Тригонометрические функции | ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА

Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :

страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)

Ниже текст для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Смотрите оригинал в формате PDF по ссылке выше.

Ж. М. Раббот

В этой статье мы рассмотрим некоторые вопросы тригонометрии,
вызывающие затруднения у поступающих в вузы на вступительных экзаменах.

1. Тригонометрические функции числа

Что такое sin 1? Какой знак имеет ctg 21? Подобные вопросы часто
ставят в тупик многих абитуриентов.
Мы хотим определить тригонометрические функции на множестве всех
действительных (вещественных) чисел. Для этого рассмотрим на координатной
плоскости круг единичного радиуса с центром в начале координат
(«тригонометрический круг»).
Пусть нам задано произвольное число t 0. Отложим на окружности
тригонометрического круга от точки Е (1; 0) (рис. 1) дугу длиной |f0| в положительном
направ ении (против часовой стрелки), если կ ՚^Օ , и в отрицательном
направлении (по часовой стрелке),
если է()<Հ 0 (единицей длины служит
радиус тригонометрического круга). При
этом мы получим на окружности точку
Р t ( с координатами (a’/q, ytn). Абсцисса
x t(t точки Pta называется косинусом числа
10, а ордината ytt этой точки — синусом
числа t 0:

Наиболее тонкое место в нашем определении —
процесс откладывания на окружности дуги д а н н ой
длины. Его можно наглядно представлять себе как
наматывание (без растяжения) отрезка на окружность.
Пользуясь нашим определением, мы можем изучить свойства функции
у—sin /. Покажем, как это делается.

36

а) Найдем корни уравнения sin /—0. Пусть число / таково,что sin f= 0 .
Это означает, что ордината точки Р։ , соответствующей числу /, равна нулю.
Таких точек на единичной окружности две: Е и £ ‘ (см. рис. 1). Они будут
получаться при откладывании дуг, длины которых кратны длине полуокружности.
Заметив теперь, что половина длины единичной окружности равна
л, мы получим, что равенство sin/^Օ равносильно равенству t=n k , где
Л=0, ± 1 , ± 2 , …
б) Если числа tt и t2 отличаются друг от друга на число, кратное 2я
(то есть на целое число длин окружности), то соответствующие числам
* хи է2 точки единичной окружности совпадают. Эго означает, что из равенства
tx—էղ- 2nk (Л—0, ± 1 , ± 2 . -■-) следует равенство sin f l = s in f2t то есть
число 2л является периодом функции i/=sin է.
Докажем, что число 2л является наименьшим положительным периодом
функции «/—sin է. Предположим противное: пусть 0<са<с2л и
sin (М а) -sin / (1)
при любом է (то есть нашлось положительное число а, меньшее 2л, которое
тоже является периодом).
Пусть /—0. Тогда из (1) получим, 4Tosina—0. Нов промежутке 0 < « < 2 л
есть лишь число л, синус которого равен- нулю, поэтому а —п. Подставив
теперь в (1) է ՜ ֊ мы получим, что l = — ֊l | s i n- ^ — — 1— это ордината
точки А на рисунке I, a sin | я — г -^-j — —1 — это ордината точки А’). Мы
пришли к противоречию. Итак, 2л — наименьший положительный период
функции у —sin է.
Установленное нами свойство периодичности позволяет проводить дальнейшее
исследование свойств синуса только в пределах одного периода,
например, при
В связи с доказанной периодичностью сннус* сделаем следующее Замечание. В учебнике
Кочет Иовы х «Алгебра и элементарные функции» (у 207) подразумевается, по явно не
сказано, что для периодической функшш вместе с числом * должны входить в область определения
и все числа х-гпТ (п — любое целое число, 7՛ — период). Между тем это очень
важно: иногда удается доказать лепернодичность функции, пользуясь именно этим свойством.
Покажем, например, что функция у — cr.s — — непериодическая. Предположим,
что Т — период этой функции. При х-~—Т наша функция определена, значит, она должна
быть определена и при х ՛— Т—Т ֊ 0, но при л- 0 с< տ — не существует: мы пришли
к противоречию.
Совершенно аналогично можно исследовать свойства функции у՜- cos է- Вам. по-видимому,
совершенно ясно, как определить функции у у -ctg / (числового аргумента)
и исследовать их свойства.
Уп р а жн е н и я
I. Найдите наименьшие положительные периоды функций:
а) у- sin Злг; б) у tg 2л- sin За՛; в) у 2 sin /1 -л^— f- —Аj՜ -\ I; i) у sin- л», д) у : s:ii(cosx);
е) и cos(sinx).
П р и м е р 1. Доказать не tieр иод и чност ь функции «/— sin х1
Р е ш е н и е . Предположим, что данная функция периодическая. Найдем
нули этой функции (то есть те значения х, при которых она обращается
в нуль): sinx2= 0 , откуда х2 -i nk(k =0, 1,2,…), x = + V T ik . Если Л—0,
то х 0= 0 ; если k I, то xt Ул. Из сделанного предположения о

