ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ 1971 ГОДА

Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :

страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)

Ниже текст для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Смотрите оригинал в формате PDF по ссылке выше.

Московский физико-технический институт

В а р и а н т 1
1. Из пункта А выехали три велосипедиста.
первый на один час раньше двух
других, стартовавших одновременно. Скорость
каждого велосипедиста постоянна.
Через некоторое время третий велосипедист
догнал первого, а второй догнал первого
на два часа позже, чем третий. Определить
отношение скоростей первого и третьего
велосипедистов, если отношение скорости
второго к скорости третьего равно
2 3.
2. Решить уравнение:
tg х -i- tg 2х + tg Зх + tg 4х = 0.
3. Окружность, вписанная в треугольник
ABC, делит медиану ВМ на три равные
части. Найти отношение ВС:СА:АВ.
4. Найти все решения системы уравнений՜
у2 — ху ■ • а՜՜ — г1,
х2 — хг ! г- ֊ у2,
г3 — у3 =֊- хг Ւ Уг ֊: **’■
5. Дана правильная треугольная пирамида
S.4BC (S — вершина). Ребро SC
этой пирамиды совпадает с боковым ребром
правильной треугольной призмы
/? iB ,C 4 2B 2S (AtA։ . B tB 2 и CS — боковые
ребра; — одно из оснований).
Вершины призмы Лг и В { лежат в плоскости
грани SAB пирамиды. Какую долю от
объема всей пирамиды составляет объем
ее части, лежащей внутри призмы, если отношение
длины бокового ребра пирамиды
к длине стороны основания пирамиды равно
2/ У з ?
В а р и а н т 2
1. Если двузначное число разделить
на произведение его цифр, то в частном
получится 3, а в остатке 9. Если же ил квадрата
суммы цифр этого числа вычесть произведение
его цифр, то получится данное
число. Найти это число.
2. Решить уравнение:
sin х -j- У 1 + sin 2х — co s х — — у .
3. В треугольнике ABC на стороне
АС взята точка AJ, а на стороне ВС — точка
N. Отрезки AN и ВМ пересекаются в
точке О. Найти площадь треугольника CMN.
если площади треугольников ОМА, ОАВ
и OB.V раины S b S 2. S-, соответственно.
4. Найти все решения системы урав-
иений:
У 5- г — 2х.
у4 -I Յշտ .-= 28л֊2.
у3 ւ- 8г3 (I/ — 4л)(1 — 4z -‘- 7ху).
5. В основанни пирамиды S-4BC лежит
правильный треугольник ABC, а все
боковые грани имеют равные площади. Ребро
S-4 равно 2 см, ребро SB равно У 2 см.
Через вершину В перпендикулярно к ребру
SC проведено сечение Пирамиды. Найти
площадь этого сечения

Московский институт радиотехники, электроники
и автоматики

В а р и а н т 1
1 . Решить систему уравнений:
УТ ֊;-՛ УГ — з.
х-т-У — 9-
2. Решить уравнение:
loga * ~ 1 — 2 log. у 7 4 ֊ i°g;x — 3.
logj — շ —
3. Найти решения уравнения
tg f x j — 3 tg2x — (cos 2x — l)sec*x.
удовлетворяющие условию x > 3 .
4. Про углы треугольника ABC известно.
что tg А : tg В : tg С ™ 1 : 2 : 3 . Найти
отношение синусов этих углов.
5. Доказать, что многочлен х8—х&+
+х® х—1 положителен при всех вещественных

43

В а р и а н т 2
1. Решить систему уравнений:
| уг — х у = — 12 ,
1 г — 28.
2. Решить уравнение:
2 logy х = log3x log3 (1 / 2х — 1 — 1).
3. Найти решения уравнения
~2~ (cos 5х + cos 7х) — cos2 2х sin* Зх = 0.
удовлетворяющие условию \х\<2.
4. Даны углы В и С треугольника
ABC {-4ВФ *ՀՇ). Найти котангенс острого
угла х, который образует медиана, выходящая
из вершины А, со стороной ВС.
5- Доказать, что при л > 0 . Ь> 0, с > 0
«.■ — Ь ’ f ^ ) ( — L + — i ֊ + — i — ) b
/
SMa !֊ b +c)i .

Московский областной педагогический институт
имени Н. К. Крупской

Математический факультет

В а р и а н т I
1. Угол при вершине осевого сечения
прямого кругового конуса равен 2а , а
высота конуса равна Н. Найти объем вписанного
в этот конус шара, а также площадь
полной поверхности конуса.
2. Решить уравнение:
_1_
6 tg2 х —
У I — cos2 х JL
COS X 6
3. Решить систему нераиенств:
< 1 .
о-
х- > х — 1 .
4. Найти целые числа х и у, удовлетворяющие
условию х*п~у*~\-2—4 ху.
В а р и а н т 2
1. Найти площадь полной поверхности
конуса, если радиус вписанного в него шара
равен R, а образующая конуса наклонена
к плоскости его основания под углом а .
2 . Решить уравнение:
l o g (I-*- cos х) 2 .
ь V շ sin х ‘ ‘
3. Решить систему неравенств:
х * + Sjf — 14
5 ֊
д — 2
X > т/х2 —
> ] ,
4. Найти всс шачення параметра т ,
при которых уравнения
х* + ( т 2 — 5т ֊ 6) х = 0
х- -г 2\ т — 3)х г (лл* — 7m ֊r 12) — 0
равносильны.

Физический факультет

основание
которого равно а, а угол при основании
а , вращается вокруг прямой, проходящей
через один из концов основания перпендикулярно
к нему. Найти площадь поверхности
получившегося тела вращения.
2 . Решить уравнение:
1 — cos 6х ՜ ՜ է§» Зх.
3. Найти числовое значение выражения
է 99а |-1 1 20 \ 4
Լ 5дг— 5 ‘ 5а 5 1 1
при 1,803 и Ь^£2.
а3Ь — ab
4. Найти область определения функции:

 

ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ, ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА

#физика #квант #АБИТУРИЕНТ

ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