ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ 1971 ГОДА
Московский государственный университет имени М В. Ломоносова
Физический факультет
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ : страница
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (6 июнь 1972)
1. Решить уравнение:
3tg * G + cos 2x) = 2 (cos 2x — 1).
2. Решить неравенство
log| х + 2 log, (**) < 2.
3. Автомобиль едет из пункта А в пункт
С. От пункта А до пункта В, расположенного
между Л и С, он едет со скоростью 48 км/ч.
В пункте В он уменьшает свою скорость на
а км/ч @ < а < 48) и с этой скоростью
проезжает треть пути от В до С. Оставшуюся
часть пути от В до С он едет со скоростью,
которая на 2а км/ч превышает первоначаль-
ную скорость 48 км/ч. При каком значении а
автомобиль быстрее всего проделает путь от
В до С?
4. В правильную четырехугольную пи-
рамиду с вершиной S и основанием ABCD
вписана сфера. Сторона основания равна а,
боковое ребро равно а .К— . На апофеме SE
грани DSC взята точка М так, что SM —
— ME. Найти расстояние между точками,
в которых прямая. AM пересекает сферу, впи-
санную в пирамиду.
5. Пятиугольник ABCDE вписан в ок-
ружность. Точки М, Q, N и Р являются ос-
нованиями перпендикуляров, опущенных из
вершины Е соответственно на стороны АВ,
ВС, CD (нли их продолжении) и диагональ
AD. Известно, что ЕР = й, а отношение пло-
щади треугольника MQE к площади тре-
угольннка PNE равно k. Найти длину от-
резка ЕМ.
Факультет психология
1. Вычислить без помощи таблиц
loga24_ log, 192
logM2 log 12 2 ¦
2. Дан куб с основанием A BCD и боко-
выми ребрами А А’, ВВ’, СС, DD’. На про-
должении ребер АВ и ВВ’ соответственно
отложены отрезки AM и В’N длины
I / • 3
AM = — АВ и B’N _ 2В’В IBM — -^АВ;
BN =
Где на ребре СС надо
выбрать точку Р, чтобы сечением куба
плоскостью, проведенной через точки
Af, N и Р, был четырехугольник?
3. Найти все значения х, для которых
I I —
min 1 — х1, —2~
4
2
4. Рабочий изготовил некоторое коли-
чество деталей видов А и В, причем деталей
А он изготовил больше, чем деталей В.
Если бы он изготовил деталей А в 2 раза
больше, то общее число деталей было бы
меньше 32, а если бы он изготовил деталей В
в 2 раза больше, то общее число деталей было
бы больше 28. Сколько деталей А и сколько
деталей В изготовил рабочий^
5. При каких значениях а уравнение
sin
*А»г —
-^-Isin3jt-J- -о» —О
имеет ровво три корня, расположенные на
Московский институт инженеров железнодорожного транспорта
Специальности:
промышленное и гражданское строительство,
эксплуатация транспорта, экономика транс-
порта, строительство железных дорог
1. Экскаватор должен вырыть котлован
объемом 120 000 м3 в назначенный срок (не
более месяца). Если бы он ежедневно вынимал
на 100 мг грунта больше, то затратил бы на
выполнение всей работы на 14 дней больше
того времени, которое он тратит, чтобы вы-
рыть 7а котлована, работая по плану. В ка-
кой срок был вырыт котлован?
2. Решить уравнение
24
о
3. Хорда окружности равна 10 ел. Через
одни конец хорды проведена касательная
к окружности, а через другой конец — се-
кущая параллельно касательной. Определить
радиус окружности, если внутренний отре-
зок секущей равен 12 см.
4. Доказать тождество
51 ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 1971 ГОДА.
Специальности: автоматика, телемеханика
и связь. электрификация транспорта,
мосты и туннели
1. Двое должны выполнить .некоторую
работу. Вначале 2 ч работал первый затем
присоединился второй и вместе они работали
1 ч. Оставшуюся после этого работу второй
заканчивает за 3 ч. За какое время каждый
может выполнить всю работу, если первому
для выполнения работы нужно на 2 ч меньше,
чем второму?
2. Решить систему
г У
* ¦—
3. В ромб, сторона которого 20 см, впи-
сан круг. Найти площадь круга, если одна
4
диагональ ромба больше другой в —- раза.
4. Решить уравнение
3
sin4 х + cos4 х — 2 sin 2x — — sin2 2x =s 0.
4
Специальности: прикладная математика,
автоматизированные системы управления,
электронные счетно-решающие машины
1. Три совхоза расположены не на одной
прямой. Расстояние от первого до третьего
через второй вчетверо длиннее пути между
ними. Расстояние от первого до второго через
третий на а длиннее прямого пути. Расстоя-
ние от второго до третьего через первый рав-
но 185 км. В каком интервале находятся вес
значения а, для которых было бы возможным
указанное расположение совхозов?
2. Решить уравнение
I — 2х — х* = tg2 (х + у) + ctg2 (x + у).
3. Диагональ прямоугольного паралле-
лепипеда равна d и составляет с плоскостью
основания угол а, а с одной из боковых гра-
ней р. Определить объем параллелепипеда.
4. Решить уравнение
V 1 — 2 sin 4х -1- У~ cos 2х ¦¦-¦ 0.
Уральский государственный университет
Математико-механический факультет
1. Число I \- ~\/2 является корнем урав-
нения
х3 + охг + Ьх + 2 — 0.
Найти коэффициенты a, b уравнения и все
его корни при условии, что а и Ь — рацио-
нальные числа.
2. Треугольник АОВ повернут в своей
плоскости вокруг точки О на 9(Г, причем вер-
шина А перешла в вершину Аи а В — п В1.
Доказать, что в треугольнике ОАВХ медиана,
опущенная на сторону ABlt перпендикуляр-
на АгВ, а в треугольнике OAtB медиана,
опущенная на сторону А1В. перпендикуляр-
на АВу.
3. При каких х и у имоет место нера-
венство
log3 х + log* 3 + 2cos у ^ 0?
4. Найти все значения параметров а и
Ь, при которых система
-f tgxtgy= b
Физический факультет
1. По кольцевой железной дороге от
пункта Л, отправляется поезд, который по-
следовательно проходит пункты А,, А3, . . .
…. An, снова Alt А2, А3, . . . , Л„ и так далее.
Известно, что каждый последующий перегон
между соседними пунктами поезд проходит
со средней скоростью в q раз большей, чем
средняя скорость на предыдущем перегоне.
Определить, во сколько раз время, потрачен-
ное на прохождение т полных кругов, больше
времени, потраченного на первый круг.
2. Чорсз точку М, лежащую внутри
круга радиуса г, проведены диаметр АВ
и хорда CD так. что -i BMD — a, -J BDM
= р. Найти птощаль треугольника MBD.
3. Решить неравенство:
4. При каких значениях а уравнение
sin х — I
2 — sin x
~’~ а ~~ 3
имеет решение.
Московский инженерно-физический институт
Вариант I
1. Если двузначное число разделить на
сумму его цифр, то получится в частном 4 и в
остатке 3. Если же это число разделить на
произведение его цифр, то получится в част-
ном 3 н в остатке 5. Найти это число.
2. В трапеции, основания которой а и Ь,
через точку пересечения диагоналей прове-
$2
дена прямая, параллельная основаниям. Най-
ти длину отречка этой прямой, отсекаемого
боковыми сторонами трапеции.
3. Решить неравенство
У~Т -г Ух~р~7 -J- 2 Yxs-!-7
!< — 2х.
4. Решить уравнение
cos (л Ух — 4) cos (л Vx) ^ I.
52 ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 1971 ГОДА.
Вариант 2
1. Коллекция марок состоит из трех аль-
бомов. В первом альбоме содержится две
десятых всех марок, по втором альбоме —
несколько седьмых, в третьем же альбоме
303 марки. Сколько марок в коллекции?
2. Плоскость, параллельная основанию
и проходящая через центр вписанного в пря-
мой круговой конус шара, поделила конус
на две части одинакового объема. Намгн
угол между основанием и образующей ко-
Hvca.
3. Решить систему уравнений
4. Решить уравнение
sin4
sin* jt-i-cos1)-^- — a-j — a.
При каких значениях параметра а уравнение
имеет решения?
Новосибирский государственный университет
Специальности:
математика, физика, экономика
1. Радиус описанной около равнобедрен-
ного треугольника окружности равен 25 см,
а вписанной в него окружности — 12 см.
Найти стороны треугольника.
2. В равнобочной трапеции большее ос-
нование имеет длину а и разделено на 4 рав-
ные части. К точкам деления восставлены
перпендикуляры, разбивающие трапецию на
4 части — две средние и две крайние. Пло-
щадь одной средней части составляет 2,51
площади одной крайней. Найти длину .мень-
шего основания трапеции.
3. Найти псе решения уравнения
Специальности:
химия, биология, геология
1. Решить уравнение
2
2. Найти все решения уравнения
sin 2x
cos х -j- cos Зх = УI ~r
удовлетворяющие условию х*^. 15; указать
число этих решений.
4. Отрезки А В -^ AD — ребра куба. Че-
рез главную диагональ куба с концом в вер-
шине В и середину ребра AD проведена плос-
кость; расстояние от точки D до проведенном
плоскости равно h. Найти длину ребра куба.
удовлетворяющие условию |*|^;7. Указать
число этих решений.
3. В прямоугольный треугольник вписа-
на окружность радиуса г. Радиус окружности,
касающейся гипотенузы и продолжений ка-
тетоп, равен /?. Найти длину гипотенузы.
4. Дан прямой цилиндр с радиусом’ ос-
нования, равным г. Точка А, лежащая на
окружности верхнего основания, соединена
прямой с точкой В на окружности нижнего
основания. Длина дуги А’В (где А’ — про-
екция точки А на основание) равна /. Найти
площадь треугольника ABQ, где Q — сере-
дина оси цилиндра, если длина этой оси рав-
на h.
Московский текстильный институт
Вариант I
I. Упростить
3 1
окружности равен 5 см. Найти площадь кру-
га, вписанного в данный треугольник.
Вариант 2
1. Упростить:
4{ГГ +
I »
п~ -!- п
п3 -Ь п — 2
i х +
2. Решить неравенство
— V 4- х-4]/ х ,
0<х=?4.
2. Решить неравенство
loga х + logo (x + 1) < loga Bx + 6).
3. Решить уравнение:
V (х -Ь 2) (х — 7) > х — 5.
3. Решить уравнение
sin х tg x
cos х — 1
= 1.
}- cos 2x |- I = 0.
4. Сумма длин катетов прямоугольного
треугольника равна 14 см, а радиус описанной
4. Полная поверхность правильной тре-
угольной пирамиды равна S, а плоский угол
при вершине равен а. Найти радиус круга,
описанного окаю основания.
53 ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 1971 ГОДА.
