УРАВНЕНИЯ ОРНАМЕНТОВ
М. И. Бржозовский
УРАВНЕНИЯ ОРНАМЕНТОВ
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
|
Считаете сайт полезным? |
Квант 7 июль 1972
Ниже текст для быстрого знакомства с темой. Формулы отображаются некорректно. Если тема вас заинтересовала, нажмите на ссылку выше и скачивайте оригинал.
И не забудьте поделиться страницей в соц. сетях! 🙂
УРАВНЕНИЯ ОРНАМЕНТОВ
М. И. Бржозовский
Подбирая должным образом уравнения, можно получать
самые разнообразные, подчас весьма причудливые картинки.
Например, можно получить «рожицу», изображенную на
рисунке А. Как это сделать? Предварительно нам придется
вспомнить, что числовой плоскостью называется множество
всех пар действительных чисел (см. статью А. Н. К о л м
о г о р о в а «Что такое график функции», «Квант» J6 2,
1970 г.) Любое множество точек числовой плоскости условимся
называть геометрической фигурой, расположенной на
числовой плоскости.
Можно, в частности, рассмотреть множество всех таких
пар действительных чисел (х , у), для которых / (х, у’)= 0 ,
где f (х, у) — заданное выражение. В этом случае говорят, что
получающаяся геометрическая фигура описывается уравнением /(-V, у)=о. Так, уравнение х 2—у—0 описывает параболу; уравнение
X 2—у * = 0— две прямые ( у = х и у = —х ) , пересекающиеся
в точке (0, 0); уравнение х 2+у*=2 — окружность с центром
в точке (0,0) и радиусом V2; уравнение |x |+ ly l = 1 — квадрат
с центром в точке (0, 0) и вершинами, лежащих на координатных
осях.
Теперь рассмотрим следующие уравнения:
Уравнениям (I) соответствует овал лица, волосы и борода,
уравнения (2) описывают глаза, уравнения (3) дают уши и нос,
уравнению (4) соответствуют центры глаз и ноздри, уравнения
(5) описывают рот и зубы рожицы, изображенной на рисунке
А.
На рисунках Б и В изображены еще две фигуры, которые
тоже можно описать уравнениями (их нам прислал ученик
10 класса Ленинградской школы № 239 Юрий Миньковский).
В фигуре на рисунке В используется даже кусок графика
логарифмической функции.
Помещаемая ниже статья рассказывает, как можно получать
уравнения, описывающие различные орнаменты.
Рассмотрим функцию у = cos х.
Эта функция четна (cos (—х) = cos х)
и периодична (cos {2л -+• х) = cos х),
поэтому ее график обладает зеркальной
симметрией относительно оси
ординат Оу и состоит из одинаковых
периодически повторяющихся
кусков.
Мы будем говорить, что график
функции у — cosx (его уравнение
можно записать так: у — cosx = 0)
является линейным орнаментом.
Таким образом, линейный орнамент
получается с помощью переносов
некоторой основной фигуры вдоль
некоторого направления.
Если сам линейный орнамент считать
основной фигурой и произвести
над ним серию переносов вдоль нового
направления, то мы получим двумерный
орнамент.
Повороты основной фигуры на уг-
лы, кратные -3—6-0-°— приводят к кру-
Рассмотрим сначала один простой
пример.
На рисунке 1 в качестве основной
фигуры F0 взята окружность с центром
в начале координат и радиусом
г — I, ее уравнение в декартовой
системе координат: г* — f у2 ~ 1. З а метим,
что все точки окружности
(кроме одной) лежат в полосе —
l^x<Cl (отмеченной красным цветом).
Перенесем фигуру F0 вправо вдоль
оси Ох иа 2 единицы масштаба
оиа займет положение F lt а красная
область перейдет в синюю, определяемую
неравенствами 1 ^ х < 3 (см.
рис. 1). Уравнение окружности F^
в той же системе координат записывается
уже в виде
(х — 2)а + у 2 — 1 .
Аналогично можно получить цепочку
окружностей F- ,, F а, F- в
Fh, Они образуют линейный
орнамент.
Всю эту цепочку окружностей можно
описать одним уравнением, если
ввести в рассмотрение функцию [х ] —
целая часть х *).
Вот это уравнение:
( * _ 2 [ i + i ])2 + 02= l .
Если х находится в промежутке
12k — 1, 2k + 1), то это уравнение,
как нетрудно проверить, задает одну
из окружностей:
(х — 2Аг)г -I- у* = 1.
Вообще, если f (х, у) = 0 (при
а ^ х С а + Т)— уравнение некоторой
геометрической фигуры, которую мы
назовем основной фигурой F0, то
линейный орнамент, полученный из
F0 переносами на kT единиц по оси
Ох (где Т>О, k = О, ± 1, ± 2,…),
описывается уравнением
/ ( * — г [ ^ ] , | , ) = о . (6)
Пусть теперь основная фигура F0,
заданная в полосе (b^y<Cb-}-S)
переносится (по диагонали) на
kT единиц по оси Ох и на kS единиц
по оси Оу. Тогда получается линейный
орнамент со звеньями из фигур
Fit расположенный вдоль отрезка,
соединяющего начало координат
(0 ,0) с точкой (Т, S), а уравнение
*) Функция [х], называемая , «целой
частью х», определяется равенством [xj=A,
если k 1, где k — целое число
(наибольшее целое число, не превосходящее
х).
Рме. 2.
этого орнамента будет
I ( * — г С Т y — s [ ^ ] ) = ° <7>
(при SgfcO). При Т = 0 получается
линейный орнамент, расположенный
вдоль оси Оу. Комбинацией переходов
(6) и (7) получаются уравнения
двумерных орнаментов.
Интересно отметить, что если функция
у — f (х) определена в интервале
я г ^ < [ а + 7 \ то функция
у Ч ( * — г [ £ ^ ] )
определена на всей вещественной оси
— о о < х < о о , периодична с периодом
Т и совпадает с f (х) в интервале
а ^ х < а + Т .
Функцию f[ x— j называют
периодическим продолжением функции
f (х). Например, если у = |х|
в промежутке (— 1 , 1), то
У- „ _ 2 [ ‘- + ! ] I
— периодическая функция с периодом
Т = 2, ее график приведен на рисунке
2.
На рисунке 3 изображен линейный
орнамент, составленный из дуг окружностей
радиуса R = 1. Основу
этого орнамента составляет фигура
F0 (красная часть рисунка’ 3), заданная
уравнением
После серии переносов фигуры
F0 по оси Ох (при Т = 4, а = —2)
мы получим сам орнамент, уравнение
которого после некоторых упрощений
примет вид
х + 2] -т
+{у- т
1.
Будем считать теперь этот орнамент
основной фигурой и произведем
над ним серию переносов по
оси Оу (при S = 4). Мы получим
двумерный орнамент, изображенный
на рисунке 4. Предлагаем читателю
самому написать соответствующее
уравнение.
Интересный орнамент со сложной
симметрией (если еще изменять цвета
при преобразовании переноса в некоторых
направлениях) изображен на
рисунке 5. Основу белой части орнамента
составляет фигура Fa — белая
часть квадрата — 2 < : * < 2,
— 2 ^1 у < 2, ее уравнение
по своей структуре напоминает уравнение
основной фигуры, изображенной
на рисунке 3. Производя над F0
сначала серию переносов по оси Ох
(при 7 = 4, а = — 2), а затем по
оси Оу (при S = 4, b = — 2), мы
получим всю белую часть орнамента,
уравнение которой таково:
= 0.
Уравнение черной части орнамента
получается из этого уравнения заменой
х на х—2 и у на у—2.
Теперь рассмотрим синюю, желтую
и красную части трехцветного
шестиугольного паркета, изображенного
на рисунке 6. В основе синей
части паркета лежит шестиугольник
точек
шестиугольника с центром в начале
координат, вписанного в окруж-
2
ность радиуса R = у=. (рис. 7).
Уравнение этого шестиугольника
можно записать в виде И’ х У з — 1
+ Уз +чн так как для этих и только этих точек
выполняются неравенства
1< М + * У з — 1
+
+
*У Г + I
2 < 2 .
Чтобы получить синюю часть паркета,
можно сначала произвести
над F0 серию переносов по оси
Ох ^при 7 \ = 2У з , а = — , а
затем полосу из фигур Ft (на оси Ох)
перенести по диагонали (при
Т г — У з ; S=^3, b = — 1). Уравнение
красной части паркета получается
из построенного уравнения заменой
у на у — 2, а желтой части —
заменой у на у + 2.
Интересные круговые орнаменты
получаются, если воспользоваться полярными
координатами.
В полярной системе координат
каждая точка А имеет две координаты
(рис. 8): • расстояние р от этой
точки до начала координат О и угол ср,
который образует луч ОА с фиксированной
осью (на рисунке 8 — с
18
Рис. 9,
осью Ох)\ отсчитывается этот угол
в положительном направлении (против
часовой стрелки) от оси Ох. «Начало
координат» (точка О) имеет координаты
р = 0 и любой угол <р; любая
другая точка имеет однозначно определенную
положительную координату
р и определенную с точностью до
кратных 2л: координату <р.
В полярной системе координат,
как и в декартовой, можно описывать
фигуры уравнениями. Например,
уравнение окружности F0 на рисунке
I будет р = 1 (как видим, оно
гораздо проще уравнения в декартовой
системе координат).
Если f (р, ф)=0 — уравнение основной
фигуры, содержащейся в сек-
торе то по аналогии
с формулой (6) уравнение
!{<■• * — £ • [ £ ] ) — < >
задает круговой орнамент, составленный
из фигур jF,.
Например, можно написать уравнение
правильного л-угольника, вписанного
в окружность радиуса R.
Уравнение p cos^cp ^ r ) “ ^ cos-7r
внутри сектора 0 ^ <р задает
сторону А В (рис. 9), а после серии поворотов
отрезка А В на углы, кратные
2л—
п • получается и весь п Jугольник.
Его уравнение по формуле (8) может
быть написано в виде. П р и /?— и п = 6 получается
правильный шестиугольник, изображенный
на рисунке 7.
На рисунке 10 изображен орнамент,
составленный из системы замыкающихся
круговых цепочек по шесть
кругов в каждой. Основу этого орнамента
составляет множество всех
внутренних точек первого черного
круга с радиусом г = 1, вписанного
в сектор 0^ ф < Уравнение этого
круга будет
jp* — 4рc o s q>j-f 4j = 0.
После серии поворотов на углы,
кратные-— , получается первая круговая
цепочка, состоящая из шести
кругов радиуса г = 1, центры которых
расположены на окружности радиуса
R — 2. Уравнение этой цепочки
легко находится по формуле (8):
[р2 ~ 4? cos (т—ф+ “f [ir])+ 4]=0’
а следующие круговые цепочки получаются
из первой растяжением полярных
радиусов соответственно в 3,
9, . . ., 3*, . . . раз. Уравнение всего
орнамента получится из последнего
уравнения заменой р нар — 3 [**~] •
В самом деле, если угол ф меняется
в пределах 0 ^ ф ■< 2я, то полярный
радиус остается без изменения,
так как = 0. Если ф меняется
в пределах 2л ^ ф < 4я , то j ^ j = 1
и р-3 а замена р на
в последнем уравнении соот-
ветствует преобразованию растяжения
всех полярных радиусов в 3 раза.
При 4ч ф < 6я получаем
J ^ — j — 2, что соответствует растяжению
полярных радиусов в 3* =
= 9 раз и т. д.
Окончательно уравнение орнамента
записывается в виде
[ 3 _Sf Ч ! — 4 р . З _ [ ^ Х
х cos _<р + — г р г ])+ 4] “ 0-
Конструирование симметричных
конфигураций связано, вообще говоря,
с группами преобразований (на
плоскости или в пространстве). Но
об этом мы рассказывать пока не
будем, а посоветуем читателям
обратить внимание на следующие
книги.
Литература
1. Герман Вейль. Симметрия.
«Наука», 1968 г.
2. Мартин Га днер . Этот правый
левый мир. «Мир», 1967 г.
3. Г. Дисафореи М. Орчин.
Симметрия в химии. «Мир», 1967 г.
4. М. Хаммермеш. Теория групп
и ее при енение к физическим проблемам.
«Мир», 1966 г.
#физика #квант