37

периодичности функции у—sin.v2 следует, чго найдется еще бесконечно
много пар соседних ее нулей (получающихся из л՜,, и сдвигами вправо
на целое число периодов), разность между которыми равна Xj — X0 «V4.
Но для любого к > \ имеем
\*ь ւ֊ х>,\ \Щ Т)л-УЕя|- у 1 ~ 1 )л
так как V(k -\- 1) я ; ՝У Ь > յ я Полученное противоречие доказывает
непернодичность функции у — sin л՜.
2. Докажите иенерноднчиость функннй; а) у sin 1 /х ; й) у ■ — cos х ccs՜l/ շ х.
Я Укажите знаки след ющих чисел:
a) sin 2 ; б) cos 3.1; в) 10: г) sin л 2; д) tg(cos2).
4. Дано, что cos* / : p c o s / r<£>0 при всех действительных значениях/. Счедует ли отсюда,
что х- — рх— £ > 0 при всех действительных значениях д?
Нетрудно установить простую связь между определениями тригонометрических
функций (обобщенного) угла и числового аргумента. Расположим
угол так, чтобы его начальная сторона
шла по оси Ох (рис. 2). Тогда синус
угла по определению равен ординате точки,
в которой конечная сторона угла пересекает
единичную окружность.
Если угол содержит а радиан, то конечная
сторона утла будет пересекать единичную
окружность в конце дуги, соответствующей
числу а при наматывании. Поэтому
(сравните рисунки 1 и 2)
Рис 2.
синус угла в а радиан равен синусу
числа а.
Именно это свойство принято и школьном учебнике за определение синуса
числа (и аналогично ,чля других функций: косинуса, тангенса, котангенса).

2. Преобразования тригонометрических выражений

При решении различных задач часто приходится проводить тождественные
преобразования, пользуясь формулами тригонометрии. При этом
н до помнить, что некоторые формулы изменяют область определения;
кроме того, необходимо выяснять обратимость всех переходов.
П р и м е р 2 (МАИ, 1970) Доказать тождество:
/ а \ 2 / . а Հ 2
Լ c o s а c o s — J — Լտ տ օ ւ [- s in ~ շ )
——— sin 2ct ‘—sin а ctg — г • (2)
Р е ш е н и е . Найдем преж г всего ОДЗ. Левая часть (2) определена,
когда sin 2а—sina^O, то есть когда 2 s in a c o s a—sina?M), откуда
sin а Ф 0. cosа ф ^ -Հ окончательно а ■ л ո, 2л/г*). Правая
*) Здесь н дальше, гей и че оговорено нротиннос. подразумевается, что параметры
п. k, I и т. п. принимают все целочисленные значении.

