ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ 1971 ГОДА
Московский государственный университет
имени М. В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики
и кибернетики
1. Решить систему уравнений
|4 |g Ух + 2*+ 1 *= 3.
\24lgx-f 2-4*+’ = 37.
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
2. Найти вес решения неравенства
удовлетворяющие условию |]<
3. В поле работают тракторные брига-
ды, содержащие по одинаковому количест-
ву гусеничных тракторов и по одинаковому
количеству колесных тракторов, причем в
каждой бригаде число всех тракторов мень-
ше 9. Если в каждой бригаде число колес-
ных тракторов увеличить в 3 раза, а гусе-
икчных — в 2 раза, то общее число колес-
ных тракторов во всех бригадах будет на 27
больше общего числа гусеничных тракторов,
а в каждой бригаде число всех тракторов
превысит 20. Определить количество брнгад,
работающих в поле, и число гусеничных и ко-
лесных тракторов в каждой бригаде.
4. В прямоугольном треугольнике ABC
длина гипотенузы А В равна с, а угол при
вершине А равен а. На продолжении гипо-
тенузы А В за точку В взята точка М, а на
продолжении катета А С за точку С взята
точка N таким образом, что BM=CN. Най-
ти длину общей хорды двух окружностей,
описанных около треугольников ABC и AMN.
5. Основанием пирамиды SABCD слу-
жит прямоугольник, угол между диагоналя-
ми которого равен а. причем ос<;я/3. Высо-
та пирамиды проходит через точку пересе-
чения диагоналей основания и равна ft. Да-
на треугольная пнрамнда, имеющая ту же
вершину S. Основанием ее является треу-
гольник, одна вершина которого лежит на
середине большей стороны прямоугольника
ABCD, а две другие — на его диагоналях,
причем проекция вершины S на плоскость
основания лежит внутри этого треугольни-
ка. Найти объем треугольной пирамиды, ес-
ли известно, что ее боковые грани равне-
великн, а боковые ребра равны.
Отделение общей геологии
геологического факультета
1. Найтн все решения системы уравне-
ний
2. Автозавод изготовляет легковые и
грузовые автомобили. В первый лень было
изготовлено грузовых автомобилей на 100 ма-
шин больше, чем легковых. Во второй день
было изготовлено легковых автомобилей на
150 машнн больше, чем в первый день, а гру-
зовых — на 50 машин больше, чем в первый
день. Сколько легковых и сколько грузовых
автомобилей было изготовлено в первый день,
если во второй день было изготовлено машин
в 1,2 раза больше, чем в первый?
3. При каких значениях а кории квад
ратного уравнения
равны между собой?
4. Две окружности радиуса г касаются
друг друга. Кроме того, каждая нз них каса-
ется извне третьей окружности радиуса R
в точках А н В соответственно. Определить
радиус г, если АВ~-12 см. R-& см.
5. Найтн вес значения х, при которых
справедливо неравенство
Отделение геофизики
геологического факультета
Решить систему уравнений
0,5-3*+1 +7,5-5″-‘ = 12.
9*+ 5″ = 23.
2. Найти все значения х, при которых
справедливо неравенство
4-
(cos 2x -f- sin у = 2 cos» 30°,
\2 cos 4.x — sin у = sin 540°.
3. Решить уравнение
У 1— cos 2х = yfsin * [ cos x — — Y
4. Положительные числа alt а„, а3, at,
as в указанном порядке составляют геомет-
рическую прогрессию. Сумма логарифмов
чисел Oi, а3, о4 по основанию 3 равна 9. Оп-
ределить числа й|, а2, ая, а4. а*, если log3a4
вдвое больше log3 a%.
5. В треугольнике ABC со сторонами
АВ=УЗ см, ВС = 4 см, АС^УТ см
проведена медиана BD. Окружности, вписан-
ные в треугольники ABD н BDC, касаются BD
в точках М н N соответственно. Определить
длину отрезка AIjV.
50 ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ.
