ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА 1 1972
В 1972 году на страницах «Кванта» будет продолжена публикация ма-
териалов под рубрикой «Практикум абитуриента» , Поступающие в редак-
цию письма показывают, что этот раздел вызывает живой интерес у многих
читателей журнала. Мы благодарны всем, кто высказал нам свои замеча-
ния и предложения.
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ : страница
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1 1972)
Если хотите быстро ознакомится с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно):
Конечно, нет никакой возможности осветить все вопросы, входящие в
программу вступительных экзаменов по математике и физике. Да в этом и
нет необходимости — эти вопросы изучаются в школе и подробно рассмот-
рены в школьных учебниках. Поэтому редакция наметила лишь такие темы,
которые в том или ином виде наиболее часто используются при решении
конкурсных задач и вызывают затруднения у поступающих.
Мы предполагаем, например, рассказать о задачах на комбинации про-
странственных тел, о требованиях, предъявляемых к математическому оп-
ределению, о решении задач по стереометрии и разумном использовании
чертежа в геометрических задачах. По физике будут опубликованы статьи,
касающиеся таких вопросов, как закон сохранения импульса, решение за-
дач на тепловые процессы, законы тока и другие.
Рассмотрение теоретических вопросов в этих статьях сопровождается раз-
бором конкретных примеров, взятых, как правило, из вариантов вступитель-
ных экзаменационных работ. В конце каждой статьи будут помещены задачи
для самостоятельного решения, помогающие читателям проверить, насколь-
ко хорошо они усвоили прочитанное. Эти задачи, в основном, также берутся
из вариантов вступительных экзаменов последних лет. .
Учитывая многочисленные пожелания читателей, в порядке информации
мы будем продолжать помещать также варианты задач, предлагавшихся
на письменных экзаменах в различных вузах страны в 1971 году. Знакомство
с этими материалами позволит будущим абитуриентам конкретно предста-
вить себе, что такое письменный приемный экзамен, заранее попробовать
свои силы в решении набора задач за ограниченное время (обычно 4 часа).
Например, можно рекомендовать будущим абитуриентам устраивать себе
самостоятельно «экзамен», решая за 4 часа весь вариант и записывая его,
а затем самостоятельно (или с помощью товарища) проверять его. Такая
тренировка, максимально приближенная к условиям экзамена, оказывается
особенно результативной. Отметим только, что приступать к ней надо, до-
статочно хорошо изучив теоретические разделы.
45 ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
А. М. Григорьев
Общие сведения
Иррациональным принято на-
зывать уравнение, в котором неиз-
вестная величина содержится под
знаком радикала. Так, уравнение
\f{x — 2)ь =±хг — 21 следует назвать
иррациональным, хотя оно быстро
преобразуется к рациональному виду
х — 2 = хг — ^1. А вот уравнение
х* 4- х УЪ — /3 = 0, несмотря на
наличие радикалов, не является ир-
рациональным — это обычное квадрат-
ное уравнение (быть, может, с несколь-
ко необычными коэффициентами).
Отметим, что при решении иррацио-
нального уравнения речь всегда идет
об отыскании только действительных
корней.
Область допустимых значений
(ОДЗ) иррационального уравнения со-
стоит из тех значений неизвестного,
при которых неотрицательны одновре-
менно все выражения, стоящие под
знаками радикалов четной степени.
Перейдем к рассмотрению неко-
торых приемов решения иррациональ-
ных уравнений.
Возведение уравнения в степень
Наиболее общий путь решения
иррациональных уравнений состоит
р возведении обеих частей уравнения
в некоторую степень и последующем
«освобождении» от радикалов по фор-
муле (>/<р(л))п = ф(х). В основе это-
го способа лежат следующие хорошо
известные утверждения*).
Теорема 1. Если обе части ирра-
ционального уравнения возвестив одну
и ту же нечетную степень и осво?ю-
*) Их подробный анализ можно найти,
н?пример, в книге Г.В.Дорофеева,
М.К.Потапова и Н. X. Розова
«Пособие по математике для поступающих
в вузы». «Наука», 1970.
«6
А. М. Григорьев
диться от радикалов, то получится
уравнение, равносильное исходному.
Напомним, что два уравнения на-
зываются равносильными (эквивалент-
ными), если любое решение первого
уравнения является решением второ-
го, и обратно, любое решение второго
уравнения является решением первого.
Теорема 2. Пусть множество М
есть ОДЗ иррационального уравнения
или часть этой области, и пусть для
всех значений из М обе части уравне-
ния неотрицательны. Если обе части
уравнения возвести в одну и ту же
четную степень и освободиться от
радикалов, то получится уравнение,
равносильное исходному на множест-
ве М.
Напомним, что два уравнения на-
зываются равносильными на некото-
ром множестве, если они имеют одни
и те же корни, принадлежащие этому
множеству.
