дома » Квант » Задачник Кванта 7 1972

Задачник Кванта 7 1972

Задачник Кванта 7 1972

Задачник Кванта | КВАНТ 7 1972

Главная страница Квант 7 1972.
Скачать оригинальный файл PDF на странице Бесплатные Учебники

Считаете сайт полезным?
Просто поделитесь в соц. сетях
той страницей, которая Вам помогла.

Квант 7 июль 1972

Квант 7 июль 1972

Ниже текст для быстрого знакомства с темой. Формулы отображаются некорректно. Если тема вас заинтересовала, нажмите на ссылку выше и скачивайте оригинал.

Задачник Кванта 7 1972

ЗАДАЧИ

В этом номере мы помещаем задачи, предлагавшиеся на
заключительных турах Всесоюзной математической и физической
олимпиад в апреле этого года.
Решения задач этого номера можно присылать не позднее
15 сентября по адресу: 117071, Москва В-71, Ленинский проспект,
16, издательство «Наука», редакция журнала «Квант».
После адреса на конверте укажите, решения каких задач
вы посылаете (например: «Задачник «Кванта», М151, Ф153.)
Решения задач по математике и физике, а также новые
задачи-по каждому предмету посылайте в отдельных конвертах.
В начале писем укажите свою фамилию, имя, отчество,
домашний адрес (а также класс и школу, в которой вы учитесь

MI51. Каждая из девяти прямых
разбивает квадрат на два четырехугольника,
площади которых относятся
как 2 :3 . Доказать, что по
крайней мере три из этих девяти
прямых проходят через одну точку.
(8, 10 кл.).
Б. М. Ивлев

М152. Пусть а, Ь, т, п — натуральные
числа, причем а взаимно
просто с Ь и д > 1. Доказать, что если
ат+Ьт делится на ап+Ьп, то т
делится на п (9*), 10 кл.).
Д. Ю. Григорьев.

Ml53. Двое играют в следующую
игру. Один называет цифру, а другой
вставляет ее по своему усмотрению
вместо одной из звездочек в
следующей разности:
Затем первый называет еще одну
цифру и так далее 8 раз, пока все
звездочки не заменятся на цифры.
Тот кто называет цифры, стремится
к тому, чтобы разность* получилась
как можно больше, а еторой— чтобы
она стала как можно меньше. Доказать,
что
а) второй может расставлять
цифры так, чтобы получившаяся при
этом разность стала не больше 4000,
независимо от того, какие цифры называл
первый;
б) первый может называть цифры
так, чтобы разность стала не
меньше 4000, независимо от того, куда
расставляет цифры второй (8 кл.).
Ю. И. Ионин.

М154. На прямой дано 50 отрезков.
Доказать, что верно хотя бы одно
из следующих утверждений:
а) некоторые восемь отрезков
имеют общую точку;.
б) найдется восемь отрезков, ни*
какие два из которых не имеют общей
точки (8, 9 кл.).
А. Г. Харазишвили.

Ml 55. Дано несколько квадратов,
сумма площадей которых равна I.
Доказать, что их можно поместить
без наложений в квадрат площади 2
(9, 10 кл.).
Г. А. Гальперин.

33

Ф163. Согласно одной из первых
моделей атома водорода (модель
Томсона),

он представляет собой
равномерно заряженный положительным
электричеством шар, в центре
которого находится электрон. В
целом атом нейтрален. Найти радиус
такого атома, если известно, что минимальная
энергия, которую нужно
сообщить электрону для удаления
его из атома на большое расстояние,
равна W. Заряд электрона е. (10 кл.)
I
h it . 1. Рис. 1.

Ф164. Кубик из пенопласта массой
М =* 100 г лежит на горизонтальной
подставке. Высота кубика равна
а = 10 см. Снизу кубик пробивает
вертикально летящая пуля, массой
т = 1 0 г (см. рис. 1). Скорость пули
при входе в кубик У| = 100 ж/с, при
вылете у2=95 м / с . Подпрыгнет ли
кубик? (8, 9 кл.)

