ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАССНИКОВ!

ЗАОЧНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА
ОБЪЯВЛЯЕТ ПРИЕМ УЧАЩИХСЯ

 

 ЗМШ принимаются только ученики восьмых классов. Школьники, проживаю-
щие в Москве, Ленинграде и их пригороди, в ЗМШ не принимаются. Занятия в шко-
ле начнутся с 1 сентября. В ЗМШ два курса. Ученики, успешно окончившие школу, получат свидетельство
об ее окончании. Обучение » школе бесплатное.
В этом номере «Кванта» предлагаются задачи, которые служат вступительной кон-
трольной работой в заочные математические школы при МГУ и ЛГУ. Те, кто хочет по-
ступить в ЗМШ, должны выслать решения >тих задач не позднее 10 марта
1972 г. После проверки работы (примерно в июле 1972 г | вам будет сообщено,
приняты ли вы в ЗМШ.

Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :

страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)

Хотя некоторые из вступительных задач по внешнему виду отличаются от обыч-
ных школьных, для их решения не требуется никаких дополнительных знаний по ма-
тематике.
Для того чтобы быть принятым в школу, не обязательно решать все задачи без
исключения. При оценке работы будет учитываться не только количество решенных
задач, но и качество решения. Решение каждой задачи должно быть обосновано. От-
вет без всяких объяснений может быть не засчитан. Если в задаче возможно несколь-
ко разных ответов, то надо указать их все.
Работы должны быть выполнены нв русском языке в ученическом тетради в клетку.
Вступительные работы обратно не высыпаются.
Просим при пересылке не сворачивать тетради в трубку. В конверт вместе с тет-
радью нужно вложить листок бумаги размером UX4 см с написанным в нем вашим
почтовым адресом (мы наклеим его на конверт, когда будем посылать отает|.
На обложку тетради наклейте лист клетчатой бумаги, разграфив и заполнив его
по следующему образцу (иначе ваша работа проверяться не будет!):
Область:
Фамилия, имя, год рождения:
Школа (полное название):
Класс:
Фамилия, имя, отчество учителя математики:
Место работы и должность родителей:
Полный почтовый адрес:
Результаты проверки (заполняется проверяющим]
Вологодская.
Иванов Петр, 1957 г.
Школа Hi 2 г. Тотьмы
8 класс «?».
Ииканоров Николай Алексеевич
Отец — шофер автобазы JA 3,
мать — домашняя хозяйка.
г.Тотьма, ул. Ленина, д. 3,
кв. 8

Школьники, проживающие в Архангельской, Вологодской, Калининградской, Ле-
нинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской областях, Коми и Карельской
АССР, Белорусской, Латвийской, Литовской и Эстонской ССР, должны высыпать работы
по адресу: Ленинград, П-228, ул. Сааушкина, 61, Слецннтернат при ЛГУ, Заочная школа.
Нв конкурс.
Школьники, проживающие в остальных областях и республиках СССР, должны вы-
сылать работы по адресу: Москва, В-234. МГУ, мехмат, ЗМШ. На конкурс.

66 ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАССНИКОВ. 