38

часть (2) существует при sin — ф О, то есть при аф4л1. Итак, ОДЗ
Л
найдена: а ф п я , а = ^ ± — у + 2лЛ.
Обозначим левую часть тождества через М. Тогда
а а а а
cos*a -f- 2 cos а cos — у + cos* — у — sin-а — 2$in a տտ — у — sin* у
М =■ sin 2а — sin а
( а а \ / ct а \
cos* — у — sin* — у / -f- 2 ^cos а cos-у — sin а sin — у յ
sin 2а — sin а
З а а За За
cos 2а ֊ 1֊ cos а + 2 cos ~к~ 2 cos -тг- cos -к- -j 2 cos -5՜
sin 2 а — sin а а За
2 sin — у cos — у
а „ а
cos — у 1 2 cos-^ — а
Ctg ՜ 4~ ос а а
s in — շ — 2 s in — 5 — c o s
Итак, в ОДЗ М —ctg-^-.
П р и м е р 3. Доказать, что гели ctg (а + Р) = 0, то
sin (а + 20) — sin а . (3)
Р еше н и е . Заметим, что условие ctg (а + Р) = 0 эквивалент» о
условию
cos (а + Р) — 0. (4)
Рассмотрим теперь разность правой и левой часгей (3): sin (а + 2,3) —
— sin а = 2 sin р cos (а + Р), откуда, используя (4), получим требуемое.
У п р а ж н е н и я
5. (МАИ, 1970). Докажите тождества:
а) (sin а—coseca)J-j-(cosa—sec а )2 — -t ctg2 2а 4՛ I:
2 c c s ( ֊+ a ) sin ( — ք — ֊- ք )
б) sin a -f- ctg a — ctg a cos a — 1 ——————- a
cos ~ r
6. Докажите тождества:
а) (МИСП, 1969). | ֊| ֊ tg a tg 2 a ~ s,n (~£Г ‘՜ (МИФИ). cos2 4>+cos2(a Ւ<յ )—
—2 cosa cos<j>cos ( a + <f) » sin*a.
7. (Физ. фак. МГУ).
а) Докажите, что если 5 sin 0 =sin (2 a+ 0 ), то ^ ^tg а ^ ՜ «Т » ’
б) Докажите, ч,то если cosх ~ cosa cos ծ, x ± a ^ .i ( 2fc-f 1). fe^n(2* f l ) . то
х 4- а х — а 1
I + կ —շ tg—у ՜ = —— — •
cos* ՜շո
ր II м е р 4. Упростить выражение
М = sin a + sin (a + 6) + . . . + sin (a -}- nb).

39

Р е ш е н и е . Заметив, что аргументы синусов образуют арифметическую
прогрессию с разностью б, умножим обе части равенства на 2տա-շ-:
2s in— М ^ 2 s i n — y s i n a + 2 sin — y s in ( a + 6) + … -|-2sin — y x
X sin (a -}- лб) ^ cos ^ a — — cos | a (■ — y j -f cos | a + — j —
— cos ^ a + — y — j + • • • + cos|^a + | n — 6 j — c o s ^ a + ^n + — )6 J =-
= cos — cos [ a + ( n + — ֊j 6 J = 2sin( a } -— js in ոշ 6.
Итак, если sin — у фО, то есть б Ф 2яЛ, то
. / . «б \ . / ( п + 1)6
в | т ) տ;ո { — շ ֊ j
м —————- ft
sin — у
Если же б =» 2яЛ, то
М = sin а + sin (а -г 2nk) г . . . + sin (a + 2nnk) = (л -}- 1) sin a .
У п р а ж н е н и я
8. Докажите тождества: а) (МИФИ), c o s a -]-cos2a |- c o s3 a [- . . . -+-cos па =
па (п + 1) a
sin — г — ccs
2 2 2 л 4 л 6 л 1
֊- ; б) (МГУ), cos — + CCS — н • CCS— = — — ;
sin — у
л Зл I
в) (МГУ) CCS — у -|- cos- у = — у .
9. (МИФИ). Упростите выражения, а) c o sa cos2a cos4a .. cos 2 «a ;
б) c o s a — cos 2a + cos 3a — cos 4a + . . . + (— 1 )n + 1 cos na\
в) sin a -j- 2 sin 2a + 3 sin 3a — . . . -J- n sin na;
r) sin3 — y — 3 sin 3 у -|- 9 sin3 ~p» + — — — — ֊Յ ՞ ^տ տ * ՜^քք.
П р и м е р 5. Доказать тождество:
tg a + ֊տ֊ tg H- — tg — i i —— tg — CC- ^ 2 2 4 4 ‘ 1 շ/յ ——ctg ——- 2 ctg 2a.
Р еше н и е . Заметив, что в правой части тождества стоят котан
генсы, Bbjpa3HMtga через c tg 2 a и c tg a : t g a — ctg a — 2ctg 2a
Тогда
tg a = ctg a — 2 ctg 2a,
tg ”y — ctg — y — 2 ctg a,
a , _ a t g — J — » ctg 2ctg-y ,
t g —■ = c t g — ^ — ֊2 c t g -—