Ф165. Определить, во сколько раз
изменится освещенность изображения
Солнца,

полученного плосковыпуклой
линзой, если линзу разрезать
по диаметру и сложить плоскими
сторонами. (10 кл.)
В. Н. Листвин
Ф166. В расположенном горизонтально
цилиндре с одной стороны от
закрепленного поршня находится
1 моль идеального газа. В другой
части цилиндра вакуум. Пружина,
расположенная между поршнем и
стенкой цилиндра, находится в не-
деформированном состоянии * (рис.
2). Цилиндр теплоизолирован от окружающей
среды. Поршень освобождают
и после установления равновесия
объем, занимаемый газом,
увеличивается вдвое. Как изменится
температура газа и его давление?
Теплоемкости цилиндра, поршня и
пружины пренебрежимо малы.
(9 кл.)
Е. И. Бутиков, А. А. Быков,
А. С. Кондратьев

Ф167. К выходу «черного ящика»
подключен идеальный амперметр.
Если ко входу подключена батарея
с э.д.с. Е и внутренним сопротивлением
г, то ток через амперметр ровно в
2 раза меньше, чем в том случае,
когда ко входу ящика подключены
две такие батареи, соединенные последовательно.
Нарисовать простейшую
возможную схему внутреннего
устройства «черного ящика». (8,9 кл.)
А. Р. Зильберман А. Р. Зильберман

34

РЕШЕНИЯ

В этрм номере мы публикуем решения задач М108—М109,

MI08

а) Докажите, что прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника
ровной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в
треугольник.
(5) Докажите аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который
можно вписать окружность.

Решим сразу задачу, б). Пусть некоторая прямая пересекает контур многоугольника,
описанного около окружности с центром О, в дочках Р и Q, которые делят периметр многоугольника
пополам. Тогда отрезки ОР и OQ разбивают этот многоугольник на два равновеликих
многоугольника (чтобы убедиться в этом, достаточно соединить точку О со всеми
вершинами многоугольника и заметить, что высоты у всех получившихся треугольников
с вершиной О равны радиусу окружности).
Но если и прямая PQ делит площадь
многоугольника на две равные части, то
точка О должна лежать на отрезке PQ
(иначе образуется «лишний» треугольник
QPQ (см. рис. 1)).
То же рассуждение позволяет доказать
чуть более общий факт (для треугольника
ои приведен в книге «Задачи и
теоремы по геометрии» 3. А. Скопеца и
В. А. Жарова, Учпедгиз, 1962, задача 565):
прямая, пересекающая описанный многоугольник,
делит его площадь и периметр в
одинаковых отношениях тогда и только
тогда, когда она проходит через центр
окружности.

Любителям геометрических неравенств
предоставляется исследовать вопрос:
сколько существует прямых, делящих пополам
площадь и периметр треугольника Рис. 1.
со сторонами а, Ь и с? Ответ и указание
даны на стр. 60. Максимальное количество таких прямых — три, и они, по доказанному,
всегда пересекаются в одной точке.
Что же касается л-угольннка при л > 3 , то здесь таких прямых может быть даже
бесконечно много, причем если многоугольник не описанный, то они могут и ие проходить
через одну точку (например, в равнобочной трапеции с основаниями а и Ь можно подобрать
длину боковой стороны так, что будет существовать прямая, параллельная основаниям,
которая делит пополам и площадь, и периметр; кроме нее этим свойством обладают и все
прямые, проходящие через середину средней линии и пересекающие основания трапеции).

35

Можно доказать, основываясь ка соображениях «непрерывности», что по крайней мере
одна прямая, делящая пополам н площадь, и периметр, существует для л юб о г о
выпуклого многоугольника (и вообще для любой ограниченной выпуклой фигуры). Прежде
всего, ясно, что если двигать прямую, перпендикулярную фиксированному направлению
Ох, то наступит такой момент (единственный), когда она разделит пополам площадь, и такой
момент, когда она разделит пополам периметр.

Пусть хР — координаты соответствующих
точек на оси Ох. Теперь зафиксируем точку О и повернем ось Ох вокруг нее на
угол (р (0 < ф ^ л) (рис. 2). Для каждого угла ф, то есть для каждого положения оси Ох,
мы сможем аналогично определить числа
xs (ф) и Хр (ф). Ясно, что каждая из функций
xs и хР зависит от ф «непрерывно»,
причем при ф = 0 и ф = я каждая из них
принимает значения, равные по абсолютной
величине, но противоположные по
знаку (ведь ось Ох смотрит при этом в
противоположные стороны). Следовательно,
при каком-то промежуточном значении
ф—фо значения xs и хР должны равняться
другу другу (рис. 3). Это и есть основное
свойство «непрерывности», которым
мы пользуемся.

