Home » Квант » Соотношение Лейбница и распределительное свойство скалярного произведения векторов

Соотношение Лейбница и распределительное свойство скалярного произведения векторов

Соотношение Лейбница и распределительное свойство скалярного произведения векторов.

3. А. Скопец

Квант 6/1972

Квант 6/1972

 НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

Квант
Квант №6 1972

Скачать  сборники журнала «Квант» в хорошем качестве
Если хотите быстро ознакомится только с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно):


Готфрнд Вильгельм Лейбниц
(с гравюры М Берингерота 1703 г.)- Латин-
ское двустишие гласит: если (высшая) муд-
рость скрыла что-либо от разума, дошедшего
до сути всего, то потому, что сама этого
не знала.

Готфрнд Вильгельм Лейбниц

Готфрнд Вильгельм Лейбниц

Напомним, что скалярное произведение двух векторов есть
число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на
косинус угла между ними:
a-b a bj-cos (а, Ь). A)
Такое, определение годится для векюров и на плоскости,
и в пространстве. Скалярное умножение связано со сложением
векюров распределительным (;ичтркоутивным) законом:
а(Ь с) =¦ лЪ ас. B)
Это свойство удобно исполыовагь во многих случаях, в осо-
бенности при доказательстве стереометрических теорем о пер-
пендикулярных прямых и плоскостях*). Но бела в том, чт
обычно само свойство B) доказывается с помощью некоторых
из этих теорем**). В этой заметке мы покажем, что существует
путь, свободный от указанного недостатка: мы выведем свой-
ство B) из соотношения Лейбница для элементов треугольной
пирамиды, а затем докажем это соотношение без использова-
ния теорем стереометрии.

Соотношение Лейбница интересно
и само по себе. Оно выражает рас-
стояние от вершины тетраэдра до
точки пересечения медиан противо-
положной этой вершине грани тет-

раэдра через длины всех шести его
ребер.
1. Соотношение Лейб-
ница. Пусть дан тетраэдр О А ВС
(рис. 1), G — точка пересечения ме-
диан треугольника ABC. Положим:
ОС — d, ОА =а, АВ ^ clt OB = Ь,
ОС = с, ВС — а„ СА — &,.
Тогда

Это соотношение мы выведем не-
сколько позднее. Л сейчас покажем,
*) По новым программам операции над
векторами в пространстве будут изучаться
в 9-м классе в курсе стереометрии.
••) В приложении, помещенном d кон-
це статьи, соответствующая фраза выделена
курсивом.

22 Соотношение Лейбница 

как из него следует распределитель-
ное свойство скалярного произведе-
ния векторов B). Положим ОЛ —¦ а,
ОВ г Ь, ОС _с.
Очевидно, AG — 2GA,, где Л, —
середина стороны ВС. Следовательно,
0G — а == 2@Л, — Щ. Но О47 ¦—
«у (b -j- с), поэтому 00′ — а —
или
=,0G*«(Р=у(а |-b-f-сJ =
Из определения скалярного про-
изведения векторов и теоремы коси-
нусов следует (рис. 2 а, б), что
(а — ЬJ — А В- — [а| 2 jbj 2 —
-2 |а| |b|cos(a, b) = aM b2- 2ab, E)
(ЧbJ lp I b2′
) p ||
2 |a| |b|cos(a, b) — a’—:-b—!,-
Согласно соотношению (б) имеем:
или
d2 -^-(a2 i- 2a(b \ с) ¦; b2 •!¦ с2 ; 2bc|.
Gj
Из соотношения Лейбница C) и
формулы E) следует:
d*-~ (a2-! bJ ;-с2) —
— ~ ((Ь — сJ h (с — аJ ¦¦- (а — ЬL|
= 4- (a2-! b- j с2) —
о
— -у- (а2 !-Ь—| с2—be —ас—ab)
или
I
и — ¦ (\ \« I •* I I ¦
-|-(ab : be ; са).
0G-— (аЧ-Ы-с).
D)
Сопоставляя G) и (8), находим:
-L(a*-i-ba-i-c=)+4laCb’: с) ; bc]=.-
= 4(а2 -I- b*.f c*)+-g- (ab -i- be -| са).

23 Соотношение Лейбница 

Отсюда следует распределительное
свойство скалярного произведения
векторов B).
2. Теперь остается доказать со-
отношение C), не прибегая к теоре-
мам стереометрии.
По теореме косинусов из треуголь-
ников OAG и OA-fi:
аг -d2-\-AG2-2dAG cos <p d2
= d2 + ЛlG2ч•2dЛ1G cos <p
d* \- —-AA^A. —
Исключая гр, находим:
(9)
Но
— — (b 1 + с]) — —^- — это следует
из формулы, выражающей квад-
рат длины медианы треугольника
через длины его сторон (рис. 3).
Подставляя значения 0А\ и АА\ в
формулу (9), получим:
5
Отсюда
3d2«fl» + &a + c8-^-L
о
форме:
3d2 — Й2 !- Л2 _J_ C2 (
+ GB2 + GC2). C’)
Равносильность соотношений C)
и C’) вытекает из равенства
GA*
-4(^—
+ of
*T
-4)=т
3. Добавим несколько задач, ре-
шения которых основаны на приме-
нении соотношения Лейбница C)
или C’).
а) Множество точек пространст-
ва, сумма квадратов расстояний ко-
торых до вершин треугольника ABC
{ВС =й„ СА bu AB = с,) по-
стоянна и равна /г2, есть сфера, центр
которой совпадает с точкой G пересе-
чения медиан треугольника А ВС (при
В самом деле, из C) следует, что
и при /г2 > -j- (а* -‘Г Ь’\ + с\) расстоя-
ние d от точки О до точки G постоян-
но и равно радиусу R этой сферы:
R =— 4″
ИП I
б) Точка, сумма квадратов рас-
стояний которой до вершин треуголь-
ника минимальна, есть точка пере-
сечения медиан этого треугольника.
Заметим, что соотношение Лейб-
ница остается в силе и тогда, когда
точка О лежит в плоскости треуголь-
ника ABC (рис. 1). Именно для этого
случая обычно рассматривается со-
отношение Лейбница в планиметрии,
причем в несколько измененной
Рис. 3.

24 Соотношение Лейбница 

Из C’) следует, что а24 bz 4
+ c2 = GA2 4 GB2 4 GC* + 3OG2.
Левая часть достигает минимума при
условии 0G = 0, или когда точка О
совпадает с точкой С
в) Если в окружность вписаны
два равносторонних треугольника, то
сумма квадратов расстояний любой
точки пространства до вершин одного
треугольника равна сумме квадратов
ее расстояний до вершин другого тре-
угольника.
г) Если вершину параллелепипеда
соединить со всеми остальными его
вершинами, то получатся семь отрез-
ков, из которых один — диагональ d
параллелепипеда, три — диагонали dlt
dit d3 его боковых граней, остальные
три — ребра а, Ь, с параллелепипеда.
Путем двукратного применения
соотношения Лейбница C)
1) доказать истинность следую-
щего соотношения, связываюи\его ука-
занные семь линейных элементов па-
раллелепипеда:
d2 = d] + d\ 4 d\ — (a2 4 Ь2 4
4 с2); A0)
2) вывести распределительное
свойство скалярного произведения
векторов, исходя из соотношения
(Ю).

Приложение
Используя теоремы стереометрии (см.
сноску на стр. 22), мы можем легко дока-
зать, что
а(Ь +с) = ab +bc. A1)
Докажем сначала такую лемму.
Лемма. Проекция вектора на ось не
зависит от того, от какой точки пространства
отложен вектор.
Доказател ьство. Пусть CD’ —
проекция вектора CD на ось /, то есть СС
и ?>?>’ — перпендикуляры, опущенные из
точек С и D на I (рис. 4). Пусть ? — четвер-
тая вершина параллелограмма CC’D’E, тогда
СЕ= CD’, CC’\\ED’ и потому ??>’!/.
Поскольку ED’ ±1 и DD’±l, то DEil
и, следовательно, DElCE. Тем самым, мы
доказали, что проекция вектора CD иа ось /
равна его проекции на ось, параллельную / и
проходящую через начало вектора — точку С:
CD’ = СЕ.
Теперь утверждение леммы очевидно
(если CiVt ~ CD, то соответствующие пря-
моугольные треугольники CDE и ClDi?1
равны по острому углу <р — -4 ECD =
«= A ExCyDx и гипотенузе CD ?= С^).

Одновременно мы видим, что координата
проекции вектора с = CD на ось / равна
пр^с = |с| cos <р,
где \с\ — длина вектора с, ф — угол между
вектором и осью (это число положительно,
если проекция направлена в ту же сторону,
что ось, и отрицательно, если в противопо-
ложную).
Теперь заметим, что скалярное произве-
дение векторов а и Ь равно |а| npob, где
npab — координата проекции вектора b
иа ось, определяемую вектором а, так что A1)
можно переписать так:
|а; про (Ь + с) « |а| проЬ + |а| прос. A2)
Осталось доказать, что
про (Ь + с) = npob + прас. A3)
Это вытекает из рисунка 5, где ОВ = Ь,
ОС=с, OD = b+c поскольку по лемме
проекция вектора ОВ равна проекции векто-
ра CD=OB; равенство A3) следует из того,
что OD’ — ОС 4 CD’.

25 Соотношение Лейбница 

Скачать Квант (все выпуски).

 

,

Статистика


Яндекс.Метрика