 Т/5
Задача 3 (МФТИ, 1963). Сто-
рона основания правильной треуголь-
ной пирамиды равна а, боковое ребро
пирамиды равно Ь. Найти радиус сфе-
ры, касающейся всех ребер пирамиды.
Р с ш е и II е. Пусть SK — высота
данной пирамиды (рис. 2), О — центр
сферы, OM\_BS, ОМ —= 0D « г.
Заметим, что ВМ — BD — ~, как
две касательные к сфере, проведен-
ные из точки В. Из подобия тре-
угольников SOM и SBK находим
а B6 — а)
1 — о2 ‘
3 а д а ч a 4 (МФТИ, 1965). В
данную правильную усеченную тре-
угольную пирамиду с боковым ребром Ь
можно поместить сферу, касающуюся
всех граней, и саперу, касающуюся всех
ребер. Найти стороны оснований пи-
рамиды.

61 Пирамида и сфера.

3.
Решение. Пусть Р и Рх —
центры оснований данной усеченной
пирамиды, DDX — Qa апофема (рис. 3).
Обозначим стороны оснований через
х и у. Из трапеиии AAYDXD находим
T = /;24(*</)8
Сфера, вписанная в пирамиду,
касается оснований пирамиды в точ-
ках Р, Pi и касается апофемы
DDX (докажите!). О1едовательно,
B)
откуда
В сечении сферы, касающейся всех
ребер пирамиды, гранью ВВУСУС по-
лучается окружность, вписанная в тра-
пецию ВВ^СуС. Значит, ВС+ ВгСу =
x-fy=26. C)
Решая систему уравнений B) и
ф), находим
— /4-)-
Задача 5 (МФТИ, 1968).
Центр сферы, описанной около пра-
вильной четырехугольной пирамиды,
62
Рис. 4.
находится на расстоянии а от боковой
грани и на расстоянии b от бокового
ребра. Найти радиус сферы.
Р е ш е н и е. Пусть О — центр
сферы, описанной окаю пирамиды
SABCD (рис. 4), OS =*= О А = R —
радиус этой сферы, SK — высота пи-
рамиды. Проведем SL_\_BC, 0M±_
_SL, ON±A S. По условию задачи
ОМ = a, OiV -¦¦ b (докажите \).
Так как aSOM<s>aSKL и
то
Отсюда накодим
Ь а~\/2
—Ь* У Я* —в*
3 а д а ч а 6 (МФТИ, 1971). В
правильной треугольной пирамиде
ABCD сторона основания ABC равна
Ь, а высота пирамиды равна b \ 2~
Сфера, вписанная в пирамиду\ касает-
ся грани ACD в точке К- Найти пло-
щадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через точку К и ребро АВ.
Решение. Пусть DO — высота
пирамиды (рис. 5). Точка К лежит на

62

высоте DL треугольника ACD (дока-
жите!). Сечением пирамиды данной
плоскостью является равнобедренный
треугольник АВМ (докажите!). Най-
дем* его боковую сторону AM.
Обоз н ач и м 2^ С А М через а. *% А СМ
через р. Заметим, что LK = L0 =-¦—?=
как две касательные к вписанной в пи-
рамиду сфере, проведенные из точки L
(докажите!). Значит,
я
Из прямоугольного треугольника
ОДЬ находим
DL v OD2 + 01? т.
ъь
__
2 Уз’
Следовательно,
Теперь из треугольника АСМ по
теореме синусов получаем
b sin 6
sin (a +1
56
sin a ctg f, -{- cos a
Наконец, находим площадь равно-
бедренного треугольника АВМ:
о 1
АВ к
/
х у АМ%-
3 а д а ч а 7 (МФТИ. 1971). Ребро
правильного тетраэдра A BCD равно а.
На ребрах А В и CD расположены соот-
ветственно точки Е и F. Прямая EF
пересекает описанную около тетра-
эдра сферу а точках М и Л’ так, что
ME : EF : FN — — 3 : 12 : 4. Найти
длину EF.
Р е ш е н и е. Обозначим EF че-
рез х, FC через у, BE через г (рис. 6).
Найдем соотношение между дг, у, z и а.
Из точки F опустим перпендику-
ляр FL на плоскость треугольника
ABC Так как тетраэдр правильный,
то точка t лежит на высоте СК тре-
угольника ABC.
Из прямоугольного треугольника
CFI., учитывая, что Л KCD
=»jrccps Таг (проверьте!), находим
Уз
Так как KL^KC—CL-
?=|-| г, то из пря-
моугольного треугольника KLE полу-

63 Пирамида и сфера.

+ 2г — ау — аг.
Теперь из прямоугольного тре-
угольника EFL находям ?F2=FL2-V-
-\-ELs, то есть
хг= fis _ у(а — у)-. г(а — г). D)
Последнее соотношение само по
себе достаточно интересно и может
быть использовано при решении дру-
гих задач.
Рассмотрим плоскость, проходя-
щую через прямые EF и CD. Эта пло-
скость пересекает описанную около
тетраэдра сферу по окружности, ко-
торая указана на рисунке 6. Для этой
окружности отрезки MN и CD явля-
ются хордами, пересекающимися в
точке F. Следовательно,
= CFDF= MF-NF
(докажите!), то есть
E)
Аналогично, из равенства
АЕ ¦ BE = ME ¦ NE
получаем
F)
Ил соотношений D), E) и (б) на-
ходим
х2 = а- —— jc2 — xs к = -^~
» 12Л 3 • л/Т’

Упражнения

1. {МФТИ. 1966). Ребро правильного
тетраэдра A BCD равно м. На ребре /1В
как на диаметре построена сфера. Найти
радиус сферы, вписанной в трехгранный
угол тетраэдра с вершиной в точке А и каса-
ющейся построенной сферы.
2. (МФТИ, 1966). Внутри правильного
тетраэдра A BCD расположены д»е сферы
радиусов 2/? и 3/?. касающиеся друг друга
внешним образом, причем одна сфера впи-
сана о трехгранный угол тетраэдра с верши-
ной в точке А. а другая — в трехгранный
угол с вершиной в точке В. Найти длину реб-
ра этого тетраэдра.
3. (.МФТИ, 1967). В правильной тре-
угольной пирамиде SA ВС сторона основания
равна а, высота пирамиды равна а )’3.
Точки Mr. Л’ и К являются серединами соот-
ветственно боковых ребер AS, BS и CS.
Найти радиус сферы, касающейся основания
ннуамиды и прямых АК, С Л’ и ВМ.
4. (МФТИ, 1968). В правильной шести-
уголнюй пирамиде впиганная сферя прохо-
дит череп центр описанной. Во сколько раз
радиус описанной сферы больше радиуса
вписанной?
5. (.МФТИ, 1968). Центр шара, вписанного
в правильную иетырехугольную пирамиду,
находится на расстоянии ^2 см от боко-
вого ребра и па расстоянии | 5 см от сто-
роны основания. Найти радиус шара.
6. (.МФТИ. 1969). Ребро правильного
тетраэдра A BCD равно о. Найти радиус
сферы, проходящей черел вершины А. В,
середину ребра CD и центр грани ABC.
7. (МФТИ, 1971). В правильной четы-
рехугольной пирамиде SABCD сторона ос-
нования A BCD ргъм Ь, а высота пирами-
ды равна Ъ | 2. Сферя, пписанная в эту
пирамиду, касается Соковой грани SAD
в точке К, Найти площадь сечения пирамиды
плоскостью, проходящей через точку К
и ребро АВ.

64 Пирамида и сфера.

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ.
Физика для поступающих в вуз.

Статистика


Яндекс.Метрика