40

Умножая выписанные тождества соответственно на1, -շ-, , —հ- и почленно
складывая, мы получим нужный результат. Наши преобразования имеют
смысл лишь при а ф (проверьте!).
У п р а ж ti е 11 и я
>=■ 3
10. Докажите тождества-, а) (УГПИ>. sin2 а }- sin2 (120’’ -J- а ) ֊!֊- sin4 (120՞ — а ) = ;
а j ; в) (МагГПИ) 4 cos* а 4- sin2 2а +
+ 4 sin4 а = 4.
11. Преобразуйте в произведение: а) (МагГПИ). cos4 (х + у) + sin (х + у) +
1 /Зп \
+ cos { х + у) + sin2 (х + у)\ б) (МАИ). tg3a ֊ ֊ — հ — -f- 3 ctg ( ՜ շ ՜ + a j — 4 ;
в) (МИСП, 1969). sin 5a sin 4a + sin 4a sin 3a — sin 2a sin a ; г) (МТИ, 1970).
sec* a — tg* a -f tg ( ֊— — — y ՝) — f ctg
П р и м е р 6. Вычислить без таблиц sin 18s.
Р еше н и е . Мы воспользуемся тем, что 18 • 5 = 90°, то есть, что
2 • 18° + 3 • 18° = 90°, откуда
cos (2 — 18°) — sin (3 • 18) (5)
и тем, что cos 2a и sin За рационально выражаются через sin а . Применив
формулы ccs 2<х — 1 — 2 sin2 а и sin 3a ֊ 3 sin a — 4 sin3 a , мы из (5)
получим: 4 sin3 18 — 2 sin2 18J — 3 sin 18* + 1 = 0.
Обозначив sin 18 через у, мы приходим к уравнению
4у3 — 2у’2 — Յւ/ + I — 0, (6)
которое легко решить, заметив, что у — 1 — его корень (отсюда сразу следует,
что левая часть (6) делится на у ~ 1): Լу—1) (4у2+ 2 у—1)^=0,
откуда ух=* 1, у2,3 = — ՜ • Учитывая, что sin 18;: Ф 1, sin 18° > 0,
դ/5՜ ւ
находим, что sin 18° — у ——
П р и м е р 7. Упростить выражения: а) Տ Լ = co s*a + cos2 2a + …
+ cos2 na; 6) S 2 = sin2 a 4 ֊ sin2 2a + . . . ֊Ւ sin2 na.
Р еше н и е . Так как sin2 x + cos2 x = 1, to
«Si + S 2 = n. (7)
Применив теперь результат упражнения 8а) (при каких а это можно сделать?),
мм получим:
S j— S 2 = (cos2a — sin3a) -f (cos2 2a — sin2 2a) -i + (cos2 na — sin2 na) —
= cos 2a 4- cos 4a -f ■ • • + cos 2na =- —?-■?! ֊ Գ. .c£s.^_ -՜է՜-ll PL (8) s i n a ՝ }
Теперь из (7) и (8) легко получаем: ճ 1 = ~֊ք֊—1 П ~ “ -; Տ2 =
n s in n a c o s (n — f l ) a v
— ~ 2 ———- 2~s’in a— — • Каков ответ при a —nkf
У п р а ж н е н и я
12. Вычислите без таблиц: а) cos 15°; б) tg 7,5°; в) cos 18°; г) (МАИ, 1970).
cos 55° • cos 65° • cos 175е; д) (МИСП, 1969). !g 9° — tg 27° — tg 63° + tg 81°-