Как оформлять подобные доказательства
строго, подробно рассказывается
в книге Н. Стннрода и У. Чинна
«Первые понятия топологии», одной из
лучших книг популярной серии «Современная
математика» («Мир», 1967).

М109

в) В вершине А х правильного 12-
угольник* AxAtAt . . . стоит знак
мниус, а В ост льных — плюсы. Разрешается
одновременно менять знак иа
противоположный в любых шести после»
довательных вершинах многоугольнике.
Докажите, что за несколько таких операций
нельзя добиться того, чтобы в вершине

A ш оказался знак минус, а в остальных
вершинах — плюсы.
б) Докажите то же утверждение, если
разрешается одновременно менять
знаки ие в шести, а в четырех последовательных
вершинах многоугольника.
в) Докажите то же утверждение, если
разрешается одно ремеш < менять знаки
в трех последовательных вершинах
многоугольника.

Начнем с задачи в). Разобьем все 12
вершин натри группы по четыре вершины
в каждой: первая группа — вершины с
Рис. 3. Дав непрерывные кривые — краснея номерами 1, 4, 7, 10, вторая — 2, 5, 8,
н синяя— должны пересекаться. И, третья — 3, 6, 9, 12 (рис. 4, вершины
каждой группы составляют квадрат). Ясно,
что какие бы три последовательные вершины 12-угольника мы ии выбрали, в каждую
из трех наших групп попадет ровно одна из выбранных вершин. Таким образом, смена
знака у трех последовательных вершин вызовет изменение количества минусов (и плюсов)
в каждой группе ровно на единицу.

Теперь докажем, что от расположения А знаков на рисунке 4 нельзя перейти к расположению
Б. У расположения А и во второй, и в третьей группе количество минусов равно
нулю. После первой смены знаков, где бы она не произошла, во второй и в третьей группе
будет по одному минусу; потом, после второй смены знаков в каждой из этих двух групп
станет 0 или 2 минуса, затем — 1 или 3 минуса, потом — 0,2 или 4 минуса, затем снова
1 или 3 минуса в каждой н т. д. Таким образом, в этих двух группах будет одновременно
либо четное число минусов, либо нечетное. Но у расположения Б во второй труппе 1 минус,
в тре ьей — 0. Поэтому мы его заведомо не сможем получить из А.

36

Аналогично можно решить задачи а) и б). Подумайте, какие группы вершин удобно
рассмотреть в этих случаях. Мы не будем отдельно записывать решения этих задач, а сразу
попытаемся выяснить более общий вопрос.
Пусть в вершинах правильного л-угольника расставлены плюсы н минусы, и разрешай
с я изменять знак одновременно в любых к вершинах, стоящих подряд (л и ft — данные
натуральные числа, £<л); какие расположения знаков можно получить из данного, а
какие — нет?

Рассмотрим сначала частный случай, непосредственно обобщающий задачи а)—в)
л —д е л и т с я на k.
Пусть л = £ я 1. Разобьем все п вершин на к групп так, что в каждую группу включаются
п у вершин правильного л-угольника. Каждому расположению плюсов и минусов поставим
в соответствие набор у = (у,, у л, . . . , у ), где

Ясно, что смена знаков в любых k последовательных вершинах вызывает изменение
количества минусов в каждой группе на единицу, то есть из расположения, которому соответствовал
набор у, получается расположение, которому соответствовал противоположный
набор “у, получающихся из у заменой всех нулей на единицы и единиц — на нули:
Назовем два расположения х, х’ плюсов и минусов эквивалентными (*~*’}, если их наборы
у, у’ либо равны, либо противоположны *). (Например, на рисунке 4, где п= \2 , £= 3
расположение В эквивалентно А , а Г~ £ .

Докажем, что одно из расположений можно перевести в другое тогда и только тогда,
когда они эквивалентны. В одну сторону это уже, по существу, доказано: из расположения
X с набором у при сменах знаков будут последовательно получаться расположения с наборами
«у, у, у, у и т. д., то есть, если из X можно получить X ‘, то Х ~ Х \ Докажем обратное:
если Х ~ Х ‘, то из начального расположения знаков X можно получить расположение
X ’ . Ясно, что можно получить в вершинах с номерами I, 2……(л—*+1) те знаки, которые
нам хочется, последовательно меняя (если нужно) знаки у вершин с 1-й по ft-ю,
затем со 2-й по (А+1)-юр… с (л—Л+1)-й по л-ю. Таким образом, мы можем получить расположение
X » , которое, во-первых, совпадает с X ‘ во всех вершинах, кроме, быть может,
(А—1) вершин с (л—Л+2)-й по л =ю , и во-вторых, эквивалентно X ‘ (X ~ Х ‘ потому, что
оба они эквивалентны X). Но тогда расположения X » и X ‘ должны совпадать полностью.