Условия задач  вступительной контрольной работы  в ЗМШ 1972 года

1. На кольцевой дороге проводит-
ся эстафета мотоциклистов. Старт и
финиш находятся в одном и том
же месте. Какое наименьшее число
этапов может быть в этой эстафете,
если длина кольцевой доро-
ги — 330 км, а длина каждого эта-
па — 75 км? (Движение по дороге
одностороннее.)
2. В треугольнике центры впи-
санной и описанной окружностей сим-
метричны относительно одной из
сторон. Найдите углы треугольни-
ка. _
3. Пусть хг и х2—корни уравнения
дс2+ах+6с=0, а хх и х3 — корни
уравнения x2-bcx+afr=0. Докажите,
что хг и х3—корни уравнения
х2+6х+яс=0,если ас не равно be.
4. Двое играют в такую игру.
Перед ними на бумаге в цепочку
нарисовано несколько минусов. Каж-
дый по очереди переправляет один
или два соседних минуса на плюс.
Выигрывает тот, кто переправит по-
следний минус. Кто выиграет при
правильной игре: начинающий или
его партнер и как ему надо для этого
играть, если вначале нарисовано:
а) 7 минусов; б) 8 минусов; в) п ми-
нусов?
5. В треугольнике ABC проводят-
ся биссектриса А К и медиана AM.
Чему может равняться отношение
сторон А В к АС, если известно,
что один из отрезков ВМ, МК,
КС равен полусумме двух дру-
гих?
6. В каком году родился Матвей,
если в 1972 году ему. исполнилось
столько лет, какова сумма цифр го-
да его рождения?
7. Существует ли хотя бы одно
число а такое, что оба числа
а + УТЕ и -1- — УТ5 целые?
8. АС и BD — две взаимно пер-
пендикулярные хорды круга. Пер-
пендикуляр, опущенный на пря-
мую CD из точки А, пересекает
прямую BD в точке М, а перпенди-
куляр, опущенный на прямую CD
из точки В, пересекает прямую АС
в точке К. Докажите, что АВКМ—
ромб.
9. Один из пяти братьев разбил
окно. Андрей сказал: «Это или Витя,
или Толя». Витя сказал: «Это сде-
лал не я и не Юра». Толя сказал:
«Вы оба говорите неправду». Дима
сказал: «Нет, один из них сказал
правду, а другой — нет». Юра ска-
зал: «Нет, Дима, ты неправ». Их отец,
которому, конечно, можно доверять,
уверен, что не менее трех братьев
сказали правду. Кто разбил окно?
10. Среди всех треугольников, у
которых сумма медиан равна 3 см,
найти треугольник с самой большой
суммой высот.
11. Придумайте четыре тройки це-
лых неотрицательных чисел такие,
чтобы каждое число от 1 до 81 можно
было представить в виде суммы че-
тырех чисел — по одному из каждой
тройки.
12. Дан равносторонний треуголь-
ник ABC. Про точку М известно,
что -? АМС = 30°, -4 ВМА = 40°.
J}ABM>№. Найдите
67

67 ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАССНИКОВ. 