41

П р и м е р 8. Найти cos а ֊1 ֊ sin а , если sin а cos а = 0,48.
Р е ш е н и е . Извлекая из обеих частей тождества (cos а |- sin а )2 —
= 1 4 -2 sin а cos а квадратный корень (как всегда, арифметический!),
получим: [cos a + sin a| = У 1 + 2 sin a cos a ֊ 1,4 (подкоренное выражение
неотрицательно: 1 + 2 sin a c o sa — 1 -j- sin 2a ^ 0, так как
sin 2a > — 1). Поскольку по условию sin a cos a > 0, то sin a и cos a
имеют одинаковые знаки, то есть а находится либо в I , либо в III четверти.
Е с л и 2 л п < а < — ^ — ֊г 2 л « , то sin a + c o s а ~ 1,4;
если же л + 2лп < а < -4^- -Ь 2лп, то sin a-+-cos а — —1,4.
У п р а ж н е н и я
„ a
1 — 2 sin- -շ-
13. а) (МАИ). Найдите լ»-|- s in a —— * если «7 » ՜ m ~~ 1: f’^ Л °ка’
1 1 я
жите, что если tga = ~ , sinp — , то а 2р -= (а и fi — углы 1 четверти);
З а . а , 2 ,, а
в) (МИСП). Найдите 18 sin » շ ~ տւո~շ~, если cos a = — у . г) (МТИ). Найдите tg — շ — ,
4 Зл
если t g a = — , л < а < — .
14. (МГУ). Ипвсстно, что a 4՜ Р 4՜ Y — :—շ~, a > 0 , Р > 0 , Y > 0 и что ctg a, ctg P,
ctgy образуют арифметическую прогрессию. Найдите ctg a di> у.
15. (МИФИ). Докажите, что если а , р, у —՝ углы треугольника, то
a Р у
а) sin a ֊1 ֊ sm р 4՜ sin у = 4 cos — у cos ~ շ ՜ cos ~ շ — ;
а р у
б) cos a -(- cos p -(- cos Y — 1 + 4 sin у sin — y sin ՜՜շ՜’,
в) tg a + tg p 4- tgv = tg a tg P tg y;
r) sin 2a 4՜ sin 2P -f- sin 2y = 4 sin a sin p sin y;
д) sin2 a 4՜ sin2 P + sin2 у = 2 co sa cos fl cos y + 2;
a P a V P Y
е) tg — tg — + tg у tg у 4 tg у tg у = I ;
3
ж) cos a — f cos P -r c°s Y ^ у i
з) sin2 a 4- sin2 P 4- sin* у > 2 (треугольник остроугольный).
16. Докажите неравенства:
а) (МФТИ).
a / я \
ctg — > 1 4- c t g a l o < a < — j ;
б) (ВГУ). cos a 4՜ 3 cos 3a 4՜ 6 cos 6a ^ —7.2;
в) (МФТИ). (1—-tg*a) (1—-3tg*a) (14-tg2atg3a) >0; г) (МФТИ).
(c tg ^ — 1 ) (Sctg2®—I)x (c tg 3 a tg 2 a—1 ) ^ —1 : д) (МГУ). 4 sin 3 a 4 ֊5 ^ 4 cos 2a4-5 sin a .
П р и м е ч а н и е . В статье приняты следующие сокращения:
МАИ — Московский авиационный институт, МГУ — Московский государственный
университет, МГПИ — Московский государственный педагогический институт, МагГПИ —
Магаданский государственный педагогический институт, МТИ — Московский текстильный
институт, МИСП — Московский институт стали и сплавов, МИФИ — Московский инженерно-
физический институт, УГПИ — Ульяновский государственный педагогический
институт, ВГУ — Воронежский государственный университет, МФТИ — Московский
физико-технический институт.

 

Тригонометрические функции, ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА

#физика #квант #АБИТУРИЕНТ

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА, Тригонометрические функции