Химический факультет
1. Около окружности радиуса г описана
равнобочная трапеция ABCD. Е н К — точки
касания этой окружности с боковыми сто-
ронами трапеции. Угол нежлу основанием
АВ и боковой стороной AD трапеции равен
60°. Доказать, что прямая ЕК параллельна
прямой АВ, и найти площадь трапеции АВЕК
2. Решить уравнение:
T(x- о .Б)
хо. Sx« + cos« / М
3. Три экскаватора получили задание
вырыть по котловану: 1-й и 2-й —емкостью
по 800 м3, а 3-й — емкостью 400 л3. 1-й
и 2-й экскаваторы вместе вынимают за час
грунта втрое больше, чем 3-й. 1-й и 3-й эк-
скаваторы начали ргботу одновременно, а 2-й
— в тот момент, когда 1-й вынул 300 м*
грунта. Когда 3-й экскаватор выполнил
2/3 своей работы, 2-й вынул 100 м3 грунта.
Первым выполнил свое задание 3-й экска-
ватор. Сколько грунта вынул 1-й экскаватор
к моменту, когда 3-й закончил рыть свой
котлован?
4. Решить неравенство:
I — 1/ -п—
sin x — logs cos x
5. Правильная прямая треугольная приз-
ма АВСА’В’С описана около шара радиуса
г. Точка М — середина бокового ребра В’В’.
точка N — середина бокового ребра СС.
В шар вписан прямой круговой цилиепр
так, что его основание лежит в плоскости
AMN. Найти объем этого цилиндра.
Университет дружбы народов
имени Патриса Лумумбы
Физико-математический факультет
расстоянии s км от пункта В. Иэ пункта А в пункт
В вышел пешеход, а через Т часов в том же
направлении выехал велосипедист. Велоси-
педист догнал пешехода в р км от А, доехал
по В к сразу повернул обратно. Проехав
р км от В. велосипедист снова встретил
пешехода и, продолжая путь, вернулся
в А позднее, чем пешеход пришел в В. На
сколько раньше пешеход пришел в В, чем
велосипедист вернулся в А?
2. Решить систему уравнений-
f 2и + ь+ю = В,
\ Зы -f 2v -f в>= 9,
I Zu3+2v*+w3=27.
3- Решить неравенство:
cos x-cos 3* + cos22x << — -т- •
4. В шар радиуса R вписана пирамида
с квадратным основанием. Одно из боковых
ребер пирамиды перпендикулярно к плос-
кости основания, а наибольшее боковое
ребро образует с ней угол а. Определить
боковую поверхность пирамиды.
товарного. Определить скорость каждого
поезда.
2. Решить уравнение
2cos 2x-(ctg x— I)— l+ctg Jf.
3. Решить уравнение
|<я—2х—4| = Зх—2.
4. Высота цилиндра равна высоте кону-
са. Боковая поверхность цилиндра относит-
ся к боковой поверхности конуса как 3 : 2.
Кроме того, известно, что уюл, составленный
образующей конуса с плоскостью основания,
равен а. Найти отношение объема цилиндра
к объему конуса.
Экономический факультет
1. На одном из двух станков обрабаты-
вают партию деталей на три дня дольше, чем
на другом. Сколько дней продолжалась бы
обработка этой партии деталей каждым стан-
ком в отдельности, если известие что при
совместной работе на этих станках в 3 раза
большая партия деталей была бы обработа-
на за 20 дней.
2. Решить уравнение
2* + Ю 9
Инженерный факультет
1. Расстояние между двумя городами,
равное 600 км, товарный поезд проходит
на 8 часов медленнее пассажирского. Если
скорость каждого поезда увеличить на
10 км/час, то пассажирский поезд будет про-
ходить тот же путь только на 5 часов быстрее
3. Решить уравнение
2—2sin* Зх— tgs3x=0.
4. Найти объем конуса, описанного око-
ло правильной четырехугольной пирамиды,
сторона основания которой равна а, а дву-
гранный угол при основании равен 60
51 ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ.
