ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ. ГЛАВА I. МЕХАНИКА.
§ 5. Закон сохранения количества движения. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.
Страница переведена на новый сайт: страница ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
А в т о р ы :
Г. А. Бендриков, Б. Б. Буховцев,
В. В. Керженцевг Г. Я. Мякишев
Скачать в хорошем качестве в формате PDF
Задачи по Физике для поступающих в ВУЗы (8-е издание).
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно):
§ 5. Закон сохранения количества движения. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.
140. F=-^- = mvn = 15 Н.
At
141. Так как
чества движения
pfSina
а
‘<1
P 2slча
г*-
р9~т
стенка гладкая, то при столкновении составляющая коли-
мяча вдоль стенки не изменяется (см. рис. 238, на котором
изображены векторы количества движения мяча перед
ударом рх и после удара р2). Составляющая же, перпендикулярная.
к стенке, меняет знак. В результате
мяч отскакивает под углом а к стенке. Изменение проекции
количества движения на направление, перпендикулярное
к стенке, равно
Ар = mv sin а — (— mv sin a) = 2mv sin a.
Искомая сила
Ap 2mv sin a
Рис. 238 At At = 15 H.
142. Ap = m (y+-V2gh) == 1,6 кг • м/с.
143. u = — mv/M — — 3,25 м/с. Знак минус указывает на то, что скорости
орудия и снаряда направлены в противоположные стороны.
216 Закон сохранения количества движения. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.
144. и = mv/(M + т) % 1 м/с.
145. Количество движения системы пушка —снаряд вдоль горизонтального
направления, равное нулю до выстрела, за время выстрела не меняется, так
как в этом направлении внешние силы не действуют. В данном случае выстрел
произведен под углом а к горизонту, и проекция вектора количества движения
снаряда на горизонтальное направление равна mv cos а (рис. 239). По закону
сохранения количества движения Ми + mv cos а = 0. Отсюда
mv cos а
146. f — M a : mzv*
2Ж
М
= 1,32 — 104 Н.
-7 м/с.
147. Проекция вектора количества движения снаряда на горизонтальное
направление равна v sin а (рис. 240). Закон сохранения количества движения
для направления вдоль горизонтали будет иметь вид mxv sin а = (m1 + m2) и.
Отсюда
mи x=v s—in ^а 1, ,о2с 5. м/с. т1-\-пи
Вертикальная же составляющая количества движения снаряда будет передана
земному шару в целом.
148. и — mslMt = 0,083 м/с.
„1 49. 1>! = —тv —-=5- м/с, v2 — 1 тг 7
m 5
т V = ~7r м/с. 2+пг 9
150. s =
151. и =
152. t> =
mlv*
2kg(ml + m2)2 = 50 м.
Mv — m V2gl sin a • cos a
M-\-m
(M-m)
m ^ 217 м/с.
тхи — тгу
mx — m2
26 км/ч, во втором «2: + m2v
m1 — m2
153. В первом случае ux
с** 12 км/ч.
154. Скорость платформы после попадания на нее камня определяется
с помощью закона сохранения количества движения: и — mxv}(mx + т*) =
= 16 км/ч. Эта скорость не изменится при выпадении камня через люк, так
как при этом не возникают силы, действующие на платформу в горизонтальном
направлении.
217 Закон сохранения количества движения. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
155. v i = = ——2—= —15 м/с; скорость большего осколка на^
правлена против скорости движения ядра до разрыва.
156. v 2 ^ 0 , 2 м/с, v2 = u = 8 м/с.
157. Скорости лодок после перебрасывания грузов определяются с помощью
закона сохранения количества движения. Груз, брошенный вперед (в первую
лодку), будет иметь относительно воды скорость v — \ — u , а груз, брошенный
назад (в третью лодку), приобретет скорость и — и . Количество движения
системы «первая лодка —груз» до попадания груза в лодку равно M v +
Приравнивая его количеству движения после попадания груза
в лодку, получим:
M v + т ( v + и ) = ( М + т ) vl f
ГДе ^ — искомая скорость первой лодки. Отсюда
M v — j — m ( v + u )
V l ~ М + т ‘
Для третьей лодки закон сохранения количества движения имеет вид:
M v + m ( v — u ) = ( M + т ) v 3 t и, следовательно,
M v — \ — m ( v — и )
V a ~ Ж + т *
Скорость средней лодки не изменится. Действительно, до перебрасывания
грузов количество движения лодки с грузом равно ( M + 2 m ) v . Согласно усло^
вию задачи оно не меняется при выбрасывании грузов:
(M + 2m) v = M v 2 + m ( v + u ) + m ( v — и ) ; отсюда v2 = v .
158. Если скорость человека относительно лодки обозначить через v,
а скорость лодки относительно воды —через и , то скорость человека относительно
воды будет равна v + u . По закону сохранения количества движения т ( v + и ) +
-J- М и = 0 . Отсюда ~ Отношение скоростей во время движения
остается постоянным. Поэтому отношение пройденных перемещений будет
равно отношению скоростей: -у = — . Следовательно,
1 т
5= — М + т = —1 М.
Знак минус показывает, что перемещения человека и лодки противоположны
по направлению.
159. Полная сила, с которой поезд действует на земной шар в горизонт
тальном направлении, равна нулю, так как сила тяги постоянна и равна
силе трения. Разрыв состава не меняет этого факта, ибо сопротивление движению
не зависит по условию задачи от скорости. Следовательно, сила, действующая
в горизонтальном направлении со стороны Земли на систему
«поезд —оторвавшийся вагон», также равна нулю. Поэтому к системе можно
применить закон сохранения количества движения.
Удобнее всего это сделать в системе отсчета, движущейся со скоростью,
равной скорости поезда до его разрыва: m v ( М — т ) и = 0, где v и и — ско-
218 Закон сохранения количества движения. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
рости вагона и поезда относительно выбранной системы отсчета в произволь-
Знак минус соответствует
ный момент времени. Очевидно, — = М-
тому, что в нашей системе вагон и поезд движутся в разные стороны.
Так как отношение скоростей постоянно и начальные скорости вагона и
поезда одинаковы, то отношение путей, пройденных в движущейся системе
вагоном 1 [ и поездом /£, будет равно отношению скоростей:
/[ М — т
1Г=—• («
В момент, когда скорость вагона в движущейся системе координат станет
равной скорости v0 поезда до его разрыва, будет выполняться равенство
s — (2)
Пройденное вагоном расстояние 1 [ равно /i — расстоянию, которое вагон проходит
до остановки в покоящейся системе координат. Ведь ускорение вагона
по величине и время движения вагона одинаковы в обеих системах, и в одной
из них скорость меняется от нуля
до у0, а в другой от о0 До нуля ~и Решая систему уравнений (1)и (2),
найдем:
М — т ‘//////////
h : М
— s = 480 м.
7£7Ш/.
\ в шт/л У//////////У/Щ
160. На рис. 241 изображены
траектории снаряда и осколков.
Разрыв происходит в точке А . Как
вытекает из кинематических соотношений,
эта точка лежит на высоте H = ( v % sin2 a)/2g и находится на расстоянии
/ = ( p i sin 2 a ) / 2 g от места выстрела (см. задачи 56, 57). Скорость снаряда
в этой точке vh — v0cosol. Начальные скорости осколков снаряда v ± и v 2 свя-
заны с v м , м H законом сохранения количества движения: M v H — -^-Vi~\—Ff ^2»
где М — масса снаряда.
Скорость первого осколка v ± можно найти по заданному расстоянию s.
Очевидно, s — / = V \ t , где t = Y ^ H / g = (у0 sin a ) / g — время полета осколка.
Отсюда
s g Vi~- v0 s m a — v 0 cos a .
Начальная скорость второго осколка v 2 = 2 v H — v ± = 2>vQ cos a — sg
vQ sm a -. Искомое
расстояние
т 1 , 2vl sin 2a
L= l+ v2t = ———————- s.
8
Данную задачу можно решить другим способом. Центр тяжести осколков
движется так, как двигался бы неразорвавшийся снаряд. Осколки падают на
землю одновременно, и центр тяжести системы в момент падения будет находиться
на расстоянии 21 от места выстрела. Для этого необходимо, чтобы
219 Закон сохранения количества движения. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
выполнялось соотношение
М М г ^ г * 1 2vl sin 2а
-J7- ( 2 1 — s) = — п — ( L — 2 1 ) ; отсюда L = 4 l — s = —2———-s.
^ ^ 6
161. Примем за положительные направления вертикальное вниз и горизонтальное
в сторону полета снаряда (рис. 242). После разрыва снаряда первый
осколок согласно условию задачи имеет
только вертикальную составляющую скорости.
Поэтому закон сохранения количества
движения для горизонтального направления
имеет вид Mлv, = — ^М- v .. 2 x , где М — масса снаряда,
a v2 x — горизонтальная проекция скорости
второго осколка.
Так как количество движения снаряда
по вертикали перед взрывом равно нулю,
ММ .
~ 2 ~ V l y + v * y ~10 вертикальные составляющие
скоростей осколков равны по величине и направлены в противоположные
стороны. Следовательно, v 2 y =—и г у .
Запишем также кинематические уравнения движения осколков. Для первого
и второго осколков j
РТ- пг^2
H = v l y т+^2~, H = v , y t + ^ — и s — v 2 x t ,
где t — время падения второго осколка. Исключив из этих уравнений vU / , v 2x»
v 2 y и ty получим для скорости снаряда перед разрывом квадратное уравнение:
2Я V 2 тГ 8 Н и*
Из двух его корней
s Н \ s f g r Н
Рис. 242
‘-т[Ъ^)*ж\Ъ+ г
решением задачи будет корень, содержащий знак плюс, так как при нашем
выборе положительного направления v > 0.
Таким образом, окончательно v — s g T / Ш .
220 Закон сохранения количества движения. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.
На главную страницу ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ.