ПЛОЩАДИ многоугольников
Здесь собраны некоторые задачи,
связанные с понятием площади мно-
гоугольника. Мы дадим аксиомати-
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
ческое определение площади много-
угольника, перечислив те её свой-
ства, которые нам нужны.
А1. Площадь многоугольника —
положительное число.
А2. Площади равных (конгруэнт-
ных) многоугольников равны.
A3. Если многоугольник разре-
зан на несколько частей, то его пло-
щадь равна сумме площадей этих
частей.
А4. Площадь треугольника рав-
на половине произведения его осно-
вания на высоту. (Единицу масшта-
ба мы считаем заданной; легко пока-
зать, что это произведение не зави-
сит от того, какую именно сторону
и соответствующую ей высоту мы
возьмем.)
Буква А выбрана потому, что с нее
начинается слово «Аксиома». Из этих
четырех свойств-аксиом можно выве-
сти все теоремы о площадях много-
угольников, которые вы изучаете в
школе.
Значительно труднее доказать, что,
действительно, можно сопоставить каждому
многоугольнику М на плоскости положитель-
ное число S (М), его площадь, так, чтобы
36
выполнялись свойства AI—А4. Это верно,
но в школьном курсе обычно не доказывается
и считается очевидным. Вместо А4 можно
считать основным такое свойство, из которого
выводится А4:
А4′. Площадь квадрата со стороной J
равна 1.
Например:
а) площадь параллелограмма рав-
на произведению его основания на вы-
соту;
б) площадь трапеции равна про-
изведению полусуммы оснований на
высоту.
Подумайте, как доказать эти ут-
верждения (то есть вывести из акси-
ом А1 — А4).
Мы начнем с того, что докажем
другую формулу для площади тра-
пеции.
1. Площадь трапеции равна про-
изведению одной из боковых сторон
на перпендикуляр, опущенный на нее
из середины другой боковой стороны.
Доказательство. Пусть
ABCD — данная трапеция (AD -‘, ВС),
К — середина стороны CD, КИ —
перпендикуляр, опущенный из точ-
ки К на прямую АВ. Проведем через
точку К прямую, параллельную пря-
мой АВ. Пусть М и Р — точки ее
36 ПЛОЩАДИ многоугольников.
пересечения с прямыми ВС и AD
(рис. 1).
Параллелограмм АВМР равнове-
лик данной трапеции, так как пя-
тиугольник ЛВСКР является для
них общим, а треугольник СМК ра-
вен треугольнику KPD, то есть тра-
пеция и параллелограмм составлены
из одинаковых частей. Поскольку
площадь параллелограмма равна про-
изведению его основания АВ на высо-
ту КН, утверждение доказано.
Последний абзац решения можно более
формально записать так:
= S
АВСКР
^ SADCKP + SKPD <по построению).
— ACM К (по стороне и двум приле-
жащим углам),
поэтому
следовательно,
Saucd —
Теперь предлагаем вам решить
следующие ниже задачи. Они распо-
ложены в основном в таком порядке,
что решение предыдущих задач по-
могает решить последующие. Неко-
торые из этих задач сопровождают-
ся указаниями или даже решениями
(как задача 1, которую мы разобра-
ли выше). Впрочем, не обязательно
в точности следовать этим указани-
ям: задачи могут допускать и дру-
гие решения, ничуть не хуже тех,
которые мы имели в виду. Звездоч-
кой отмечены наиболее трудные за-
дачи.
2. В трапеции ABCD (ВС jj AD)
точка К (середина А В) соединена с
вершинами С и D. Найдите отноше-
ние площади треугольника KCD к пло-
щади трапеции.
3. Через точку, езятую на диаго-
нали АС параллелограмма A BCD,
проведены прямые, параллельные его
сторонам. Данный параллелограмм
делится ими на четыре параллелог-
рамма. Два из них пересекаются диа-
гональю АС. Докажите, что два дру-
гие равновелики.
Указание. Воспользуйтесь тем,
что диагональ делит параллелограмм на два
равных треугольника.