Замечание. Вообще говоря, при
возведении обеих частей уравнения в
четную степень могут появиться по-
сторонние решения *). Теорема 2
дает достаточные условия для того,
чтобы посторонние корни не появ-
лялись. Важно подчеркнуть также,
что возведение обеих частей уравне-
ния в степень и преобразование ради-
калов никогда не влекут потери кор-
ней.
1. Решить уравнение
У 24х-
Согласно теореме 1 решениями
этого уравнения служат действитель-
ные корни уравнения 24 х — 2 х3 =хь.
А они легко находятся: хх = О,
х2 = 2, х3 = —2. Проверка в данном
случае, очевидно, не нужна.
•) См. «Квант» ЛГ9 5, 1970. стр. 50.
46 ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА.
2. Решить уравнение
1 Ъх — 6 = х.
ОДЗ: Х5*в/б- При таких значениях
л; обе части уравнения неотрицатель-
ны. Поэтому по теореме 2 (в качестве
множества М возьмем ОДЗ) реше-
ниями данного уравнения служат
лишь те корни уравнения 5х — 6 — хг,
которые лежат в ОДЗ. Так как
корни *!=2, *2=3 этого квадрат-
ного уравнения удовлетворяют не-
равенству х^в/ь, то °ба они являются
корнями исходного уравнения. И в
данном случае проверка полученных
значений подстановкой в исходное
уравнение не нужна.
3. Решить уравнение
ОДЗ определяется системой не-
равенств
B30
откуда х^б 1^3, Возводя обе части
уравнения в квадрат и пользуясь
формулами преобразования радика-
лов, приходим к квадратному урав-
нению .V2 — х — 2 = 0, откуда х±=2,
*г=»—1. Однако ОДЗ принадлежит
лишь значение xt—2; оно и явля-
ется единственным корнем исходного
уравнения.
4. Решить уравнение
. A)
ОДЗ: x^z—7з- Левая часть этого
уравнения положительна (в ОДЗ),
но правая часть может принимать
как положительные, так и отрица-
тельные значения. Поэтому не стоит
торопиться возводить обе части урав-
нения в квадрат — в результате мо-
гут появиться посторонние корни.Ч
Этого легко избежать — достаточ-
но переписать уравнение (I) в виде
Vx+T + V3xTl = 8.
Здесь обе части уже неотрицательны,
и возведение в квадрат не приведет
к появлению посторонних решений.
Задача, таким образом, сводится к
нахождению принадлежащих ОДЗ
корней уравнения
У Зха + 4*-Н =31-2*. B)
Нам снова предстоит возвести обе
части этого уравнения в квадрат,
и снова перед нами та же опасность —
могут появиться посторонние реше-
ния (правая часть уравнения B) при-
нимает в ОДЗ значения разных зна-
ков).
Однако заметим, что ни одно зна-
чение х, при котором 31 — 2*;<0, не
может служить корнем уравнения B)
(иначе положительное число оказа-
лось бы равным отрицательному!).
Иначе говоря, все корни уравнения B)
удовлетворяют неравенству х<31/2;
нас же интересуют лишь те корни,
для которых выполнено условие
Следовательно, надо искать реше-
ния уравнения B), принадлежащие
промежутку — Ул <: х ^ 31/г- На осно-
вании теоремы 2 мы можем быть уве-
рены, что на этом промежутке урав-
нение B) равносильно уравнению
Зхг + 4х + 1 = C1 —
Лишь один корень х = 8 получивше-
гося квадратного уравнения удовлет-
воряет условию — Va^Jf^’Va». он и
служит решением уравнения A). Про-
верка подстановкой, очевидно, не нуж-
на.
5. Решишь уравнение
-4 = 5. C)
ОДЗ определяется как решение
системы неравенств
D)
хг + Вх — 4 ^ 0.
Мы, однако, можем не решать эту
систему, но запомним, что любой
корень уравнения C) должен удов-
летворять обоим неравенствам D).
Конечно, все условия теоремы 2
выполнены — можно возводить урав-
нение C) в квадрат, не опасаясь по-
явления посторонних решений. Но
увы! В данном случае эта операция
47 ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА.
нецелесообразна. Возведите обе час-
ти уравнения C) в квадрат — и вы
увидите, какое сложное уравнение
получится.
Гораздо удобнее поступить так:
перепишем уравнение C) в виде
-4 E)
и обе его части возведем в квадрат.
Конечно, теперь теорема 2 не приме-
нима, и это преобразование может
привести к появлению посторонних
корней. Поэтому необходимо будет
сделать проверку — она отсеет посто-
ронние решения (если они появятся).
Итак, возведем обе части урав-
нения E) в квадрат; получим
10
К этому уравнению применим еще
раз те же операции. Но предвари-
тельно отметим, что все его корни
должны удовлетворять условию
7х 4- 26 2г 0, то есть х ^ — гв/?.
