§ 19. Электростатика.
Глава III . ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Страницы переведены на новый сайт:
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ
https://myeducation.su/sbornik-zadach-po-elementarnoj-fizike/
можете посмотреть текст для быстрого ознакомления (в них формулы отображаются не корректно). Эти тексты и форма поиска на сайте помогут Вам быстрее найти нужную информацию.
409. С какой силой взаимодействовали бы точечные заряды
в один кулон, находясь на расстоянии \ км друг от
друга?
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ.
Свойства пара.
410. Сравнить силы гравитационного и электрического
притяжения между электроном и протоном.
411. Предположим, что сила, действующая между двумя
точеными зарядами, зависит от расстояния, как 1/rV
где 1) а > 2 ; 2) а<;2. Как будет вести себя точечный заряд,
помещенный внутрь равномерно заряженной сферы? В начальный
момент времени точечный заряд покоился.
412. Два маленьких шарика, заряженные: равными, но
разноименными зарядами, закреплены в горизонтальной
плоскости на некотором расстоянии а друг от друга. Третий
заряженный шарик подвешен на нити. Точку подвеса
один раз перемещают так, что этот шарик в состоянии равновесия
оказывается точно над первым закрепленным шариком,
на расстоянии а от него, а другой раз —- над вторым.
Найти углы отклонения нити от вертикали, если известно,
что над первым шариком угол отклонения в два раза больше,’
чем над вторым.
413. На расстоянии d от большой проводящей пластины
находится точечный электрический заряд + q. С какой-еи-
лой действует на него пластина?
414. Два заряда + Q неподвижны и расположены на
расстоянии а друг от друга. Вдоль оси симметрии системы
этих зарядов может перемещаться третий заряд —q, обладающий
массой т. Считая расстояние заряда —q от прямой,
соединяющей заряды +Q, малым, определить период колебаний
заряда —ц.
85 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. ТЕПЛОТА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. Электростатика.
415, Тонкое проволочное кольцо радиуса R несет электрический
заряд q. В центре кольца расположен одноименный
с q заряд Q, причем Q^>q. Определить силу, с которой
растянуто кольцо.
416. Тело массы т подвешено на нити длины I
(рис. 157). На расстоянии h под ним находится бесконечна
концах которой находятся равные точечные массы
т (т= 1 0 » 24 г), несущие заряды +<у и —q соответственно
(q—15,7* Ю-20 Кл).
418. Три одинаковых положительных з а р я д а ^ расположены
в вершинах равностороннего треугольника. Сторона
треугольника равна а. Найти напряженность поля в вершине
правильного тетраэдра, построенного на этом треугольнике.
■ ‘
419. Два точечных заряда qx и qt расположены на расстоянии
d друг от друга. Найти напряженность электрического
поля в точке, находящейся на расстоянии гх от заряда
qx и гг от заряда q2. Рассмотреть случаи разноименных
и одноименных зарядов.
420. Найти напряженность поля электрического диполя
с моментом p—ql в точке, отстоящей от оси диполя на расстояние
г (г> /), в Двух случаях: 1) точка лежит на прямой,
проходящей через ось диполя; 2) точка лежит на прямой,
перпендикулярной оси диполя.
П р и м е ч а н и е . В простейшем случае электрический
диполь представляет собой два одинаковых, но разных
по знаку заряда ( + 9 и —q). Важной характеристикой
диполя является его электрический момент p=ql. Электрическим
дипольным моментом называется вектор, направленный
от отрицательного заряда к положительному и численно,
равный p—ql, где 1 — расстояние между зарядами, образующими
диполь.
86 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. ТЕПЛОТА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. Электростатика.
421. Положительный заряд Q равномерно распределен
по тонкому проволочному кольцу радиуса R. Найти напряженность
электрического поля на оси кольца в зависимости
от расстояния г до центра кольца.
422. Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет электрический
заряд’ + Q, Как будет двигаться точечное тело
массы т, имеющее заряд —q, если в начальный момент времени
оно покоилось в некоторой точке на оси кольца на
расстоянии x<<tR от его центра? Кольцо неподвижно..
423. Исходя из соображений размерности, найти (разумеется,
с точностью до числового коэффициента) напряженность
электрического поля, создаваемого: 1) бесконечно
протяженной пластиной, заряженной с поверхностной плотностью
о; 2 ) бесконечно длинной нитью, заряженной с линейной
плотностью т.
424. Прямоугольной металлической пластинке со сторонами
а и & сообщен заряд -f<jr. Толщина пластинки с много
меньше а и Ь. Определить напряженность поля, создаваемого
этой заряженной пластинкой в точках пространства,
близких к центру пластинки.
425. Две металлические параллельные пластины, площадь
каждой из которых равна S, несут заряды Qi и Q2. .
Расстояние между пластинами много меньше их
линейных размеров. Определить напряженность ^
электрического поля в точках А, В, С (рис. 158).
. 426. Чему равна напряженность электрического
поля на поверхности проводника, если f
плотность поверхностного заряда о?
427. Все пространство между двумя бесконечными
параллельными пластинами занимает
заряд с постоянной объемной плотностью р.
Расстояние между пластинами а. Найти зави-
симость напряженности электрического поля от
расстояния, отсчитанного от середины между пластинами.
,428. Внутри шара радиуса R имеется объемный заряд
постоянной плотности р. Найти зависимость напряженности
электрического поля от расстояния до центра
шара.
429. Найти напряженность электрического поля внутри
и вне бесконечно длинного цилиндра, заряженного с
объемной плотностью р. Радиус цилиндра R.
430. Внутри шара, заряженного с постоянной объемной
плотностью р, имеется сферическая полость. Расстояние
между центрами шара и полости равно а. Показать, что на-
87 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. ТЕПЛОТА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. Электростатика.
пряженность Е электрического поля внутри полости равна
Е—ра/Зе„ и направлена вдоль прямой, соединяющей центры,
сфер. .
431. Внутри цилиндра, заряженного с постоянной объемной
плотностью р, имеется цилиндрическая полость. Расстояние
между осями цилиндра и полости равно а. Показать,
что напряженность Е поля внутри полости равца
£ = р а /2е0 и направлена параллельно перпендикуляру,
соединяющему оси.
432. Молекула находится на расстоянии г от оси бесконечно
длинного металлического цилиндра. Цилиндр заряжен
равномерно так, что заряд, приходящийся на единицу
его длины, равен т. Молекула представляет собой «гантель-
ку» длины X, на концах которой находятся заряды + q и
—q. Определить сиЛу, действующую на молекулу.
433. На некотором расстоянии от оси равномерно заряженного’
цилиндра находятся две молекулы равной массы.
Одна молекула имеет постоянный электрический момент
p=qX (см. задачу 420). Расстояние между зарядами другой
молекулы определяется соотношением qE~kX, где Е —
средняя напряженность поля, действующего на молекулу,
k — постоянный коэффициент. В начальный момент электрические
моменты молекул одинаковы, а их скорости равны
нулю. Какая молекула под действием силы притяжения
быстрее достигнет поверхности цилиндра?
434. Прямоугольной металлической пластинке со сторонами
а и Ь сообщен заряд -\-q. Толщина пластинки с много
меньше а и Ь. К центру пластинки на расстояние d подносится
точечный заряд + Q- Расстояние d много меньше сторон
пластинки. Определить силу, с которой действует Пластинка
на заряд 4-Q. В каком случае положительно заряженная
пластинка будет притягивать положительный заряд?
435. Внутри шара радиуса R имеется объемный заряд
постоянной плотности р. Найти зависимость потенциала от
расстояния до центра шара.
436. На расстоянии d от точечного заряда q расположен
центр незаряженного проводящего шара радиуса R. Чему
равен потенциал шара?
437. На расстоянии R от точечного заряда +<7 расположен
проводящий шар радиуса г, соединенный тонкой
длинной проволочкой с землей. Определить величину отрицательного
заряда, индуцированного на шаре. Влиянием
проволочки пренебречь.
88 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. ТЕПЛОТА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. Электростатика.
438. В металлической трубе .переменного “ «s.
сечения движется электрон (рис. 159). Как t v
будет меняться его скорость при приближе
нии к сужению трубы?
439. Две концентрические незаряженные Рис 15д
металлические сферы, радиусы которых R l
и R 3, причем R i< R 3, соединены тонкой проволочкой.
-Проволочка проходит сквозь маленькое отверстие в сфере,
расположенной концентрически мейсду первыми двумя. Эта
сфера имеет радиус R 2 и несет заряд + Q, распределенный
на ней равномерно. Пренебрегая влиянием соединительной
проволочки, определить заряд, индуцированный на внутренней
металлической сфере.
440. На одной прямой находятся три заряда: положительный
+q и два отрицательных —Q. При каком соотношении
Величин зарядов они будут находиться в равновесии?
Будет Ли равновесие устойчивым? Начертить зависимость
потенциальной энергии каждого заряда от его положения
на прямой при условии, что два других заряда неподвижны.
441. Может ли электрический заряд, помещенный в электростатическое
поле, находиться в состоянии устойчивого
равновесия?
442. Уединенный проводящий шар радиуса R имеет
заряд + Q . Какой энергией обладает шар?
443. Две тонкие концентрические металлические сферы
радиусов Ri и R a (Ri<.Rz) имеют заряды Qx и Q2 соответственно,
Определить энергию такой системы зарядов.
444. Имеется п тонких концентрических металлических
сфер, радиусы которых в порядке возрастания равны
г и гг,…, г„~Эти сферы имеют заряды qit q2 qn соответственной
Определить^энергию такой системы зарядов.
445. Пластины плоского конденсатора емкости С, отстоящие
на расстояние / друг от друга, несут заряды + Q и
—Q. Электрон влетел в середину конденсатора со скоррстью
ve, направленной параллельно пластинам. Чему равна скорость
электрона на достаточно большом расстоянии от конденсатора?
Каков характер изменения скорости электрона
(по абсолютной величине) при его движении внутри и вне
конденсатора? Рассмотреть случаи, когда электрон в начальный
момент находится: 1) на равном расстоянии от пластин
конденсатора; 2) на расстоянии //4 от положительной
пластины; 3) на расстоянии 1/4 от отрицательной пластины’
89
446. Два одноименных точечных заряда qt viq2c массами
mi и т 2 движутся навстречу друг другу. В момент, когда
расстояние между зарядами равно ги они имеют скорости
и* и v2. До какого минимального расстояния га сблизятся заряды?
447. Из бесконечности- к металлической пластине движется
точечный заряд -f-q. Определить энергию взаимодействия
заряда и пластины, а также скорость заряда в тот момент,
когда он будет находиться на расстоянии d от пластины.
Находясь на бесконечно большом расстоянии от
пластины, заряд имел скорость, равную нулю.
448. По тонкому кольцу ра-
jj диуса R равномерно распределен
— заряд ‘+<7. Найти скорость отрицательного
точечного заряда
(—q) в момент прохождения че-
Рис. 160. ‘ рез центр кольца, если заряд
—q первоначально находился в
покое в достаточно удаленной от кольца точке А на оси
(рис. 160). Масса заряда —q равна т. Кольцо неподвижно.
449. Положительный заряд + Q равномерно распределен
по тонкому проволочному кольцу радиуса R. В центре
кольца находится точечный заряд— q, масса которого т.
Заряду сообщается начальная скорость v вдоль оси кольца.
Определить характер движения заряда в зависимости от величины
начальной скорости. Кольцо неподвижно.
450. Металлический шар диаметром 2 м расположен в
центре большого помещения и заряжен до потенциала
100-000 В. Какое количество тепла выделится, если шар
соединить проводником с землей?
451. Два маленьких шарика несут заряды, различные
по величине, но одинаковые по знаку. Один из шариков закреплен.
Второй шарик, удаляясь под действием электростатических
сил отталкивания, может совершить механи-
ческ^В работу At- Если перед началом движения второго
шарика оба шарика на некоторое время соединить проводником,
то второй, удаляясь, сможет совершить механическую
работу Л 2. Определить количество тепла, выделившееся
в проводнике при соединении шариков, и выяснить, за
счет какой энергии выделяется это тепло и изменяется механическая
работа.
452. Сферическая оболочка радиуса R заряжена равномерно
зарядом Q. Найти растягивающую силу, приходящуюся
на единицу % площади оболочки,
90
453. Какой заряд Q можно сообщить капле радиуса, R,
если коэффициент поверхностного натяжения равен о?
454. Найти емкость С0 батареи одинаковых конденсаторов
(рис. 161),
455. Из проволоки сделан куб, в каждое ребро которого
включено по одному конденсатору
емкости С (рис. 162).
Найти емкость получившейся
батареи конденсаторов, если
эта батарея включается в цепь
проводниками, присоединенными к противоположным вершинам
А и В куба.
456. Для получения кратковременных высоких напряжений
может быть использован искровой конденсаторный
трансформатор Аркадьева. Схема прибора изображена на
рис. 163.
Группа конденсаторов, соединенная параллельно проводниками
АВ и CD очень большого сопротивления подключена
к источнику высокого напряжения. Верхняя пластина
каждого конденсатора соединена
через искровой промежуток
с нижней пластиной
последующего конденсатора
(промежутки 1, 2,
3, 4). Каждый последующий
промежуток больше
предыдущего. В момент,
когда разность потенциалов
между обкладками достигнет пробивного напряжения первого
промежутка, произойдет разряд. Вслед за этим будут
пробиты второй, третий и четвертый промежутки. Какой
величины достигнет разность потенциалов при пробое
последнего промежутка, если имеется п конденсаторов и
приложенное напряжение равно W
91
457. Пластины заряженного плоского конденсатора попеременно
заземляют. Будет ли при этом конденсатор раз-‘
ряжаться? * —
458. Два плоских конденсатора емкостью Сх и С3 заряжены
до разности потенциалов Ut и U2 соответственно
(U x ^U j . Показать, что при параллельном соединении этих
конденсаторов их общая электростатическая энергия умень-.
шается. Почему это происходит? ‘
459. Как известно, продолговатые кусочки диэлектрика
устанавливаются вдоль силовых линий электрического
поля. Но ведь отдельные молекулы неполярного диэлектрика,
казалось бы, должны только растягиваться вдоль поля,
но не поворачиваться. В диэлектрике, состоящем из диполь-
ных молекул, среднее число молекул, поворачивающихся
при включении поля по часовой стрелке, равно числу молекул,
поворачивающихся в противоположную сторону. Почему
же весь кусок диэлектрика будет поворачиваться?
460. Диэлектрический шар радиуса R поляризован однородно,
т. е. дипольные электрические моменты всех молекул
равны и Параллельны друг другу. Найти напряженность
электрического поля внутри диэлектрика, если в единице
объема содержится N молекул, дипольный момент
каждой из которых равен p—ql.
461. Диэлектрический шар
помещен в однородное электрическое
поле, напряженность
которого равна Е. Ди- ‘
электрическая проницаемость
материала шара е. Найти напряженность
поля внутри шара,
а также в точках «А, В, С
и D (рис. 164), лежащих вне
Рис 164 ш аРа —
462. Найти закон распре-/
деления поверхностного заряда
на сфере, если известно, что этот заряд создает внутри
сферы однородное поле с напряжённостью Е.
463. Металлический шар радиуса R, имеющий заряд
+ Q, помещен в однородное электрическое поле с напряженностью
Е. Найти зависимость поверхностной плотности заряда
от угла 0 , а также напряженность электрического
поля в точках А, В, Си D (рис. 164), находящихся вне шара.
464. Бесконечный цилиндр из материала с диэлектрической
проницаемостью _е поляризован однородно в направ-
92
лении, перпендикулярном оси цилиндра. Радиус цилиндра
7?. Дипольный момент молекулы р. Число молекул в единице
объема N. Найти напряженность электрического поля
‘ внутри цилиндра.
465. Бесконечный цилиндр радиуса R из материала с
. диэлектрической проницаемостью е помещен в однородное
электрическое поле, напряженность которого Е направлена
перпендикулярно оси цилиндра. Определить напряженность
поля внутри цилиндра, а также в точках А, В, С и
D вне цилиндра (рис. 164).
466. Заряженный металлический цилиндр радиуса R
помещен в однородное электрическое поле, напряженность
которого Е направлена перпендикулярно оси цилиндра.
Заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра, равен
и. Найти зависимость плотности заряда от угла 6 , а также
напряженность электрического поля в точках А, В, С и D
(рис. 164), находящихся вне цилиндра.
467. Шар, равномерно заряженный зарядом q, помещают
в однородный изотропный безграничный диэлектрик
с диэлектрической проницаемостью е. Определить поляризационный
заряд на границе диэлектрика с шаром.
468. Пространство между двумя концентрическими сферами
радиусов гх и т% заполнено диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью 8 . В центре сфер находится точечный
заряд + Q . Найти напряженность и потенциал как
функцию расстояния от центра сфер, а также величину поляризационных
зарядов.
469. Пространство между двумя тонкими концентрическими
металлическимисферами радиусов гх иг* заполнено’
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е. Заряды
внутренней и внешней металлических сфер + Q и — Q соответственно.
Найти разность потенциалов, плотность поляризационных
зарядов и емкость такого сферического конденсатора.
~ 479, Пространство между обкладками плоского койден-
еатора заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
е, как показано на рис. 165. Площадь пластин
93
конденсатора S. Определить емкость конденсатора в обоих
случаях. „
471. Плоский конденсатор, пластины которого заряжены
зарядами +q и —q, на половину высоты пластин погружен
в жидкость с диэлектрической проницаемостью е. Какова
плотность поляризационных зарядов диэлектрика, если
площадь пластин 5?
472. Диэлектрик состоит из молекул, каждую из которых
можно представить в виде двух зарядов +</ и —q,
расположенных на расстоянии х друг от друга. При этом
расстояние х зависит от напряженности поля Е, действующего
на заряды,-следующим образом: kx—qE, где k — постоянный
коэффициент.
Пусть в единице объема диэлектрика содержится п молекул.
Определить напряженность поля Е внутри конденсатора,
заполненного таким диэлектриком, если до заполнения
напряженность поля была Е0■ Определить диэлектрическую
проницаемость диэлектрика.
473. Конденсатор заполнен диэлектриком, свойства которого
описаны в задаче 472. Найти энергию, запасенную
в диэлектрике вследствие его поляризации.
474. Две расположенные параллельно металлические
пластины заряжены зарядами + qi и —q2, причем qC>q*-Пространство
между пластинами заполнено однородным изотропным
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
е. Определить силу, действующую на единицу площади поверхности
диэлектрика. Площадь каждой пластины равна S.
475. Определить энергию плоского конденсатора, пространство
между пластинами которого заполнено диэлектриком.
Известны заряд конденсатора и разность потенциалов
между его обкладками. •
476.Две прямоугольные пластины длины I и площади
_ i S расположены параллель-
_ j но Друг другу на расстоя-
f нии (I. Пластины заряжены
d до разности потенциалов
| U. В пространство между
-_3 пластинами втягивается
_ • диэлектрик с диэлектриче-
Рис. 166. ской проницаемостью е ,
Толщина диэлектрика равна
d, его ширина равна ширине пластин, а длина больше
I (рис. 166). Найти зависимость силы, действующей на диэлектрик
со стороны поля, 6т расстояния х. ‘
94
477. Решить задачу 476 в случае,’ когда разность потенциалов
между пластинами поддерживается постоянной и
равной U.
478. Над поверхностью жидкости, налитой в большой
сосуд, находятся вертикальные пластины конденсатора,
касающиеся поверхности жидкости. Площадь каждой пластины
конденсатора равна S, расстояние между пластинами
d, их высота I. Конденсатор присоединяют к батарее
с э,д.с., равной U. Плотность жидкости р, ее диэлектрическая
проницаемость е.
Найти максимальную высоту, на которую поднимается
жидкость в процессе колебаний, а также высоту, на которой
установится уровень жидкости.
479. На дне сосуда находится тонкая металлическая
цластинка, площадь которой S много меньше площади дна
сосуда. В сосуд налита жидкость с диэлектрической проницаемостью
е. Глубина жидкости много меньше линейных размеров
пластинки. Что произойдет с жидкостью, если пластинке
сообщить заряд + Q?
95 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. ТЕПЛОТА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. Электростатика.
§19. Упругость и прочность. Ответы.
409. /•’=<?2/4яе0,г2 = 9000 Н. Сила очень велика. Сообщить телу
небольших размеров заряд в один кулон невозможно, так как
электростатические силы отталкивания настолько велики, что заряд
не сможет удержаться на^ теле. »
m„m„ I —
410. /гГр = у — г2″ ’ ^’тр/^?эл = ^>®’Ю- * •
411. Если заряды одного знака, то при а > 2 точечный заряд
будет двигаться к точке О; при а < 2 —по направлению к точке В
(рис. 415). Если заряды разных знаков, то направление движения
будет обратным.
412. Условия равновесия подвешенного шарика Дают для обоих
рассматриваемых случаев уравнения
280 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. ТЕПЛОТА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. Электростатика. Ответы.
где Tv Т% — натяжения нити, аи о^—углы отклонения нити,
+ Q, — Q—заряды закрепленных шариков,- -(•-?—заряд подвешенного
шарика, . « —масса подвешенного шарика (рис. 416). Исключая
413. Индуцированные отрицательные; заряда на поверхности
проводника распределяются таким образом, что результирующая
напряженность поля внутри проводника от положительного точечного
заряда и индуцированных отрицательных зарядов равна нулю.
(Индуцированные положительные заряды уйдут на удаленные края
пластинки, и их полем можно будет пренебречь.) Это распределение
индуцированных зарядов не зависит от толщины пластинки.
Поместим слева от пластинки на том же расстоянии d заряд — q.
Ясно, что на левой стороне пластинки индуцированные положительные
заряда распределяются таким же образом, как и отрицательные
на правой ‘стороне пластинки. От того, что мы поместили слева от
пластинки заряд —q, электрическое поле справа от пластинки не
изменится. Таким образом, справа от пластинки электрическое поле
от заряда + П и отрицательных индуцированных зарядов совпадает
с полем, создаваемым зарядами -\-q и —q и зарядами, индуцированными
на поверхностях пластинки (рис. 417). Если толщина
пластинки очень мала по сравнению с d, то мы можем пластинку
считать бесконечно тонкой, а в таком случае поле, создаваемое индуцированными
зарядами, вне пластинки отсутствует.
Итак, мы показали, что поле справа of пластинки, создаваемое
зарядом -\-q и индуцированными отрицательными зарядами, совпадает
с полем, создаваемым точечными зарядами -\-q и —q. Поскольку
281 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. ТЕПЛОТА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. Электростатика. Ответы.
в точке нахождения заряда -\-q напряженность поля от индуцированных
отрицательных зарядов равна напряженности поля от точечного
заряда —q, находящегося на расстоянии 2d от -\-q, то искомая
сила притяжения равна F- 1
414. Т —па У nZf/nalQq.
415. Так как Q^>q, то взаимодействием между отдельными
элементами кольца можно пренебречь. Выделим малый элемент
кольца длины R Да (рис. 418). Со стороны заряда Q на него действует
сила AF=-j-J— . где Aq = q Аа/2п. Силы натяжения
кольца Т уравновешивают ДF. Из условия равновесия, учитывая,
что Да мало, имеем
AF = 2Т sin (Да/2) к Т Да.
Искомая сила является натяжением Т — QqfSnHaR^.
416. При отклонении нити на угол ф на заряд q действует
сила F, перпендикулярная пластине и равная
(см. решение задачи 413). При малых углах отклонения / (1 — cos ф) h
. При этом период и, следовательно(, F= колебаний будет
равен
417. Задача формально сводится к определению периода малых
колебаний математического маятника длины Я/2 около положения
равновесия в поле силы qE:
282 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. ТЕПЛОТА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. Электростатика. Ответы.
418. Каждый заряд создает в точке D напряженность поля
£ 1 = ^/4яева2. Полная напряженность будет суммой трех векторов
(рис. 419). Горизонтальные составляющие этих векторов в сумме
дадут нуль, так как они равны по величине и составляют друг
с другом углы по 120°. Сами векторы образуют с вертикалью углы
90°—а , где а —угол между ребром тетраэдра и высотой ft треугольника
ABC. Вертикальные составляющие одинаковы и равны каждая
q sin а,/4ле0а2. Из Д ADE очевидно, что sin а = У 2/3. Отсюда искомая
напряженность поля
F V 6 9
4де0 а2
419. Рассмотрим случай разноименных зарядов qx > 0 , < 0.
Напряженности, созданные зарядами qx и q2, равны соответственно
E 1 — q1/4ne(lrl и £’а = 9 2/4яе0г |. Как видно из рис. 420, £ 2 == Е\ +
■ Е \—2Е1Е2 c o s ф. Из Д ABC cos ф= rl + r l — d 2
2 rxr2 Следовательно,
рис. 421.)
421. Напряженность поля Е в произвольной точке А на оси
кольца может быть найдена как геометрическая сумма напряжен-
283
ностей, создаваемых отдельными мальага элементами заряженного
кольца (рис. 422). Суммируя векторы напряженности в точке А,
следует учитывать только составляющие, направленные вдоль оси
Таким образом, сила пропорциональна х и направлена к центру
кольца. Под влиянием этой силы заряд совершает колебательное
движение, период которого равен Г==4я Узve,amR3lqQ.
423. В обоих случаях напряженность электрического поля в
точке, отстоящей на расстояние т от пластины или нити, может
зависеть только от о или т и г. Зависимость от о и т должна быть
линейной (принцип суйерпозиции), т. е. E — af (г) или £ = т<р(/-).
Здесь f(r)r и <р (г) — некоторые, пока неизвестные функции г.
Пр име ч а н и е . Принцип суперпозиции в данном случае з а -‘
ключается в том, что напряженность от суммы зарядов равна сумме
напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.
Как известно, { £ ]= fi-r . Размерности а и т: [aj = Q/L2,
l6ol ь-“
[т] = Q/L. Очевидно, в случае пластины Е ^ к р з /ъ а, а в случае
нити E = k sr/e0r, где кг и — некоторые безразмерные коэффици-
284
енты. На основании соображений симметрии легко определить
направление напряженности. Напряженность Ё направлена перпендикулярно
к пластине или нити. Теория дает для коэффициентов
kt и значения й1= 1 /2 , £4=Г/2я .
424. Ввиду- очень малой толщины пластинки мы можем считать,
что заряд распределен равномерно на двух поверхностях, площадь
каждой из которых равна ab. Таким образом, поверхностная плотность
заряда а = q/2ab. Поле внутри металла будет равно нулю, вне
металла напряженность равна
слева направо.
428. Выделим на проводнике столь малый участок АВ, чтобы
его можно было считать плоским (рис. 423). Поле вблизи этого
участка можно представить как
суперпозицию двух полей: того,
что создается зарядами этого
участка (векторы £ ъ Ех), и
того, что создается остальными
зарядами проводника (векторы
Ег, Е2). Так как участок АВ
можно считать плоским, то
E i= E [—a/2e0. Кроме того, Рис 423
V
» ■
-т
V
Чi
$ так как поле» создаваемое заря-
J дамн, находящимися вне участка
7 АВ, является непрерывным, то£,2 = £г. Наконец, так как внутри про-
* водника поле отсутствует, то Ех = Ег, откуда, учитывая предыдущие
д равенства, получаем £ 1 = Е2 = о/2е0. Следовательно, искомая напря-
1 женность
| £ = Ех + £ 2 = о/2е0 + о/2е0 = о/е0.
: 427. Если | х | < а/2, то £ = р*/е0. Если | х | > а/2, то £ = ра/2е0.
I 428. Найдем- напряженность поля на расстоянии г < R от центра
f Шара. С этой целью проведем из центра шара сферу радиуса г. Все
г. заряды, которые находятся внутри сферы, дают в интересующей нас
точке такую-напряженность, как если бы они находились в центре,
а от зарядов, находящихся вне сферы, напряженность поля равна
^ нулю. Таким образом,
t „
где — заряд шара. (График E = f( r ) см. на рис. 424 )
^ ^ 429. Найдем напряженность поля на расстоянии г < R от оси
цилиндра. Заряды, которые находятся внутри цилиндра радиуса г,
285
создают на расстоянии г от оси цилиндра такую же напряженность,
как если бы они находились на оси. Заряды же, находящиеся вне
цилиндра, поля не создают. Следовательно, если г < R, то
В этом выражении мы можем пренебречь величиной Я (Я — 10 ~ 8 см)
по сравнению с г (г не может быть меньше радиуса цилиндра).
Окончательно для F получаем выражение Р=т9Я/2лв0г2.
433. В начальный момент силы, действующие на обе молекулы,
одинаковы. При приближении к цилиндру сила Flt действующая на
молекулу с постоянным электрическим моментом, растет пропорционально
1/г2: F1—2xqXlr2 (см. задачу 432). Сила F2, действующая на
«упругую» молекулу, растет быстрее, пропорционально 1/г3 (за счет
непрерывного увеличения электрического момента этой молекулы).
Массы молекул одинаковы, поэтому ускорение второй молекулы при
приближении к цилиндру нарастает быстрее, чем у первой, и она
быстрее достигнет поверхности цилиндра.
434. Ввиду того, что а и b много больше e n d , мы можем считать
пластинку бесконечно большой. Учитывая, что напряженность
поля от нескольких зарядов равна сумме напряженностей, создаваемых
каждым из этих зарядов, и воспользовавшись результатами
286
Первое слагаемое соответствует силе отталкивания, второе — силе
* притяжения. Положительно заряженная пластинка будет притягивать
J точечный положительный заряд, если Q2/I6ne0d2 > qQ/2e0ab, т. е.
£»• если Q/d? > 8щ/аЬ.
г- 435. Вне шара потенциал ср = Q/4ns0r — £J3p/3e0r.
1 Для того чтобы определить потенциал внутри шара (при г < R),
надо к потенциалу <р = Q/4m0R добавить величину, численно рав-
ную работе, производимой полем над единичным положительным
зарядом при его перемещении по радиусу от г до R. Эта работа
‘1 равна заштрихованной площади на рис. 424 (см. задачу 428). Вычйс-
\ ляя, получим <р = (ЗУ?2—г2) р/6е0.
\ 436. Потенциал всех точек шара одинаков. Для решения задачи
N достаточно найти потенциал одной точки. Проще всего найти потен-.
■ • 1 циал центра шара. Он равен потенциалу, созданному в центре шара
точечным зарядом <р=<7/4яео<*, плюс потенциал, созданный зарядами,
А. возникающими на поверхности шара вследствие электростатической
у индукции. Но этот последний потенциал равен нулю, так как сум-
% марный заряд на сфере равен нулю и все элементы заряда нахо-
‘ дятся на равном расстоянии от центра. Следовательно, потенциал,
шара <p = q/4ne0d.
437. Потенциал шара ф равен
Поскольку шар заземлен, его потенциал равен нулю, т. е. q/(R-\-r) —
— Q/r*= 0. Следовательно, Q = H-f;—-r <7-
438. На суживающейся части трубы возникнут положительные
индуцированные заряды. Под их влиянием электрон начнет ускоряться.
Кинетическая энергия электрона будет увеличиваться за
счет уменьшения потенциальной энергии системы электрон—труба.
439. q = — Q § ^ f f . .
АЗ Al Ag
449. Дл* равновесия заряда q необходимо, чтобы заряды (—Q)
находились на равных расстояниях а от него (рис. 426). Сумма сил,
действующих на зяряд (—Q), также равна нулю:
Q 2/4e2 — Qq/a2= 0 .
Отсюда q — Q/4. Расстояние а может быть любым. Равновесие неустойчиво,
так как при смещении заряда —Q вдоль ООг на отре-
зок х от заряда q сила притяжения Fq = 1 О2 t ■, действующая
со стороны заряда q, меньше силы отталкивания
287
и заряд — Q уходит еще дальше от положения равновесия.’ При
смещении заряда — Q вдоль 00* на х к заряду q Ед > Fa для |
х ^ а , и система не возвращается к положению равновесия. Также
нарушает равновесие, как нетрудно видеть, произвольное перемещение
заряда q. •
Потенциальная энергия заряда —Q в поле двух других зарядов
равна
г _ Q (Я Q \ <?8 З у — о
1 4яво ^ у а + у ) 16Л80 у (а -)-у )’
где {/—расстояние между зарядом q и одним из зарядов — Q. За- t,
висимость Wt от у при 0«£ { /< оо изображена кривой ABC для
одного заряда и кривой DEF для другого (рис. 426).
Энергия заряда q при неподвижны* зарядах — Q равна
Г — Ч f — e Q А — V а „
* 4яев \ а — г а — \- г ) 8яе0 а2— г1′
где г—смещение заряда q от положения равновесия. При изменении
z от 0 до о энергия меняется в Соответствии с кривой MNP
Характерно, что максимумы всех трех потенциальных кривых
соответствуют положению зарядов при равновесии. Именно с этим
связана неустойчивость равновесия.
441. Нет, не может. Для того чтобы, к примеру, положительный
заряд находился в состоянии устойчивого равновесия, необхо- <
димо, чтобы при смещении заряда в любом направлении на него
действовала сила, возвращающая в положение равновесия. Следовательно,
силовые линии электрического поля должны сходиться ;
в точке, в которой расположен заряд. Но силовые линии электрического
поля начинаются на положительных зарядах и оканчиваются
на отрицательных. В точке же, где расположен рассматриваемый
заряд, отрицательных зарядов нет, и, следовательно, силовые линии
внешнего по отношению к заряду поля не могут сходиться в точке,
где он расположен.
442. Энергия заряженного шара равна работе, которую могут ’
совершить заряды, находящиеся на шаре, если они покинут его и -)
удалятся на бесконечно большое расстояние. Пусть с шара каждый ~
раз удаляется на бесконечность порция заряда в q единиц (q Q).
288
При N —»• оо (q —► 0) А = Q2/&ne0R. Следовательно, энергия заряженного
шара равна — W = Q2/8jrefl/?. (Эта энергия называется собственной.)
Тот же результат можно получить, используя график
изменения потенциала шара при уменьшении заряда. График будет
представлять собой прямую ливню, проходящую под некоторым
углом к’ оси абсцисс, ‘а работа будет численно равна площади, огра- .
ниченной графиком и осями координат.
443. Энергия всей системы зарядов, равна сумме собственных энергий
зарядов, находящихся на первой сфере (W-i — Ql/8ne0Rx) и на
второй сфере (ТР2 = Ql/Sne^Ri), а также энергии взаимодействия зарядов
первой сферы с зарядами второй сферы. Эта энергия взаимодействия
равна произведению заряда Q* на потенциал, создаваемый
на поверхности сферы радиуса # 2 зарядом Qv Таким образом, искомая
энергия W всей системы равна
445. Как всегда, считаем потенциал на бесконечности равным
нулю. Тогда потенциалы пластин равны соответственно +U/2 и —У/2,
причем У = Q/С. Потенциалы в точках первоначального положения
электрона соответственно равны О, +У /4 , —У/4. Начальные значения
полной энергии электрона равны:
289
В первом случае конечная скорость равна начальной, во втором
случае меньше ее, а в последнем больше. Во всех случаях скорость
первоначально растет (во время движения внутри конденсатора),
а затем начинает убывать.
446. Расстояние между зарядами станет минимальным в момент,
когда их скорости сравняются, т. е. когда относительная скорость
зарядов станет равной нулю. Очевидно, что скорость зарядов при
минимальном расстоянии между ними, согласно закону сохранения
импульса, равна c= (m 1o1—/w2ue)/{mi + ms)- Используя также закон
сохранения энергии
Скорость найдем из закона сохранения энергии. Когда заряд находится
на бесконечно большом расстоянии от пластины, его скорость
равна нулю и энергия взаимодействия W тоже равна нулю. Таким
образом,
448. Работа по перемещению заряда —q пропорциональна разности
потенциалов между точкой О и весьма удаленной от кольца
точкой А, лежащей на оси (рис. 160). Потенциал на бесконечности
принимаем равным нулю. Потенциал точки А, если расстояние
О А R, мы можем считать равным нулю. Потенциал в точке
О найдется суммированием потенциалов, созданных отдельными малыми
элементами кольца:
290
Используя закон сохранения энергии mv2/2 — q2j4mzaR, найдем
v= У q2/2ne0mR.
449. Полная энергия заряда равна W = mv2/2—qQ/4mtR. Если
И^ЗгО, то заряд уйдет в бесконечность. При W = 0 скорость заряда
на бесконечно большом расстоянии от центра кольца будет равна
нулю, а при W > 0—отлична от нуля. Если же W < 0, то заряд
будет совершать периодическое движение вдоль оси кольца. Наибольшее
расстояние г, на которое при этом удалится заряд от центра
кольца, можно найти на закона сохранения энергии:
радиус шара, а ф—его потенциал. При разряде эта энергия
выделится в форме тепла. Вычислив, найдем №=0,55 Дж.
451. Пусть первоначально заряды шариков были q1 и q.2. Тогда
работа Ai = q lq2/4ne0l, где I—расстояние между шариками. Заряды
шариков после соединения стали одинаковыми: q = (qiJrqi)/2, а работа
/42 = (4’1+<?2)2/16яе0/. Нетрудно видеть, что Л2 > A L. Кроме
того, в проводнике при соединении шариков выделяется тепло Q.
Однако полный запас энергии шариков по закону сохранения энергии
должен быть одинаков в обоих случаях. Так как работа А г и,
соответственно, А2 представляет собой потенциальную энергию второго
шарика в поле первого (в первом и во втором случаях), то
, / 2 2 4
^ i + ^ i = ^ 2+ Q + ^ 2, где собственная
„ Л
энергия шариков до соединения,
ная энергия шариков после перераспределения зарядов (см. задачу
442}. Энергия, выделившаяся в форме тепла, равна
« — Г , —Г . + 2 ,—
452. Предположим, что радиус оболочки увеличился на 8, где
б — сколь угодно малая’ величина. Тогда растягивающая сила совершит
работу A = 4nR2f8, где / —сила, приходящаяся на единицу
площади. Эта работа совершается за счет уменьшения электростатической
энергии. Вначале электростатическая энергия- равна Q^/SimgR,
после растяжения Q2/8ns0 (7?-f- б). Изменение энергии
Q2________Q2 _ Q2 б
SscsgR 8ne,j(R-j-8) 8яе<,./?(/?+<5)
равно работе А, т. е. 4nR2f&= Q2b/8mBR (R-\-8). Учитывая, что
величина б с к о т угодно мала, получаем для силы следующее выражение:
f ~ Q2/32n%0/?4= a 2/2eo. Здесь через о = Q/4nR2 обозначена
плотность электричества, т. е. заряди приходящийся на единицу
площади.
291
Можно определить искомую силу и непосредственно. Рассмотрим
на сфере малую площадку S (рис. 427). Найдем напряженность Ег
электрического поля на рассматриваемой площадке, создаваемую
всеми зарядами, за исключением зарядов, находящихся на самой
площадке. Для определенности рассмотрим случай, когда сфера несет
положительный заряд. Обозначим через Яг напряженность электрического
поля, создаваемого зарядами, находящимися на рассматриваемой
площадке. Так как внутри сферы результирующая напряженность
равна нулю, то Е1 — Е.2.
Результирующая напряженность на сфере Я1+ Я 2 = ф/4я8в/?2.
Следовательно, 2Е1= Q/4ne0£ 2 = о/е9. Отсюда Е 1 = о/2ё0. Д л я т о го
чтобы определить силу, действующую со стороны всех зарядов, не
находящихся на площадке, на заряды, находящиеся на площадке,
надо напряженность Яу умножить на величину электрического заряда
площадки crS: jF = £ 1aS = a2S/2e0. Сила, приходящаяся на единицу
площади, будет равна / = а !/2е0.
453. Q < 8лЯ V f 0Ro.
454. Пусть разность потенциалов на клеммах батарея равна а заряд батареи равен Q. Найти емкость батареи — значит найти
емкость такого конденсатора, который имел бы при напряжении U
тот же заряд Q на пластинах, что и батарея. Следовательно, С„ —
= Q/U, причем Q =<?i -|- Яз+Чз=Я* + Яз +Яе (рис. 428), а U = V t =
= q jC. Работа сил электростатического поля при обходе по замкнутому
контуру равна нулю. Отсюда
Кроме того, проводнику соединяющий второй, третий и пятый конденсаторы,
электронейтрален. Следовательно, Яз+Яь—<Ь = 0- Решая
эти уравнения* получим Ях—Яг ^Яз—Яз—Я з / ^ /Я з ^ ^ — Следовательно,
С0 = 2С. —
455. Пусть батарея конденсаторов заряжена. Тогда точки / , 2,
3 будут иметь одинаковый потенциал и их можно будет соединить
между собой. Так же можно соединить точки 4, 5, 6 (рис. 162).
В результате получим эквивалентную схему, изображенную на
рис. 429. Емкость отдельных участков ЗС, 6С, 3С. Общая емкость
найдется из формулы ljC0 = 2/3C-\-l/GC. Отсюда С0=1,2С.
456. При пробое искровых промежутков происходит автоматическое
переключение параллельного соединения конденсаторов на поРис
292
следовательное, При этом напряжение между соответствующими
обкладками конденсаторов растет, так как емкость системы падаете
Действительно, из-за большого’ сопротивления- проводников АВ и CD
можно пренебречь токами, протекающими по ним за время разряда,
и рассматривать их как изоляторы, через которые конденсаторы не
разряжаются.
Эквивалентная схема после пробоя первого искрового промежутка
изображена на рис. 430. В результате пробоя первого промежутка
разность потенциалов на втором промежутке будет равна
сумме напряжении на первом и втором конденсаторах, т. е. увеличится
вдвое. Вследствие этого начнется пробой второго промежутка.
В момент пробоя п-го промежутка напряжение на нем достигнет
величины V = nV0. Сопротивления проводников АВ и СП должны
быть большими, чтобы за время последовательного соединения пластин
конденсаторов при пробое промежутков
конденсаторы не успевали разряжаться через
эти проводники.
457. Да, будет. Каждая из пластин обладает
определенной, обычно небольшой емкостью
относительно земли (вблизи краев пластин
силовые линии Искривляются и достигают
земли). Эквивалентная схема изображена на
рис. 431. Емкость пластин конденсатора Отно- _
сительно земли изображена в виде малых ем-
костей Ci и Са. При замыкании левой пластины-
нейтрализуется часть заряда, находящегося
на ней. Это же произойдет при замыкании правой
пластины. Конденсатор будет разряжаться
тем медленнее, чем больше емкость конденсатора
по сравнению с емкостью пластин относительно земли.
458. Полная энергия двух конденсаторов до соединения, равна
293
при U1 — Ut W0 — W = 0, а при С1 = С2 и U2 = 0 W0 — 2W. Электростатическая
энергия уменьшилась вследствие того, что при соединении
этих конденсаторов проводниками заряды перетекали с одного
конденсатора на другой. В проводниках, соединяющих конденсаторы,
, выделялось при этом тепло. Количество выделенного тепла не зависит
от сопротивления соединительных проводов. При малом сопротивлении
проводов в них протекают большие токи, и наоборот.
459. Рассмотрим для простоты диэлектрик в форме однородного
сильно вытянутого параллелепипеда (рис. 432). Разложим поле Е0,
в которое помещен диэлектрик, на составляющие, направленные вдоль
стержня и перпендикулярно ему. Эти составляющие вызовут появление
связанных зарядов на поверхностях АВ, CD, ВС и AD. Поле
связанных зарядов между поверхностями AD, ВС и АВ, DC ослабляет
составляющие поля Е0 внутри диэлектрика, причем составляющая,
перпендикулярная стержню, ослабляется сильнее, так как
связанные заряды на поверхностях AD и ВС расположены близко
друг к другу и их поле подобно однородному полю плоского конденсатора,
в то время как заряды на поверхностях малой площади
раздвинуты далеко друг от друга. Поэтому полное поле внутри диэлектрика
не будет совпадать по направлению с полем Е0. Следовательно,
возникающие диполи будут ориентированы не вдоль £ в, а
вдоль некоторого направления ОР, составляющего угол р с Е0. (Это
относится как к обычным, так и к дипольным молекулам.) В электрическом
отношении поляризованный диэлектрик можно рассматривать
как большой диполь, составляющий угол Р с полем Е0. В этом поле
он будет поворачиваться до тех пор, пока не установится вдоль
поля. Поле связанных зарядов является внутренней силой и не может
вызвать поворота диэлектрика.
460. Вследствие поляризации заряды раздвинулись. Внутри шара
с центром О’ содержатся отрицательные заряды, а с центром О —
положительные заряды. Объемная плотность зарядов p — Nq. Расстояние
между центрами О’ и О равно I. Напряженность в произвольной
точке, находящейся в области перекрытия двух шаров,
можно найти путем простого геометрического построения, приведенного
на рис. 433. Из этого построения следует, что напряженность
Е = р1/3е0. Она постоянна ц направлена против вектора р. Это
294
однородное поле создается, в сущности* отрицательными и положительными
зарядами, находящимися вне области перекрытия.
Так как I я 1 0 -8 см (I R), то можно считать, что это поле
срздается поверхностными зарядами, плотность которых равна
о = Nql cos 0 = N p cos 0.
461. Нетрудно заметить, что диэлектрик будет поляризован однородно
и дипольный момент р любой молекулы направлен вдоль внешнего
поля. Результирующее поле внутри диэлектрика имеет напряженность
Е’ = Е — Np/3e0. Так как Р = ое0£’/, где а —коэффициент
поляризуемости молекулы, то р = а 8 0£/(1 -j-Na/3), Е’ = £7(1 + a.N/3).
Если учесть, что 8 = 1 + А/а, то окончательно для Е’ получаем вы-
3
ражение следующего вида: £ ‘ = <»,■ В.
l Поле вне шара, создаваемое поляризованным диэлектриком, эквивалентно
полю двух точечных зарядов — Q и + Q (Q = 4/з nR3Nq),
помещенных в точках О’ и О, Так как расстояние 0 ‘0 = I R
(I я 10-8 см), то для вычисления полной напряженности в точках
А, В, С я D можно воспользоваться ответом к задаче 420:
295
467. Поле в диэлектрике создается зарядом q и поляризационным
зарядом q’. Напряженность поля в произвольной точке i4, находящейся
вне шара на расстоянии г от его центра, равна
296
Следовательно, емкость, являющаяся коэффициентом пропорциональности
между зарядом и разностью потенциалов обкладок конденсатора,
равна
470. а) Емкость конденсатора будет равна емкости параллельно
соединенных конденсаторов, из которых один заполнен диэлектриком,
а другой нет, т. е.
б) Электрическое поле между обкладками конденсатора не изменится,
а следовательно, не изменится и емкость, если верхнюю поверхность
диэлектрика покрыть бесконечно тонким слоем проводника.
Поэтому искомая емкость будет равна емкости двух’ последовательно
соединенных конденсаторов:
297
472. Обозначим искомую полную напряженность поля в диэлектрике
через Е. Расстояние Я, на которое раздвинулись заряды в
каждой молекуле, определяется из соотношения М.=<?£. Следовательно
Диэлектрическая проницаемость в определяется из соотношения
Е = Е01 е. Отсюда- е = 1 + ^Е q-Kг п.
473. При раздвижении в молекуле зарядов + 9, -—q на расстояние
% совершается работа kh2/2. Энергия, запасенная в диэлектрике,
W1 = (kk2/2) N, где N = S l n ~ V n — число молекул в объемеV диэлектрика,
находящегося между пластинами конденсатора. Таким образом,
№г = п (k№/2) V. Так как X = qE/k, то W1 = n (q2E2/ 2k)V. Выражая
nq2/k через в (в—l = <j2«/e0fe), получаем для значение
1 4 = 8, ^ £ 2Р.
Полная энергия конденсатора равна
W— 9 1— f 2V
2С Jf I
Эту полную энергию W можно представить в виде суммы чисто
в пЕ2
электростатической энергии №, = -^2—V и энергии, запасенной в
g |
диэлектрике, №?1 = е0—^ E2V.
474. Сила, действующая на единицу площади диэлектрика, равна
r 86a02e-21S:
475. Предположим для простоты .рассуждений, что две парал-
•Трльные металлические пластины, несущие заряды + Q и — Q, помещены
в жидкий диэлектрик. Напряженность электрического поля
между пластинами £ = 4 /8 * 8 5 . Напряженность поля, создаваемая
каждой пластиной, будет равна Е1 = Е2~ Q/2e£0S.
Определим силу, действующую со стороны, например, первой
пластины на вторую. Для этого надо напряженность поля, создаваемого
первой пластиной, умножить на величину заряда, находящегося
на второй пластине. Таким образом, £ = Q2/2e,eS.
Предположим, что первая пластина закреплена, а вторая может
очень медленно перемещаться (изменением механической энергии
диэлектрика пренебрежем). Работа, которую может совершить электрическое
поле при перемещении пластин до непосредственного соприкосновения,
будет равна произведению силы F (сила F постоянна)
298
совершается. за счет убыли электрической энергии конденсатора.
Таким образом, электростатическая энергия будет равна
W = Q2d/2e„eS = Q2/2C, или tF==Qt//2,
где (/ — разность потенциалов. Полученная формула справедлива для
любых диэлектриков.
476. Энергия ^конденсатора в случае, когда диэлектрик втянут
на расстояние х внутрь конденсатора, будет равна
если пренебречь б в знаменателе. Надо оговориться, что, в то время
как при подсчете энергии мы считали, что поле внутри конденсатора
однородно, и пренебрегали краевыми эффектами, для физического
объяснения силы, действующей на диэлектрик, обязательно надо
принять во внимание неоднородность поля у краев.
477. Энергия конденсатора в случае, когда диэлектрик втянулся
на расстояние х внутрь конденсатора, будет равна
299
Заряд на обкладках конденсатора при перемещения диэлектрика на
расстояние б увеличится при этом на
u f .
Работа, совершаемая батареей при перемещении такого количества
электричества, будет равна
^ = (Q 2- C i ) y = 5^ — ( e — l ) j .
Эта работа частично идет на приращение электростатической энергии
конденсатора, а частично —на втягивание диэлектрика. Обозначим,
как и в предыдущей задаче, через F силу, с которой втягивается
диэлектрик в конденсатор. Тогда на основании закона сохранения
энергии имеем A — — W1-\-Fb, т. е.
e0l/*S e0U2S б
at
Отсюда
I)-
В этом, случае, как мы видим, сила постоянна и не зависит от х.
478. Жидкость между обкладками конденсатора (рис. 434) поднимается
под действием силы
Г F = e0U*S
2dl ( e — l ) .
Когда жидкость достигнет максимальной
высоты Н, ее кинетическая энергия
будет равналулю, а потенциальная
энергия увеличится на величину
FH. Из соотношения
FH— = S^ d —н p g -н
Рис. 434.
I 2
находим Н:
Н = е01/2(г — l)/d2 pg.
В этом положении сила тяжести больше силы F, и вследствие этого
жидкость начнет опускаться.
При высоте столба жидкости
h = Я/2 = е0и г (е — 1 )/2<Ppg
кинетическая энергия максимальна, а сила F равна силе тяжести.
Жидкость между пластинами конденсатора, продолжая опускаться,
достигнет уровня жидкости в сосуде. Уровень жидкости в сосуде
вследствие больших размеров сосуда практически не перемещается.
Таким образом, высота столба изменяется периодически в пределах
от 0 до / / .
300
Вследствие трения амплитуда колебаний жидкости будет уменьшаться,
и уровень столба в конце концов установится на высоте
h—b9U2 (е — l)/2d2 pg.
.Измерив высоту подъема А, можно определить диэлектрическую проницаемость
.жидкости е.
479. Свободный заряд -f-Q создает в диэлектрике однородное
электрическое поле, напряженность которого £ 0 = Q/2e0S. Вследствие
этого слой диэлектрика толщины d поляризуется. На двух
плоскостях, ограничивающих этот слой снизу и сверху, появляются
поляризационные заряды. Плотность поляризационных зарядов ох
равна
е— 1 ‘ е — 1 Q
О ! -— е°£0 ——— щ —
€_2 Q
Заряды Q и отрицательный з а р я д 8 & действуют на поло-
жительный поляризационный заряд, находящийся на поверхности
жидкости, с силой £ , направленной вверх:
„ Q2 е2- 1
8Se„ в* ‘
Вследствие этого уровень жидкости над пластиной поднимается на
высоту А:
301
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. ТЕПЛОТА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. Электростатика. Ответы.