Физико-математическая школа   при МИИТе  А. Л. Садовский

В январе 1968 года в
Московском институте ин-
женеров транспорта была
организована вечерняя фи-
зико-математическая шко-
ла. Первоначально в ФМШ
принимались все, кто
хотел углубленно изучать
математику и физику как
в объеме школьной прог-
раммы, так и за ее предела-
ми. Однако уровень по-
сещающих ФМШ оказался
очень пестрым. Некоторые
из поступавших не ожидали,
что в вечерней школе им
придется тоже трудиться,
и потому довольно быстро
охладевали к ней.
Пришлось обратиться к
испытанному средству: вес-
ной и осенью, когда фор-
мировался набор 1970 года,
были проведены конкурсные
экзамены. Эти экзамены
состояли из трех этапов:
письменная работа (две за-
дачи по физике, три —
по математике) и устные
экзамены по физике и по
математике. В результате
отбора из 320 кандидатов
было принято 250 учеников
(ПО в девятые и 140 в деся-
тые классы), из которых
были составлены два
потока, один девятых, а
другой десятых классов.
В 1971 году были сфор-
мированы два потока деся-
тиклассников (из учивших-
ся в предыдущем году в девя-
том классе и из вновь прння-
тых). поток девятиклассни-
ков н поток восьмиклассников.
Занятия в ФМШ прово-
дятся следующий образом:
по средам читается лекция
по физике и проводится
семинар по математике,
а по пятницам — лекция
по математике н семинар
по физике. Продолжитель-
ность лекций и семинаров
равна двум академическим
часам. Лекции читают про-
фессора, преподаватели н
аспиранты института; за-
нятия проводят студенты
факультета «Автоматика и
вычислительная техника»
(специальности «Приклад-
ная математика») и других
факультетов МИИТа. Среди
руководителей групповых
занятий много выпускников
специальных фнзнко-мате-
матнческнх школ.
В работе школы и в ее
программе два основных
направления. Первое ¦ из
них — более детальное изу-
чение традиционного школь-
ного курса и совсем близких
к нему разделов математики
и физики (элементы комби-
наторики, комплексные чис-
ла, многочлены и алгебраи-
ческие уравнения и другие).
Второе направление — раз-
витие математической куль-
туры и расширение круго-
зора учащихся. С этой
целью читаются циклы
лекций, посвященные спе-
циальным вопросам, ле-
жащим за пределами школь-
ной программы: геометри-
ческие преобразования,
понятие о геометрии Лоба-
чевского, элементы теории
множеств, теории действи-
тельных чисел, элементы
теории вероятностей и тео-
рнн игр.
Известно, что проблемы,
стоящие перед учениками
ФМШ, различны: десяти-
классники стремятся под-
готовиться к конкурсным эк-
заменам в ВУЗ или во ВТУЗ,
девятиклассники пока такую
задач у перед собой не ставят.
В связи с этим программа
у самых старших более ути-
литарна, то есть в препода-
А. Л. Садовский
ваннн им материала мы
придерживаемся, в основ-
ном, первого направления.
Совсем иной подход к уча-
щимся девятых классов.
Принимая во внимание име-
ющийся у них резерв вре-
мени, физико-математи-
мени, физико-математическая школа создаст базу,
состоящую из таких фун-
даментальных теорий, как
теория множеств, основы
математического анализа,
чтобы потом, опираясь на
этот базис, преподавателям
было бы легче объяснять
элементарный курс мате-
матики, а школьникам —
воспринимать.
Несколько труднее при-
ходится нашим физикам,
так как в обыкновенной шко-
ле физике зачастую уделяют
недостаточно внимания, воз-
никает необходимость испра-
вить некоторые недочеты сво-
ими силами. Этот фактор ока-
зывает существенное влия-
ние на всю программу
ФМШ по физике, которая,
практически, не преду-
сматривает изучение многих
интересных проблем и задач,
не входящих в стандартный
школьный курс.
Организационная работа
в ФМШ ведется в двух
секциях: физики и матема-
тики. Руководящим органом
школы является Совет
ФМШ во главе с председа-
телем Совета, проректором
института по учебной рабо-
те, профессором И. П. Исае-
вым, зам. председателя
по общим вопросам доцен-
том В. И. Малаховым и
завучем студентом Викто-
ром Матвсйчуком. В Совет
ФМШ входят по четыре
студента — представителя
секции физики и матема-
тнкн.

68 ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАССНИКОВ. 

Каждую неделю секции
проводят методический се-
мннар для преподавателей—
студентов, на котором
обсуждаются темы занятий,
отобранные задачи, прин-
ципы их решения и другие
вопросы. Этн семинары про-
ходят в непосредственном
хонтакте с лекторами. Боль-
шую помошь в этом физико-
математической школе ока-
зывают доценты В. И. Ко-
ровин, А. С. Дробат,
Т. Л. Шульман, профессор
Е. С. Вентцель н мно-
гие преподаватели кафедры
«Прикладная математика».
Издательство МИИТа преду-
сматривает издание методи-
ческих пособий для слуша-
телей школы. Одной из це-
лей фукцноннропання школы
является Подготовка абиту-
риентов в МИИТ. который
практически превратился
в современный политех-
нический институт.
Преподаватели ФМШ уча-
ствуют н в проведении тради-
ционных олнмгнад МИИТа
по математике н физике.
13 1971 году кафедра вы-
числительной математики
провела V олимпиаду по
математике. а кафедра
физики IV олимпиаду
по физик*. Ниже приво-
дятся некоторые из олнмпи-
адных задач по матема-
тике.
Задачи
1. На плоскости даны
две прямые и точка. На
одной из прямых найти
точку, равноудаленную от
другой прямой н заданной
точки.
2 И ¦ А в В ¦ отправлен
поезд из л вагонов, часть
из которых загружена, ва-
гоны пронумерованы по
порядку, сумма номеров
загруженных вагонов крат-
на At, где ?>л. На перегоне
сосгая может подвергнуться
нападению грабителей, хо-
горые могут очистить не
более одного вагона. В
пункте В известны числа
п и ft. Kax после проверки
всех вагонов узнать, было
лн ограбление, и какой
именно вагон был ограблен?
3. Доказать. что для
многочлена P(n)=aJ9ttnltM \
+ …+о,л-‘-о(| с натураль-
ными коэффициентами най-
дется такое натуральное
п0, при котором Р (пв) не
является простым числом.
4. Многочлен / (х)—
=апх»+ … +а,х+ас прн
делении на х—а дает в
остатке с*, прн , делении
на х—ft дает в остатке
frs, а при делении на (х—с)
дает с3. Найти остаток от
деления многочлена / (х)
на [х—а) (х—Ь) (*—с), где
а. Ь, с — попарно не равные
между собой числа.
5 Дан квадрат со
стороной 1. Дохазать, что
как бы нн было велико
число N. можно построить
систему не перекрывающих-
ся кругов, целиком лежа-
щих внутри квадрата и
таких, что сумма длин
их будет больше N, а сумма
их площадей меньше ¦ „л .
6. Дано 2л цифр ах.
ds On, On+i.-.., «»п
Число А, образованное
первыми л цифрами, в 2 раза
больше числа В, образо-
ванного остальными цифра-
ми. Сумма первых л цифр
равна сумме вторых л цифр.
Доказать, что сумма всех
цифр делится на 9.
7. Обезьяна Чи — чн —
чн собирала бананы. Ей
удалось собрать 100 бана-
нов. Когда доктор Айболит
взвесил эти бананы, то вы-
яснилось, что они весят 10 кг.
однако ни один банан
не весил более 200 г. Дока-
зать, что этими бвчачамн
Ямс. 2
можно накормить Тяни —
Толкая так, чтобы он не
обиделся (рис. I).
Примечание: Тя-
ни — Толкай обидится, еглн
одна голова съест бананов
хотя бы на 100 г больше,
чем другая; в противном
случае он не обидится.
8. График функции у
пересекает прямую у=а
в точках /I, Ап, а пря-
мую у—Ъ в точках В1(…
…, Вп. Прямые AiBi об-
разуют с осью абсцисс
углы а,-. Доказать, что
В. В «ыпуклом л-уголь-
нике проведены асе диаго-
нали. На каждой стороне
н диагонали проставить
стрелки таким образом,
чтобы не получалось циклов.
Циклом называется зам-
кнутая ломанаи линия,
на каждом эвене которой
стоит стрелка так, что на-
чало каждой стрелки совме-
щено с концом предыдущей
(пример цикла изображен
на рисунке 2).
10. Из точки вне круга
провести секущую так,
чтобы оиа делилась окруж-
ностью пополам.
11. Доказать, что между
л н ПI находится по крайней
мере одно простое число.
12. На прямой звдаиа
совокупность отрезков, нэ
которых каждая пара
имеет не менее одной общей
точки. Доказать, что вес
отрезки имеют по крайней
мере одну общую точку.

69 ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАССНИКОВ. 