4. Через каждую вершину выпук-
лого четырехугольника проведена
прямая, параллельная его диагонали
(рис. 2). Докажите, что полученный
параллелограмм по площади вдвое боль-
ше четырехугольника.
5. Докажите, что если у двух
выпуклых четырехугольников диагона-
ли соответственно равны и пересе-
каются под равными углами, то че-
тырехугольники равновелики.
6. В параллелограмме A BCD про-
ведены четыре отрезка: вершина В
соединена с серединой стороны DC,
вершина А — с серединой стороны
ВС, вершина D — с серединой сторо-
ны АВ и вершина С — с серединой
стороны AD. Докажите, что четы-
рехугольник, образуемый этими че-
тырьмя отрезками — параллелограмм,
и что его площадь в пять раз меньше
площади параллелограмма A BCD
(рис. 3).
37 ПЛОЩАДИ многоугольников.
}»иков, у которых или одинаковые ос-
нования, или одинаковые высоты, или
одинаковые углы. Постарайтесь най-
ти самый простой и красивый пугь
решения!
9. О — точка пересечения отрез-
ков АС и BD (рис. 8). Для того что-
бы площади треугольников АОВ и
DOC были равны, необходимо и доста-
точно, чтобы прямые ВС и AD были
параллельны. Докажите1.
Чтобы решить эту задачу, нужно дока-
зать два утверждения: A) если площади
треугольников АОВ и DOC равны, то пря-
мые ВС и AD параллельны; B) если
прямые ВС и AD параллельны, то площади
треугольников АОВ и DOC равны.
10. Докажите, что выпуклый че-
тырехугольник является параллелог-
раммом тогда и только тогда, ког-
да каждая из его диагоналей делит его
площадь пополам.
И здесь, как в предыдущей задаче, пужго
доказать две теоремы: прямую и обратную.
П. В треугольнике ABC прямая,
проходящая через вершину А и деля-
щая медиану ВМ в отношении 1 : 2,
считая от вершины, пересекает сторо-
ну ВС в точке К- Найдите отноше-
ние площадей треугольников АВК
и ABC.
У Казани е. Проведите через точку
М прямую, параллельную ИЛ’, и найдите
с ее помощью отношение отрезков ВК к ВС.
12. На продолжении стороны ВС
выпуклого четырехугольника ABCD
найдите такую точку О, чтобы пло-
щадь четырехугольника A BCD рав-
нялась площади треугольника А ВО-
У к а % а н и е. Проведите черев точку
D прямую, параллельную диагонали АС
Всегда ли задача 12 имеет решение? Всегда
ли оно единственно?
Эта задача позволяет превратить любой
выпуклый многоугольник в равновеликий
с меньшим числом сторон.
13. Через середину высоты равно-
бедренного треугольника проведены
две прямые, соединяющие ее с верши-
нами основания (рис. 9). Какую часть
площади треугольника составляет
каждая из частей, на которые эти
две прямые разрезают треугольник?
14. Данш треугольник ЛВС. Про-
должим его- сторону А В за вершину
В отрезком ВР=АВ, сторону АС —
за вершину А отрезком ЛМ—СА,
сторону ВС — за вершину С отрез-
ком КС—ВС. Во сколько раз площадь
треугольника РКМ больше площади
треугольника А ВС?
Указание. Соедините, точки М
и В, Р и С, А и К.
15. Сформулируйте аналогичную
задачу для четырехугольника и реши-
те ее. Выведите из нее результат
задачи 6.
16. На сторонах выпуклого четы-
рехугольника A BCD езяты точки М,
Р, К, И так, что AM : МВ=3 : 5:
ВР : РС=1 : 3; СК : KD=—4 : 5;
DH : НА = 1 : 8. Найдите отноше-
ние площади шестиугольника
MBPKDH к площади четырехуголь-
ника ABCD. Подумайте, при любых
ли отношениях AM к MB, ВР к PC
и так далее можно решить эту за-
дачу?
Указание. Проведите диагональ и
воспользуйтесь A3.
17. В выпуклом четырехугольни-
ке соединены середины соседних сто-
38 ПЛОЩАДИ многоугольников.
рон. Какой четырехугольник образу-
ют проведенные отрезки? Найдите
отношение площади этого четырех-
угольника к площади исходного.
Указание. Проведите диагонали дан-
ного четырехугольника и воспользуйтесь
свойством средней линии треугольника*
18. Докажите, что если два вы-
пуклых четырехугольника располо-
жены так, что середины их сторон
совпадают (рис. 10), то их площади
равны.
19. Прямая, параллельная диаго-
нали АС четырехугольника A BCD
и проходящая через середину его диа-
гонали, BD, пересекает сторону AD
в точке Е. Докажите, что прямая
СЕ делит площадь четырехугольника
A BCD пополам.
Указ а и » е. Проведите медианы в
треугольниках BCD и BAD из вершин С и А
•соответственно.
20. Через середину каждой диаго-
нали выпуклого четырехугольника про-
ведена прямая, параллельная другой
его диагонали. Точка О пересечения этих
прямых соединена отрезками с сере-
динами сторон четырехугольника.
Докажите, что эти четыре отрезка
делят площадь четырехугольника на
четыре равные часты.
Указание. Сделайте крупный чер-
теж. Обозначьте на нем середины сторон АБ,
ВС, CD и DA соответственно через М, Т,
Р, К, а середину диагонали АС через Н.
Чтобы доказать, что площадь одного из че-
тырех полученных кусков (например, МОКА)
ргвни У4 площади всего четырехугольник;],
заметьте, что четырехугольники МОКА и
МНКА равновелики.
21 *. Две прямые делят каждую
из двух противоположных сторон еы-
пуклого четырехугольника на три
равные части (рис. 11.).. Докажите^
что между этими прямыми заключе-
на Уз площади четырехугольника.
22 *. Пусть К и L — середины
сторон А В и CD выпуклого четырех-
угольника A BCD, отрезки DK и AL
пересекаются в точке Р, а отрезки
СК и BL — в точке Q. Тогда сум-
ма площадей треугольников APD и
BQC равна площади четырехуголь-
ника PKQL (рис. 12).
До сих пор мы имели дело с за-
дачами, в которых требовалось дока-
зать равенство площадей или найти
отношение площадей. Теперь — не-
сколько задач, при решении которых
удобно пользоваться неравенствами
между площадями.
23. Внутри треугольника ABC
лежит точка М. Докажите, что пло-
щади треугольников АВМ и СВМ
равны тогда и только тогда, когда
точка М находится на медиане ВК
(рис. 13).
Решение. Если точка М на-
ходится на медиане, то 5ЛЛг?к =
=* S’*CBK, S-ЛМК = S.C.4K К ПОТО-
МУ Залллг » S^enx- В одну сторону
утверждение задачи доказано. Оста-
лось доказать обратное: если
S&abm = $лет> то точка М лежит
на медиане ВК. Предположим, что
М не лежит на ВК. Тогда один из
отрезков МА или МС пересекает В К.
Пусть это будет МС (если медиану
пересекает МА, то рассуждение ана-
логично), и Л’ — точка пересечения
МС и ВК. Тогда S ЛДЛГ < SCAliS,
поскольку треугольник АВМ лежит
внутри треугольника ABN, и
S.¦свм> S&cnxi нескольку тре-
угольник CBN лежит внутри тре-
39 ПЛОЩАДИ многоугольников.
угольника СВМ. Но
5л-, — ведь точка N
С
S*ABN =
‘AAB-V
лежит на
медиане. Следовательно, SABM<
<С5лс/?л/. А мы предположили, что
siabm — S.:.cb.v- Получили проти-
воречие. Задача полностью решена.
Подумайте, как с ее помощью
решить следующую задачу, перекли-
кающуюся с задачей 20.
24.* Докажите, что если внутри
четырехугольника A BCD суицгству-
ет такая точка О что отрезки ОА,
ОВ, ОС, OD делят его на четыре
Рис. 14.
равновеликие части, то хотя бы од-
на из его диагоналей делит другую
диагональ пополам. Сформулируйте
и докажите обратную теорему.
25. На сторонах угла А езяты
точки В и С. Через середину К от-
резка ВС проведена прямая, пересе-
кающая стороны угла в точках D
и Е. Докажите, что площадь тре-
угольника ADE больше площади
треугольника ABC.
Решение этой задачи позволяет че-
рез данную точку внутри данного угла’ про-
вести прямую, отсекающую от угла треуголь-
ник наименьшей возможной площади. По-
думайте, как это сделать.
26. В данной трапеции A BCD
(ВС |, AD) проведена диагональ АС
(рис. 14). На какой высоте нужно
пересечь трапецию прямой, параллель-
ной основаниям, чтобы сумма площа-
дей треугольников AKL и LMC была
наименьшей (К, L и М — точки пере-
сечения прямой с отрезками АВ, АС
и CD соответственно)?
27 *. Противоположные стороны
выпуклого шестиугольника А ВС ДЕР
параллельны. Докажите, что пло-
щадь треугольника АСЕ составляет
не менее половины площади шести-
угольника.
СИМПОЗИУМЫ ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ
Идея слета учащихся специализирован-
ных физико-математических школ разных
городов зародилась в школе .\» 40 г.
Горького. В марте 1971 года в дни весенних
школьных каникул по приглашению этой шко-
лы в Горький съехались представители мате-
матических школ Москвы, Риги, Ростова,
Волгограда, Кишинева, Алма-Аты, Тбилиси,
Костромы, Ленинграда и Киева.
На симпозиуме работали несколько сек-
ций, иа каждой из которых школьники
делали доклады. Работой секций руководили
ученые Горьковского государственного уни-
верситета.
Секцией математики руководил кандидат
физико-математических лаук доцент Д. А.
Гудков. На этой секции были заслушаны
доклады «Нестандартные суммы», «Модели-
рование, рефлексов», «Математика и линг-
вистика», «Вычисление площади тени», «Са-
мовоспроизводящиеся числа» и другие.
Доклады делали: Я- Шнейдерман A0 кл.
с. ш. 40, Горький), А. Кнафель (8 кл. с. ш. 40,
Горький), И. Потапкина A0 кл. с. ш. 40,
Горький), О. Малиновский (9 кл. с. ш. 13,
Рига), А. Борисенко A0 кл. с. ш. 145, Киев).
И. Раухеазер A0 кл. с. ш. 34. Кишинев).
М. Вишик A0 кл. с. ш. 444. Москва), В. Кап-
минский (8 кл. с. ш. 444, Москва) и другие.
Секцию физики возглавил кандидат фи-
зико-математических наук доцент М. С.- Ков-
аер. На этой секция были заслушены доклады
«Мирный атом — на службу иодообсспечеиия
человечества». «Об аналогиях в физике».
*О методе «мирной массы» и его применении
3 решении физических задач», «Получение
к исследование тонких кристаллических плс-
мок», «Свип-генератбр и осциллограф» и
другие.
Доклады делали: А. Мирухолова A0 кл.
с. ш. 42, Тбилиси), А. Езерский A0 кл.
с. ш. 40, Горький), Ю. Хандрус A0 кл.
с. ш. 145. Киев}, И. Молан A0 кл. с. ш. 34,
Кишинев), Н. Чайка A0 кл. с. ш. 42, Тбили-
си), М. Гериипейн A0 кл. с. ш. 40. Горький),
М. Гомаюнов A0 кл. с. ш. 239, Ленинград)
4 другие.
Работали также секции астрономии, хи-
мии и краеведения.
Во время работы симпозиума учащиеся
:че только читали и обсуждали доклады. Они
успели также познакомиться с работой шко-
лы № 40, с достопримечательностями города,
побывали в музеях, встречались с учеными.
(Продолжение см. на стр.. 53)
40 ПЛОЩАДИ многоугольников.