Действительно, поскольку у \ —у\ (знаки у всех вершин 1-й группы расположений X » и
X ‘ совпадают) и X ” —X то yt = у\ для всех i= 2, 3, . . . , k, следовательно, в вершинах
с номерами от (л—Л+ 2) до л у X » должны стоять те же знаки, что у X ’.
Наше утверждение доказано (для л—*Я|). Из доказательства видно, что все множество
возможных расположений знаков разбивается на 2*-1 классов по 2п-* * 1 элементов
в каждом.
*) Легко проверить, что это действительно отношение эквивалентности на множестве
всех наборов. (Об этом понятии см. статью М. М. Глухова «Отношение эквивалентности
и разбиения множеств» в «Кванте» N? 2, 1972).

37

Если вы разобрались в этом доказательстве, то построить переход о т Л к В и о т Б к Г
на рисунке не составит для вас никакого труда.
Прежде чем исследовать общий случай, полезно прочитать статью В. Н. Вагутена*),
особенно лемму на стр. 33 и рассмотреть некоторые примеры, скажем п = 12, 4= 8 ; я—12,
к—9 или даже более простые п = 3 , к—2; п—4, А=3. Окончание решения вы найдете на
стр. 60, но прежде попробуйте найти его самостоятельно.
Наиболее полные и оригинальные решения задач М10в—М109 прислали Г. Гринчен-
ко, В. Кореняко и М. Илларионов из Воронежа, Э. Туркевич из Черновцов, А. Черняк из
Минска, Н. Чернов из Кривого Рога, А. Шерстюк из Николаева, М. Прегер из Томска,
Д. Ханин из Ленинграда.
Я. Б. Васильев.

В этом номере мы публикуем решения задач Ф129—Ф130.

Ф129

Тело находится в точке А внутри неподвижной полой сферы (рис. 5). В каком случае
тело скорее достигнет нижней точки В сферы: если оно будет скользить по поверхности
сферы? если оно будет скользить вдоль прямой АВ? Трение в обоих случаях пренебрежимо
мало, начальная скорость тела равна нулю и расстояние АР много меньше радиуса
сферы.

Движение тела по поверхности сферы совершенно аналогично движению математического
маятника с длиной подвеса, равной радиусу сферы R. Так как AB<£Rt то отклонение
тела от положения равновесия (точки
В) мало. Поэтому для периода колебаний
маятника можно воспользоваться формулой
Т=V?.Время движения тела
от точки А до точки В равно четвер ■
тн периода колебаний, то есть
Рис. 5. равна mg sin а
( / ,— время движения тела по наклонной плоскости) и y4B=2i?sina, то
Движение тела по наклонной плоскости
— равноускоренное. Ускорение а
ему сообщает составляющая силы тяжести,
параллельная наклонной плоскости.
Если угол наклона плоскости к горизонту
равен а , эта составляющая
Так как АВ = —1
2
V а V g s in a V g
Мы получили /2> * ii 70 есть тело достигнет точки быстрее в том случае, если оио будет
двигаться по поверхности сферы.

Ф130

Внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины
заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее
верхней точке? Диаметр сферы равен d, заряд шарика q, его масса т.
Заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы
электрическая сила, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести шарика
mg.
*) Смотри «Квант» № 6, 1972,

38

Однако нам нужно еще проверить, будет
лк равновесие шарика устойчивым. Рассмотрим
малое отклонение шарика от положения
равновесия (рис. 6).
Равновесие шарика устойчиво, если проекция
силы F электрического взаимодействия
нарядов на касательную к сфере больше
или равиа проекции силы тяжести иа ту же
касательную.

(Сила N реакции перпендикулярна поверхности
сферы.)
Так как угол а отклонения шарика от
положения равновесия мал, то sin а «г* а ,
sin За и / л* d. Поэтому

Следовательно, для устойчивого равновесия
шарика в верхней точке сферы в нижнюю
точку сферы должен быть помещен заряд
Редакция получила 150 писем с решениями задач Ф123—Ф130. Наиболее трудной
оказалась задача Ф123, самой легкой — задача Ф124.

