Home » ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ. » ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ. ГЛАВА I. МЕХАНИКА. §1. Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ. ГЛАВА I. МЕХАНИКА. §1. Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ. ГЛАВА I. МЕХАНИКА.
§1. Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

А в т о р ы :

Г. А. Бендриков, Б. Б. Буховцев,
В. В. Керженцевг Г. Я. Мякишев

Скачать в хорошем качестве в формате PDF §1. Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ (стр. 188-198).
Скачать в хорошем качестве в формате PDF всю книгу (399 стр.) Задачи по Физике для поступающих в ВУЗы (8-е издание).

Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно):

§1. Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

1. 1) Начало координат поместим в пункте отправления поездов, ось координат
направим по движению (рис. 177). Координата товарного поезда в момент
времени t, когда его догнал экспресс, s1 = i;1/. Координата экспресса, который
шел на время tx меньше, в этот же
момент времени s2 = v2 (t — tx). Обе
эти координаты должны быть равны
координате места, где экспресс
догнал товарный поезд: s1 = s2 = s.
Приравняв Si и s2, находим:
t—
U2ti : 1 Ч, S = = 36 км.
■ v2 — vt v2 — v±
2) Графическое решение представлено на рис. 178, где линия / — график
движения товарного поезда, линия II — график движения экспресса. Точка
пересечения этих линйй определяет координату места, где экспресс догонит
товарный поезд, и время, когда это произойдет.
2. 1) Начало координат поместим в С,
ось S направим от С к В (рис. 179). Законы
движения первой и второй автомашин:

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Рис. 178

При встрече координаты должны быть одинаковы, s1 = s2 — s. Приравняв st
и s2, находим:
t = L/(v1 + v2)=l,5 ч.

188 Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Координата места встречи (расстояние от С)
s=^ — v2t = — y + = — 30 км.
2) График движения машин представлен на рис. 180. Линии I и II —
графики движения первой и второй машин соответственно. Точка их пересечения
определяет время и координату места встречи

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

3) График зависимости расстояния А/ между машинами от времени показан
на рис. 181.
3. Закон движения конца A: xA — b-j-vt, уА — 0. Следовательно, ув =
= |/> — (b + vt)*.
4. Вариант I. В неподвижной системе координат (рис. 182) обгон начинается,
когда координаты начала электропоезда и конца товарного поезда

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

одинаковы и равны, скажем, величине Ь. Заканчивается обгон, когда одинаковы
координата st начала товарного поезда и координата $2 конца электропоезда.
Если за начальный момент времени принять начало обгона, то закон
движения начала товарного поезда s1 = 6 + L1 + y1£, а закон движения конца
электропоезда s2 = 6— L2-\-v2t. Приравняв Si и s2, получим:
t = L2)/(v2 — Vi) = 50 с.
Вариант II. Возьмем систему координат, движущуюся вместе с товарным
поездом, начало которой совпадает с началом этого поезда, а направление —

189 Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

с направлением его движения (рис. 183). В этой системе координат скорость
электропоезда v0Tn — v2 — v1. Закон движения конца электропоезда, если за
начальный момент времени принять начало обгона, s = —(Li + L2 ) + уотн * t.
В момент завершения обгона конец электропоезда будет в начале нашей
системы координат. Поэтому его координата будет равна s = 0.
Следовательно, для этого момента времени

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

7. В системе координат, изображенной на рис. 184, законы движения:
плоскости x1 — s = vtf r/i —.0; стержня: х2 — 0, y2 = h = vCT • t. Для любого
момента времени yz = h = stgat следовательно, vCT = v tga.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

8. Вертикальная составляющая скорости капли t^ = 0cosa от движения
трамвая и ветра не зависит. Горизонтальная составляющая при неподвижном
трамвае определяется скоростью ветра и равна vx = v sina = vB; при движе^
нии трамвая, согласно условию,
v’=*v sin a — vT — 0t или с!в = ут = 5 м/с,
Из рис. 185 скорость капли в безветренную погоду равна
vy = vx ctg а — vT ctg a = 8,66 м/с,
9. Возьмем систему координат с началом в том месте, где пловец входит
в воду. Ось ОХ направим вдоль берега по течению, ось OF —перпендикулярно
к берегу. Предположим, что v2 составляет с ОХ угол а (рис. 186). Тогда
законы движения для проекций на координатные оси будут х — (их + v2 cos а) • t
и y==(v2sma)-t. Пловец попадает на другой берег, когда у — Н. Следовательно,
время, необходимое для переплывания реки, t — H/(v2sina). Оно
будет минимальным, когда sin а максимален, т. е. а —п/2 (рис. 187),
и 4шн “ Н(v2.

190 Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

При a — Ti/2 имеем: x — vxt. Поэтому, когда пловец окажется на другом
берегу, x — Xi = VitMim = v1H/v2. Длина пути s определяется выражением:,

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

показано на рис. 189. Составляющая % cos j3 скорости ветра w± относительно
корабля больше составляющей wx = w cos ос скорости ветра w относительно
земли на величину скорости корабля v (здесь (3 и а —углы межд^
курсом корабля и направлениями скоростей w1 и w соответственно), т. е.
W± COS Р = Ш COS 06 +У. (1)
Составляющие скоростей wly = wt sin Р и wy = w sin а в направлении,
перпендикулярном к движению корабля, равны между собой, т. е.
wx sin р = w sin a. (2)

191 Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Чтобы исключить неизвестный угол (5, возведем (1) и (2) в квадрат
и сложим почленно. В результате получим: = o;2 + t;2-|-2t>ay cos а. Отсюда
w — — v cos а ± У v2 (cos2 а — 1) + wf ,
или, учитывая, что а = 45°,
«=-ГГ+Г:”г
Здесь мы отбросили отрицательный корень, так как согласно условию задачи
w > О (этот корень появился при возведении
в квадрат уравнений (1) и (2)).

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

12. Рассмотрим движение точки Рг
относительно точки Рг. В системе координат
XOY, связанной с точкой и
расположенной, как показано на рис. 190,
составляющие относительной скорости v0
точки Р2 будут их= — (v1 + v2cosa) и
v z=v2 sin а. Сама относительная скорость
v0.=yvl+v* направлена по диагонали
прямоугольника, построенного
на vx и vy. Кратчайшим расстоянием
между точками Рг и Р2 за все время их движения будет, очевидно, длина
перпендикуляра AD = r к линии, по которой направлена относительная
скорость. Если обозначить угол между осью ОХ и относительной скоростью
v0 через Р, то /* = / sin Э, причем sin$ = vy/v0. Таким образом,
lvu lv2 sin ос
У vl + v*y У v\ + v\ + Ъ^р2 cos gc
Время t, в течение которого точка Р2 в относительном движении пройдет
расстояние £D = /cosp, равно
t — — *CQS Р
“ v0 “ v0
После подстановки значений cosP =
t = —
Vx
Vo
I (vx + v2 cos a)
vx и v0 получим:
v| —|— vi -j- 2v±v2 cos os
13. Время движения первого паровоза tx — ~~ + егZоl ‘сiр Zедvняя ско- 2
рость v^1 — 2vxv2!(vi + v2} = 53,3 км/ч.
Путь, пройденный вторым паровозом, /2 = (vx + v2) t/2, его средняя ско^-
рость vcp2 = (v1-Jrv2)/2 = 60 км/ч.
14. 1) vK = v0 + a2t2 + a3t3 + aJ^ = 5 м/с;1
s = v0ti -f- (^v0t2 Н—|— j + £(vo + *з4~^] +
[<
^ср — ‘
+ j (^0 + а2^2+Яз^з) t4
= 5,9 м/с.
5 м;

192 Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

193 Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

19. а =
2 (п— 1) s
(п + 1) t2
20. Когда второе тело догонит первое, их координаты будут равны;
t = 2v/a = 200 с.
Sv\v\
21. — = 3750 м.
~a(v 1 + у2)2
22. Обозначив времена ускоренного, равномерного и замедленного движения
через tlt t2 и /3, составим уравнения для каждого этапа движения:
ajt I
si— 2 ’ v = a1 t1, s2 = vt2, s3 = vt3 —
a2t |
vK = v — a2 t3 = 0.
Присоединяя очевидные соотношения t=t1-\-t2
Jr h и s = s1 + s2+s3, получим
систему из семи уравнений с семью неизвестными, решая которую найдем:
аг а2) .
Значительно проще получить решение при помощи графика v = f(t)
(рис. 194). Путь численно равен площади фигуры, ограниченной ломаной
линией, выражающей эту зависимость,
и осью времени. Эта площадь равна
площади прямоугольника s0 = vt без
площадей двух треугольников sx и
s3, а именно:

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

v2 V2
s S° s* s*~ -2а[ 2a^’
отсюда получается для t значение,
приведенное выше.
23. же, как и движения автомобиля
в предыдущей задаче. Поэтому для нахождения решения достаточно в ответе
S V предыдущей задачи заменить а1 = а2 = а. В результате получится: t=— + ~•
Решая это уравнение относительно а, найдем:
a = v2l(vt — s) ^ 0,17 м/с2.
24. vK — V%gh ~ 6,3 м/с.
25. и = У 2gH() + У5 = 24,8 м/с.
s 25,4 м/с.
27. J (VK-Vh) =«0,02 с.
28. Путь, пройденный телом за все время движения t2 t равен s = gtl/2;
путь, пройденный телом за время движения ^ </2, равен sx — gtf/2. По условию
задачи s — s! = 2/3s и t2 — tx — t= 1 с. Из этой системы четырех уравнений
с четырьмя неизвестными можно получить для s квадратное уравнение
«2-3^%+5^=0.

194 Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Из двух корней этого уравнения s = 3/4 (2 ± 1^3) gt2 лишь первый удовлетворяет
условию задачи. Таким образом,
s= А (2+/3)^2=27,4 м.
29. Возьмем ось координат О#, направленную вертикально вверх, с началом
отсчета в месте бросания тела (рис. 195). Тогда кинематические
уравнения движения
v = v0—gt

(2)
‘маис
макс
тело
Е

«л
дают значения координаты и скорости в любой момент
времени. При достижении высшей точки подъема Ят
скорость тела v — О. Из уравнения (2) найдем, что
достигает #макс спустя время t — vjg после бросания. При
t v0/g координата Н и путь s равны. В частности, при
t = v0/g путь s = #MaKC = ^/2g. При t>v0/g координата Н
убывает, в то время как путь, который равен сумме всех
пройденных телом расстояний независимо от направления
движения, продолжает увеличиваться. В частности, при
t = 2u0/g координата Н — 0, т. е. тело вернулось в место
бросания, а путь s = 2HuaK C = v%/g. При t>2vjg координата
становится отрицательной, т. е. тело спускается
ниже места бросания (если, конечно, для этого есть возможность). Из рис. 195
видно, что для t > vjg пройденный телом путь
Н
ш
Рис. 195
s = 2#MaKC-# = ^- v0t- (3)
где t — время, протекшее с начала движения. Это выражение будет верно и
при t > 2vjg. В тех же случаях, когда t < vjg, путь вычисляется, как и
координата, по формуле (1).
При значениях, данных в условиях задачи, ^=10 с больше, чем v0 /g = Зс.
Поэтому вычисление пути надо делать по формуле (3). При этом получается
s = 290 м. Значения же координаты и скорости для этого момента времени,
найденные по формулам (1) и (2), будут соответственно # = —200 м и v =
= —70 м/с. \
30. Н=Н1+^{^Г£Г-у) %1225и’
31. Если за начало отсчета берется место бросания, то координата h тела,
брошенного вертикально вверх, определяется уравнением
h — Vot — 1 (1)
Это уравнение при заданных v0 и h удовлетворяет двум значениям ti
v0 ± Vv% — 2gh
ti.
7*

195 Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Из двух корней этого уравнения s = 3/4 (2 ± 1^3) gt2 лишь первый удовлетворяет
условию задачи. Таким образом,
s= А (2+/3)^2=27,4 м.
29. Возьмем ось координат О#, направленную вертикально вверх, с началом
отсчета в месте бросания тела (рис. 195). Тогда кинематические
уравнения движения
v = v0—gt

(2)
‘маис
макс
тело
Е

«л
дают значения координаты и скорости в любой момент
времени. При достижении высшей точки подъема Ят
скорость тела v — О. Из уравнения (2) найдем, что
достигает #макс спустя время t — vjg после бросания. При
t v0/g координата Н и путь s равны. В частности, при
t = v0/g путь s = #MaKC = ^/2g. При t>v0/g координата Н
убывает, в то время как путь, который равен сумме всех
пройденных телом расстояний независимо от направления
движения, продолжает увеличиваться. В частности, при
t = 2u0/g координата Н — 0, т. е. тело вернулось в место
бросания, а путь s = 2HuaK C = v%/g. При t>2vjg координата
становится отрицательной, т. е. тело спускается
ниже места бросания (если, конечно, для этого есть возможность). Из рис. 195
видно, что для t > vjg пройденный телом путь
Н
ш
Рис. 195
s = 2#MaKC-# = ^- v0t- (3)
где t — время, протекшее с начала движения. Это выражение будет верно и
при t > 2vjg. В тех же случаях, когда t < vjg, путь вычисляется, как и
координата, по формуле (1).
При значениях, данных в условиях задачи, ^=10 с больше, чем v0 /g = Зс.
Поэтому вычисление пути надо делать по формуле (3). При этом получается
s = 290 м. Значения же координаты и скорости для этого момента времени,
найденные по формулам (1) и (2), будут соответственно # = —200 м и v =
= —70 м/с. \
30. Н=Н1+^{^Г£Г-у) %1225и’
31. Если за начало отсчета берется место бросания, то координата h тела,
брошенного вертикально вверх, определяется уравнением
h — Vot — 1 (1)
Это уравнение при заданных v0 и h удовлетворяет двум значениям ti
v0 ± Vv% — 2gh
ti.

196 Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Разность этих значений и есть промежуток времени между прохождениями
телом одной и той же высоты h, т. е.
2Vvj-2gh
At — t2 — U
g
(2)
Отсюда
v0~- ■у 2gh- g2№*
Если в выражении (2) положить /2 = 0, то мы получим промежуток времени
между вылетом тела и его возвращением в начальное положение: А/0 =
= Подставив сюда полученное ранее значение v0 i найдем:
дг0=2
2 h (АО2
g ‘ 4 *
32. АН = H0 — v0t.
33. Направим координатную ось OY вертикально вверх. Тогда уравнения
движения шариков будут иметь вид:
Уг — h -f- Viti—|[«^!> У2 — h—
где t±—время падения на землю первого шарика, a t2 — второго. Падению
на землю соответствуют координаты у1=у2=0. Определив tx и /2 из полученных
квадратных уравнений, найдем:
34
(Hr
к — к = у (vi + v2 + Vv\+2gh — V»l + 2gh).
2 s
35. Уо
+— h’
■h*) VI
1 c.
; 3,69 М/С.
V 2 (H1—h)
36. Скорость первого тела в момент времени t будет vx = v0—gt. Скорость
второго тела в этот же момент времени v2 = v0 — g(t — Т). Относительная скорость
v01H = v2 — vl—gT постоянна,

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

т. е. тела движутся относительно
друг друга равномерно.
37. Пусть за некоторый весьма
малый промежуток времени t лодка
переместилась из точки А в точку В
на расстояние s—s1 = vj (рис. 196).
За это же время веревка, имевшая
положение AD, заняла положение
BD, причем длина ее уменьшилась на
величину L — Ly—vt. При малой величине
t будет мал также и угол а.
Поэтому угол р в равнобедренном
треугольнике BCD будет очень мало отличаться от 90°. Следовательно, треугольник
АБС можно считать прямоугольным и
L — Li vt v
S—Si — vxt ~ Vj,
= cosy; отсюда уд =
cos 7

197 Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

противоположный, и величина ее уменьшается согласно условию задачи вдвое,
т. е. после удара значение скорости соответствует точке Б. При подъеме скорость
падает до нуля (точка С), причем наклон линии остается прежним, так как
ускорение все время равно — g. Далее снова происходит падение. При падении
достигается та же величина скорости, которая была в первый момент
после удара (точка D), и т. д.
Согласно формуле v2 = 2gH высота подъема пропорциональна квадрату
скорости. Поэтому после т-то удара, когда скорость будет в пт раз меньше,
чем перед первым ударом, высота Нт будет в п2т раз меньше #0, т. е. Ят =
= HJn2m. После каждого удара мяч будет проходить вверх и вниз путь, равный
удвоенной высоте: после первого удара s1 = 2H1 = 2H0!n2, после второго
удара s2 = 2tf2 = 2tf0/tt4, после третьего удара s3 = 2H3 = 2H0/nQ и т. д. Чтобы
получить полный путь, надо к сумме величин Si + S2 + S3 + — прибавить еще
путь 50 = Я0, пройденный до первого удара. Таким образом,
с И , 2 Я , , 2 Й , 2 Я 0 , 2 Й 0 Л 1 1 1 \
5=я»+*г+-^г + ^г + — — я ° + ^г + ^ + + — J —
Здесь в скобках стоит бесконечная убывающая геометрическая прогрессия
1 н 2
со знаменателем q=l/n2. Сумма членов такой прогрессии равна j—-= ——j-.
Подставив это значение в выражение для пути, получим:
5 = Я о^Щ = ТЯо = 200 м.
42. Шарик к моменту встречи с плитой приобрел скорость vx =— У 2gh.
Скорость шарика относительно плиты, движущейся ему навстречу, в этот же
момент равна v’ = —(1/r2gh-{-v). После абсолютно упругого удара скорость,
шарика относительно плиты v’2 =—v[. Скорость v2 шарика относительно точки,
в которой произошло соударение (эта точка неподвижна), больше, чем относительно
плиты (плита догоняет отскочивший шарик со скоростью v), а именно:
v2 = V2 + v = J/r2gh-{-2v. Искомая высота
43. Разложив скорость v0 на тангенциальную (вдоль стенки) и нормальную
(перпендикулярно к стенке) составляющие, получим соответственно: vox =
= v0 sin а и v0n = v0cos a. Тангенциальная составляющая, благодаря гладкости
стенки, не изменится. Относительно движущейся стенки проекция скорости
на нормаль vn = vn0 -^u = v0cos a-\-u. После удара она изменит знак,
сохранив свое численное значение. Относительно неподвижной системы отсчета
проекция на нормаль скорости шарика после удара vn2 изменится на
величину скорости и (так как стенка догоняет шарик), т. е.
~ (vn + ti) = — (v0 cos a + 2u).
Полная скорость шарика относительно неподвижной системы отсчета после
отражения от стенки будет
v = У v2
п2 + v*x = V(Ро cos а + 2и)2 + v\ sin2 а. *

198 Прямолинейное движение. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

На главную страницу ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ.

Статистика


Яндекс.Метрика