В результате мы приходим к урав-
нению
51×2+436x—1076 = 0,
откуда *1 = 2, х2 = — 538/ы За-
метим, что х2<—2<s/,, остается про-
верить значение xl=2 прямой под-
етановкой в исходное уравнение C).
Оказывается, что оно является кор-
нем уравнения C).
Обратите внимание: в ходе ре-
шения нам так и не потребовалось
решать систему неравенств D), опи-
сывающую ОДЗ исходного уравнения.
Иисденке вспомогательных
неизвестных
Удачно введенные вспомогатель-
ные неизвестные иногда позволяют
получить решение быстрее и проще.
6. Решить уравнение
{х + Ь)(х — 2) + 3 Ух{х+3) = 0.
Перепишем уравнение так:
+ 3x «0,
Видно, что если ввести вспомо-
гательное неизвестное у = У хг •+¦ Зх ,
48
то уравнение примет вид у* +
-h Зу —10 = 0, откуда уг=— 5, i/a=2.
Теперь задача сводится к ре-
шению уравнения Ух’ + З = — 5
и уравнения Ухг + Зх =2. Пер-
вое из этих уравнений решений
не имеет, а из второго получаем
*!=—4. х2=1.
7. Решить уравнение
V’47-2x + У ЗЬ + 2х = 4. F)
Возведение обеих частей этого
уравнения в четвертую степень не
обещает ничего хорошего. Если же
положить
~. G)
у —
z =
то уравнение F) переписывается так:
у + z = 4. Поскольку мы ввели две
новые неизвестные функции, надо най-
ти еще одно уравнение, связывающее
у и г. Для этого возведем равенства
G) в четвертую степень и заметим,
что у* + г* = 82.
Итак, надо решить систему урав-
нений
она имеет два (действительных) ре-
шения: уi=l, гг=3; Уг=3, га=1.
Остается решить систему (двух урав-
нений с одним неизвестным!)
[V47-2X =3,
и систему
[J/47-2* ==1,
Woe о» о
[у35 + 2х =3;
первая из них дает xt-=—17, вторая
дает *2=23.
Умножение обеих частей уравнения
на функцию
Иногда иррациональное уравнение
удается решить довольно быстро, если
обе его части умножить на удачно
подобранную функцию. Конечно, при
умножении обеих частей уравнения
на некоторую функцию могут поя-
виться посторонние решения, ими
могут оказаться нули самой этой
48 ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА.
функции*). Поэтому предлагаемый ме-
тод требует обязательного исследова-
ния получающихся значений.
8. Решить уравнение
(8)
Умножим обе части уравнения на
одну и ту же функцию h (x) =
= Vl+x + 1. ВыражениеУГ+~й» + 1
называется сопряженным для выраже-
ния VI + х — 1. Цель такого умноже-
ния, думается, ясна: использовать тот
факт, что произведение двух сопря-
женных выражений уже не содер-
жит радикалов.
В результате этого умножения и
очевидных преобразований приходим
к уравнению
х(УТ+х -4УП^х-3) = 0.
Оно имеет единственный корень х—0,
так как уравнение У1 + х — 4 Vl — х—
— 3 = 0 решений не имеет (проверьте-
это!).
Подстановка в уравнение (8) по-
казывает, что x—Q—корень. Впрочем,
можно обойтись и без подстановки:
функция h{x) нигде в нуль не обра-
щается, и поэтому умножение обеих
частей уравнения (8) на эту функцию
не приводит к появлению посторон-
них решений.
9. Решить уравнение
У2х2-Зл:+5 = Зх.
О)
Умножим обе части уравнения
на выражение
сопряженное для выражения, стоя-
щего в левой части. После очевидных
преобразований получим
— У2х*—Зх+5) = 2х.
•)См. «Квант» № 5. 1970. стр. 49—50.
Это уравнение имеет корень х=0,
однако исходному уравнению (9) это
значение не удовлетворяет. Поэтому
можно считать, что хфО, и сокра-
тить обе части последнего уравнения
на х:
У2х*+3х+ 5 — V2*3-3x+5 = 2.
A0)
Складывая уравнения (9) и A0),
получим уравнение.
решение которого не представляет за-
труднений. Оно имеет корень х-=4
(убедитесь в этом!).
Проверка, обязательная в данном
случае, показывает, что это значе-
ние удовлетворяет уравнению (9).
Упражнения
Решить уравнения:
!. yW=l = 2- У9ЯГГ.
2. У7+ -. =0.
= 2.
5. Vx — Ух —2
-16 -6.
= 3 +
+ |/14 —5х-х5.
8. (МГУ, физфак, 1968.) Для хаэвдого
действительного числа а найти все действи-
тельные решения уравнения х -f- У*» = а.
9. (МГУ, фи?фак, 1968.) Для каждого
действительного числа а найтн все действи-
тельные решения уравнения
49 ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА.