Правильные решения задач прислали: А. Айзиковский (Кремеичуг) Ф!24, Ф125,
Ф12в; А. Александров (Глазов У АССР) Ф129; Т. Аманбаев (ст. Ново-Казалннск Кзыл-Ор-
динской обл. Каз. ССР) Ф12б; /7. Анненков (с. Тоцкое Оренбургской обл.) Ф124, Ф125;
С. А росла нова (с. Н.-Ивкино Кировской обл.) Ф125, Ф129; Д. Архипов (Рязань) Ф127;
Э. Ахмедов (Баку) Ф128; А. Боевский (Гомель) Ф123, Ф124. Ф125, Ф126, Ф129, Ф130;
B. Белов (Вологда) Ф124, Ф125, Ф126, Ф128, Ф129, Л. Брагинский (Фрунзе) Ф125, Ф126,
Ф128, Ф129; И. Ваксер (Минск) Ф128, Ф129; В. Воронцов (п. Ивня Белгородской обл.) Ф129;
C. Галахваридэе (Тбилиси) Ф124, Ф125, Ф126, Ф127; А. Григорян (Баку) Ф129; Б. Да-
ринянов(с. Кнншнга Бур. АССР) Ф125; А. Довжиков (Ленинград) Ф129; Е. Долгов
(Москва) Ф124, Ф125, Ф12в, Ф129, Ф130; В. Долматов (Ташкент) Ф125, Ф126; А. Едренкин
(Горький) Ф129; А. Ельков (Москва), Ф128; В. Зайцев (Острогожск Воронежской обл.)
Ф129; К. Зарембо (Харьков) Ф128, Ф129; Н. Зыков (Саратов) Ф128, Ф129; А. Истомин
(Подольск Московской обл.) Ф125, Ф12в; Я ■ Итин (Речица Гомельской обл.) Ф125, Ф127;
А. Каримов (Уфа) Ф128, Ф129; М. Кауль (Фрунзе) Ф125; М . Кацнельсон (Магнитогорск)
Ф124; Л. Книжнерман (Москва) Ф128, Ф129, Ф130; В. Кокосуй (Гомель) Ф129; А. Кохман
(Москва) Ф129; В. Коротких (Новокузнецк) Ф125; С. Котко (Воронеж) Ф129; Г. Левин
(Куйбышев) Ф128; О. Лимонов (Тимошевск Краснодарского края) Ф123; В. Логозинс-
кий (Ртищево Саратовской обл.) Ф128, Ф129; А. Лучевой (Грозный) Ф127; Ю. Лурье (Грозный)
Ф128, Ф129; С. Лягушкин (Днепропетровск) Ф128, Ф129, Ф130; А. Мамула (с. Ды-
бинцы Богуславского р-на Киевской обл.) Ф128; В. Михнев (Пятигорск) Ф129; Р. Мухамедов
(п. Старая Кулатка) Ф127; А. Набатов (Евпатория) Ф128; С. Поташев (Ульяновск)
Ф129; М. Прегер (Томск) Ф130; Л. Рудицер (Харьков) Ф125, Ф129; О. Саакян (Ереван)
Ф125, Ф126, Ф127; Л. Сафиулин (с. Б. Сабы Сабинского р-на Татарской АССР) Ф124;
А. Сбоев (п. Медведок Нолннского р-на Кировской обл.) Ф124, Ф126; П. Сергеев Грозный)
Ф123, Ф124, Ф126, Ф128 Ф129, Ф130; И. Сидоров (Москва) Ф125, Ф126; Г. Симонвнков
(Каунас) Ф126, Ф127; Л. Смушкевич (Магнитогорск) Ф123, Ф124, Ф125; М. Темкин (Минск)
Ф129; В. Терентьев (Павлово Горьковской обл.) Ф126; О. Трупов (Джалал-Абад Кнрг. ССР)
Ф125, Ф127; Ф. Тахватулин (Ташкент) Ф129, Ф130; Н. Федин (Омск) Ф124, Ф125, Ф128,
Ф129; М. Флеров (Москва) Ф125, Ф130; Д. Фушман (Черновцы) Ф125, Ф!26, Ф127; Л. Циферблат
(Львов) Ф123 ; С. Черников (Семипалатинск) Ф125, Ф127; Ю. Шашков (Щнг-
ры Курской обл.) Ф129; И. Юрченко (Киев) Ф129.
И. Ш. Слободецкий

39

Физика в Школе
КВАНТ

#физика #квант

Статистика


Яндекс.Метрика