К статье «Как получаю! низкие
температуры»
1. В детандере процесс расширения про-
текает настолько быстро, что теплоотдача
не успевает произойти. Дроссель же доста-
точно хорошо теплоизолирован.
2. Нельзя. Потому что в ферромагнети-
ках элементарные магниты не ралориентн-
рованы. Намагниченность ферромагнетиков,
особенно при низких температурах, практи-
чески не зависит от магнитного поля. Они
намагничиваются до насыщения в слабых
полях.
3. В джоулях/градус. В таких же едини-
цах измеряется теплоемкость тела (не удель-
ная, а полная).
К статье «Применение неравенства
Буияковского — Кошм
к решению некоторых задач»
1. а) Сначала надо показать, что
Sin*x-f-sin2|-Q-
Тогда
-И
,,/л \ 3
 Т-‘ГТ1
(аа
Ч- с*)
б) показать, что
sin4 (x+(/)+sins (x—y)+cos 2х cos 2y
Тогда гт,х = Уаг+Ь* + с* \
в) предварительно доказать, что
cos*x+cosVr-cos**+2 cos х cos у cos z** I.
Тогда umtx — Уаг-fb*-
г) Мшэх = К 2 V^i
так как sin2 x+sin2 y+sin* z-l-sin1 t )
-T-2 cos (x+y) cos (у+г) cos (z-f x) = 2;
Д) J/max^Jfli»l»fl2″t»—1 ‘i °n’
2. —aft^U^Q^.
3. Указание. В неравенстве (*)
положить
4. Указание
дущее неравенство:
Используем преды-
5. У к
ПОЛОЖИТЬ
тогда fljfcj^
70
а э а н и е.
В i
л
<еравенс1
К заяаче «Числовой треугольник»
(см. стр. 25)
В средней строке стоят числа вида п*~
—л-f-1. Отсюда уже легко вывести все три
свойства.
К статье «Опыты с маятниками»
2. Грузик .маятника с раздвоенным под-
весом описывает восьмерку, когда периоды
колебаний по осям хну относятся как I : 2,
то есть при L=4/. Точно подобрать такое
отношение периодов довольно трудно, по-
этому получаются превращения траектории
нз восьмерки в С-обраэную и обратно.
3. Один маятник «секундный», длину
его (/ = -j-g- х I м) можно отмерить линей-
кой. Длина другого подбирается экспери-
ментально так, чтобы совпадали моменты
наибольшего отклонения через 5 полных
периодов «секундного маятника.
К статье Иррациональные уравнения
1. Нет решений.
2. х—2. У к а за и и е.
Переписать
уравнение в виде ]/х + 2=У&х + 2 и воз-
вести в шестую степень; при >том учесть
дополнительное условие х^—*/».
3- *i—»/и?, х,—— */4?. Указание.
Привести левую часть к общему знаменате-
лю, возвести уравнение в седьмую степень,
а затем нз обеих частей извлечь корень вось-
мой степени; в результате получится урав-
нение |И-12И—128 х.
4. х,«=3, х2^5. Указание. Числи-
тель дроби в левой части есть сумма кубов
5. Нет решений. Указание. По-
ложить у = ~\/х— 2-
Указание. Положить
7. Х|=1. х4-—6. Указа и и е. Пре-
образовать уравнение к виду У (х — 2)* +
+ У{х — 2)(х + 7)+ ^(х + 7)* ^3 и умно-
жить обе его части на V^x + 7 у ¦* 2-
8. х = а + -2″—
прн fl<0 решений нет.

70 ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАССНИКОВ. 

»• x = Г7=’ при 0<а<1; при осталь-
1 — у а*
ных значениях а решений нет.
К вариантам вступительных экзаменов
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Факультет вычислительной математики
н кибернетики
I. х^Ю-
2. л/в<|д|^л/|. 3. Бригад три; в каждой
бригаде 3 гусеничных и 5 колесных тракто-
ров. 4. с sin ~n~ • Указание. Рассмот-
реть на окружности, описанной около тре-
угольника ABC, точку пересечения с пер-
пендикуляром, восставленным из середины
катета ВС. 5.
/i*lsina
3lcosa+ sin-g-
Отделение общей геологии
геологического факультета
где
к и л—любые целые числа. 2. 450 легковых
и 550 грузовых автомобилей. 3. a=V».
4. г — 24 см. 5. -3/8<х<-и/|в.
Отделение геофизики
геологического факультета
1х-1. «/=—1. 2.
. 3. х=— —
2ft.-t. где к — любое целое число. 4. 3, 9.
27. 81, 243. 5.
см.
1
Химический факультет
9Т/3~
—l— тг Указание. Убедкть-
4
ся, что -iDKE=-4CEK. Продолжив боковые
стороны AD и ВС трапеции до пересечения
в точке М, выразить углы DKE_ и DAB через
угол A MB и доказать, что
2. х.= 1.х,
3 600 л3. 4. -^-
г*е п — любое число. 5.
9л
9л
.—-г3. Указание. Центр шара О ле-
жит d середине отрезка (длины 2г), соеди-
няющего центры правильных треугольников
ABC н А’В’С (в каждый из этих треуголь-
ников может быть вписана окружность ра-
диуса г). Основанием цилиндра служит
круг, получающийся в сечении шара плос-
костью AMN, а высота цилиндра равна удво-
енному расстоянию от центра шара О до этой
плоскости. Доказать, что основание перпен-
дикуляра, опущенного из точки О на плос-
кость AMN, лежит на высоте треугольника
AMN, опущенной из вершины А, и вычис-
лить длину этого перпендикуляра.
УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ
Физико-математический факультет
1. На Т\\ — у -Ь 2^5J часов. 2. Hl=l,
n
3. — -g- -f кл < x < — arccos ^
, V’lO я
«+» kn, arccos—T- -f- вл <x<3 -g- + fert,
где ft — любое целое число.
( sin a +l/ sin*a ^—g- cos*a 1
Инженерный факультет
1. Скорость пассажирского поезда
50 км.’час. скорость товарного 30 ки/час.
2. *, ==-JjL+fci. х,=(-1)п-^-+^-,
где кип— любые целые числа. 3. х, — 2.
.4. 27:16 sin^a.
Экономический факультет
I. 12 дней первым станком и 15 дней
вторым станком. 2. х— 3. 3. х = ± ¦То’ +
+ ~т~, где к — любое целое число.
12
К заметке «Физико-математическая школа
при МИ И Те»
1. Использовать подобие.
2. На станции В надо сложить номера
всех загруженных вагонов и разделить па
k эту сумму, k минус остаток равно номеру
ограбленного вагона.
3. Запишите многочлен в виде Р (п) =
¦f flo(l-l) +
XQ(n) -{-А; где Q (л)—некоторый многочлен,
А — натуральное число и Аф\. Подставьте
A+i

71 ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАССНИКОВ. 

4, По теореме Безу
Разделить / (х) на (х — а) {х — Ь) {х — с)
означает представить / (х) в виде
/ (х)=(х — а) {х — Ь) (х — с) 0 (x)+ptJr*+
+Рг*+Рз-
Подставляя в это равенство последователь-
но х=а, х=Ь. х—с, получим систему урав-
нений для неизвестных pt, pt, рз-
5. Надо построить Л’4 кругов с раднуса-
I ^ 2п
Тогда L =
2Л’8
б. С одной стороны А и В дают одина-
ковые остатки при делении на 9. С другой
стороны А дает вдвое больший остаток. От-
сюда легко выводится, что н А и В делятся
на 9.
7. Есть банан, который веент менее
100 г, кладем его в карман. Кормим головы
Тянн — Толкая по очереди: как только одна
начинает обижаться — кормим ее. Послед-
ний банан отдаем обидевшейся голове.
8. Достаточно заметить, что At есть
действительный корень уравнения л11
+aiJtn-4-…-t-0n— о, a Bt есть действитель-
ный корень уравнения xn+alx»-l+…-\-an—
—Ь. Отсюда легко выводится требуемое ра-
венство.
9. На плоскости найдется прямая, не
параллельная сторонам н диагоналям мно-
гоугольника, ибо их конечное число. Пустим
все стрелки по направлению к этой пря-
мой.
11. Рассмотрите число Лг=п1—1 и его
простой делитель р, который не превосхо-
дит Л’. Нетрудно видеть, чтор>л, в против-
ном случае Лг — nl=l делится на р.
12. Надо рассмотреть самый правый из
левых концов отрезков, и самый левый
из правых концов, отрезков. Затем пока-
зать, что самый правый ке правее самого
левого.

72 ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАССНИКОВ. 

Квант для младших школьников

1. Под окном у стены расположена батарея парового отопления.
Трубы, по которым к батарее подводится горячая вода и отводится хо-
лодная, находятся слева. Справа в батарее имеются отверстия, закрытые
с помощью ввинченных пробок. Сильный человек берется завинтить эти
пробки с помощью гаечного ключа. В каком случае он закрутит эти
пробки сильнее: когда резьба на них правая или когда резьба левая?
Пробки завинчивают, плавно нажимая на ключ, а не ударяя по нему.
2. Сколькими нулями оканчивается произведение всех чисел от 1
до 100?
3. Имеется пять электрических лампочек на 110 в мощностью 40,
40, 40, 60 и 60 вт. Как следует включить их в сеть с напряжением 220 в,
чтобы все они горели полным накалом?
4. Пароход от Киева до Херсона идет трое суток, а от Херсона до
Киева четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть пло-
ты от Киева до Херсона?
5. Утка при ходьбе переваливается с боку на бок, а курица нет.
Почему?
6. Почему зимой при резком потеплении на стенах кирпичных до-
мов появляется иней? Почему иней редко появляется на стенах деревян-
ных домов?

73 ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАССНИКОВ. 

КОРОТКО ОБ ЭКСПОНЕНТЕ

Очень часто мм нстрс/яаи н с иг.шчпнн
Mil. НЛМ.-НСННН КОТОрЫХ lipOIIOpillKIIIH.IMIIJ
самим мим нсличинам. Например, и <мопо-
i’iic числа бактерий к колонии (Ц постоян-
ных у< юонях) пронорцнонл 1ыго н.\ числен
liocTii. ll.JMfin.MiKf атмосферного диплопии с
|1мс«ПоГ| пропорционально величине даилс-
имя. Число распадающ||\сн в одншшу
времени атомоь раднолктниногп
¦ipoiiopi.noii.i.ii.iki числу ;itomdh и
Прирост населении на л-м.и: iipp
.«•(с чщ.:кан6стц н.-кчмспня и г. д. Матемн-
Т1ИН.-СК)Г^ИС.С 110,1114111114. КОКфМс HJMirUMIOrfH
подобным обрг.юм, нырижщит.-я функцией,
которая обладает слсдукишщ нажим»
c-iiohc-tiiom: тангенс утла иак.’шия Katvi7v.il.-
ной к осп абсцисс н каждой ючко нроипр-
iiiioic. ien Mia’iLiniK) функции » «юн точке
(см. рисунок).
Таким спинетом (Ллодиет иокапнР.- к.кия
ф\’11КЦ1(Я УСТМГ.
Важное Л1ячс11не имеет чя« тчый случай
ф;якн»и. ко| in аяс
Эга санкция ноепт специальное
!»к с i: о и с и т а.
Число е—ирранномалыни- число, рашкн
2.718..
Ил всех нок.чмтольных функций ее ныде-
.•jwt-T то. чти тлигенс угла наклона киса-
tc.ii.ihjh к iрафику экспоненты и любой точ-
ке не пропчрннонллс.!. а ранен значению
функции в угли точке. Дли Теч, ьти :«няет.
что такое нро(мсюлная. •мвжЛм сше и так:
нрон.нюдням фикция е* рашы е*. С »кспо-
нентой читателям нашего жчрпвля придет-
ся IICTpi-ЧЛТЬСЧ IWiilb 4;iCTt».
IJOT HCKOTOJll.il.- 14″ CUOllCTUJi:
I e^i + *t — e*ie*t.
2. 1хлн .t, — дгг. то e*i < e>i
3. При x l можни ноль юплтг.ся прибли-
женной формулой е1′ 5 1 x.

74 ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАССНИКОВ.

 

ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАССНИКОВ