Законы идеальных газов
Б. Б. Буховцев

Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :

страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)

Ниже текст для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Смотрите оригинал в формате PDF по ссылке выше.

Какими величинами можно охарактеризовать
состояние идеального
газа?
Считая, что нам известен химический
состав газа и его масса, мы
для описания его состояния можем
воспользоваться такими параметрами,
как объем V, занимаемый газом,
давление Р, температура Т газа.
Связь между этими параметрами идеальных
газов отражают четыре основных
закона: закон Бойля — Мариотта,
закон Гей-Люссака, закон Шарля
и закон Клапейрона — .Менделеева.
Пользуясь уравнениями, описывающими
эти законы, можно практически
решать любые задачи, в которых
нас интересует физическое состояние
идеального газа.
З а м ж 1>ой.1И — Ма ржи ւ а
PV— const. (I)
Это соотношение между давлением
и объемом газа впервые было установлено
английским физиком Бойлем
в 1662 году. В 1676 году независимо
от Бойля французский физик Марн-
отт установил такую же зависимость
между давлением и объемом газа.
Равенство (I), выражающее закон Бойля
— Мариотта, выполняется только
при определенных условиях: температура
газа остается неизменной, масса
его постоянна и химический состав
газа не меняется. Кроме того, температура
должна быть не слишком
низка, а давление не слишком велико.
Различные состояния газа при одной
и той же температуре можно изобразить
на графике (так называемой
Р—V-диаграмме) точками. Геометрическое
место таких точек — гипербола
(это видно и из соотношения (1)).
Ее можно рассматривать и как график
процесса, происходящего при постоянной
температуре — так называемого
изотермического процесса (рис. 1).
Кривую, описывающую изотермический
процесс, называют изотермой.
Здесь важно помнить, что, поставив
точку на графике, мы тем самым
пэлностью определяем состояние газа:
его давление, объем и темпера-
туру. А это означает, что газ находится
в каждый момент в состоянии
равновесия (термодинамического равновесия).
Следовательно, все процессы,
описываемые уравнениями и изображаемые
на графиках, предполагаются
протекающими очень медленно
или, как говорят, квазистатически
Рассмотрим пример типичной задачи
на применение закона Бойля —
Мариотта.
З а д а ч а . Посредине узкой, запаянной
с обоих концов горизонтальной
трубки (рис. 2) находится столбик
ртути длиной /ւ -2 5 см. Ртуть
разделяет в трубке два столба воздуха
д’шной /0 ֊1 м каждый. Давление
воздуха Р0 — 76 см pm. с т .,
температура остается постоянной. На
какое расстояние х переместится столбик
рт^ти, если трубку поставить
вертикально?
Рис. 1.
45

Р е ш е н и е . Рассмотрим отдельно
два столбика воздуха в стоящей
вертикально трубке и применим закон
Бойля — Мариотта к каждому из них
(площадь сечения трубки S):
Р0 l0S = P t ll0 + x) S, (1)
Ро ԿՏ — M / о — * ) S . (2)
Из условия механического равновесия
столбика ртути следует, что при
вертикальном положении трубки давление
в нижнем столбе воздуха равно
p t + Pgh
(р — плотпость ртути). Подставив это
значение Р2 в (2), получим квадратное
уравнение, решив которое, найдем,
что
х » 16 (caj)
(отрицательное значение корня не имеет
смысла).
Интересно отметить, что при вычислении
неизвестного х нам не нужны
сведения о плотности ртути р, а также
о соотношениях между единицами
давления Дело в том, что по определению
давление Р , которое создает
1 см р т . с т ., равно P = p g \ см.
Р
Следовательно, — 76 см без ка-
го
ких-либо дополнительных пересчетов.
Итак, состояниям газа с одинаковой
температурой отвечает на диаграмме
Р—V определенная изотерма.
Другой постоянной температуре соответствует
другая изотерма. Как она
расположена по отношению к первой?
Ответить на этот вопрос, основываясь
на одном только законе Бойля
— Мариотта, невозможно. Необходимо
знать еще одну из зависимостей:
либо V (է), либо Р (О-

Закон Гей-Люссака

Зависимость объема V газа от температуры
при неизменном давлении
исследовал французский ученый Гей-
Люссак В 1802 году он опубликовал
закон изобарического (Я—const) расширения
газов.
Согласно закону Гей-Люссака при
постоянном давлении, постоянной массе
и неизменном химическом составе
газа его объем V при температуре է
(по шкале Цельсия) равен
V = v0 + piу,
или
У-КоО + РО, (II)
где К0 — объем, который занимал газ
при 0° С. Опытным путем было
найдено, что
Р “ Т т Г ‘ I * * ՜ 1-
Таким образом, при повышении
температуры газа на один градус
объем его возрастает на одну и ту же
у
величину, равную — շ?3 -. Следовательно,
график закона Гей-Люссака, то
есть график зависимости V от է при
постоянном давлении (изобара) —прямая
линия. Учитывая это, можно без
вычислений решать задачи, аналогичные
следующей.
З а д а ч а . При нагревании газа
от температуры V С до температуры
( * ֊И ) °С при неизменном давлении
объем газа увеличивается на — т ֊-
первоначального, то есть на 3IQ Q ւV/t.
При каких условиях это может быть?
Р е ш е н и е . При нагревании от
0Э С до Г С объем газа уведичива-
ется на —17 ֊ 3— V0, то есть на ^> первоначального,
и становится равным
у у . * у *^4 у
у 1 — ‘ о * 273 v 0 — 273 к о-
При нагревании от Г С до 2 С
объем снова увеличивается на ту же
величину — ио, что составляет уже

46

,չ7Հ- часть объема Vt. При нагревании
от 2 С до 3 С объем возрастает на
т- V,. от 3 С до 4 С— на Уя
и т. д. (рис. 3). Вообще при нагревании
от / С до (Н-1)՜ С объем возрастает
на «շքձ՜ ՜ ւ — первоначального. Отсюда
следует, что нагревание производилось
от 27 до 28 -С.
Рассмотрим еще такую задачу.
З а д а ч а. При температуре
=25’ С газ занимает объем У, ■
1,5 л. Какой объем Vг будет занимать
газ, если нагреть его до էչ —
125’ С при неизменном давлении?
Р еше н и е . Объемы \ \ и V2
связаны с объемом газа при О С
соотношениями
Vx — V,(\ t р/,), V2 — V0(l f p / 2).
Отсюда
չ_
I/ • «I- I/ P ■ I/
I — — v ‘ —
P
Решения обеих задач показывают,
что удобно перейти к другой шкале
температур (шкале Кельвина), нуль
которой (абсолютный нуль) лежит
ниже нуля шкалы Цельсия на 273 .
Поскольку именно в этой точке пересекаются
продолжения всех изобар
Рис. з.
(рис. 4), закон Гей-Люссака приобретает
особенно простую форму:
— — const при Р cjnst,
если пользоваться абсолютной температурой
Т.
Закон Гей-Люссака позвотяет установить
распределение на Р— диаграмме
изотерм, соответствующих
разл ич н ым тем перату рам.
Закол Шарля
Французский физик Шарль иссле-
доват зависимость давления газа от
его температуры при условии, что
объем газа, его масса и состав остаются
постоянными, и пришел к следующим
выводам: приращение давления
при нагревании на 1 С составляет
определенную часть того давления,
которое имел газ при О С, и пропорционально
приращению температуры.
В математической форме записи
закон Шарля очень похож на закон
Гей-Люссака:
Р — Я„ + и/V,
или
Р -֊= Р0( 1 -+ at), (111)
где Р0 — давление данной массы газа
при 0՛ С, Р — давление газа в том же
объеме при температуре Ր С. Величину
(I называют термическим коэффициентом
давления и она равна
—273՜ гРа^
о 273 -Д °К
Рис. 4.
47

На графике зависимости Р[() при
V const закон Шарля выражается
прямыми линиями (изохорами), пересекающими
ось է в точке t—- 273 С
Перейдя к абсолютной шкале температур,
мы получим простую форму
записи закона Шарля:
р
const при V consl
Эта зависимость легко получается
из законов Бойля — Мариотта и Гей-
-Люссака с помощью двух переходов
V-*֊V’ при 7\-=const и 7\->»7\2 при
Р 2-const (рис. 5).
Всякий реальный газ подчиняется
упомянутым газовым законам лишь
приближенно. Полагая, что эти законы
выполняются точно, мы считаем
газ идеальным. В данной статье
речь идет только о таких газах.
Приведем пример задачи на закон
Шарля. Манометр на баллоне с кислородом
показывал Я 1 95 am в помещении
с температурой էղ 17 С
Баллон вынесли в сарай, где при температуре
(2 —13 С показание манометра
стало Р., 85 am. Не было ли
потерь кислорода во время переноски?
Решение сводится к проверке ра-
вонства ֊ Р֊ ֊ —Բ ֊ справедливого при
1 I 1 2
m const (От в е т : потерь не было.)
Более сложное поведение газа,
когда изменяются и давление, и объем,
и температура, легче всего проследить
пн графике. Рассмотрим, к примеру,
такую задачу.
З а д а ч а . Некоторый процесс,
происходящий с идеальным газом,
изображается на графике зависимости
давления от температуры в виде окружности.
Требуется разбить окружность
наименьшим числом точек на
части, соответствующие процессам, в
каждом из которых нобая из величин
Я, V и Т меняется монотонно (то есть
возрастает или убывает.)
Р е ш е н и е. Точки, соответствующие
наибольшей и наименьшей
температуре в данном процессе. —это
точки а, и а.у касания окружности с
вертикальными изотермами (рис. 6).
Точки, в которых достигается наибольшее
и наименьшее давление —
точки ծ и Իշ касания окружности с
горизонтальными изобарами. Изохоры
на графике Я (Т) тзображаюгея
прямыми, проходящими через начало
координач. Чем меньше объем,
тем круче идет изохора. Две изохоры,
касательные к окружности, дают
еще две точки — г, п с.,. Всего окружность
разбивается, таким образом,
на шесть кривых, изображающих
требуемые процессы.
Из сказанного ясно, что параметры,
определяющие состояние данной
массы газа неизменного химического
состава (Я, V и Т), связаны друг
Рис. 6. с другом. Если известны две величи

48

ны, можно найти третью Уравнение,
определяющее связь температуры,
объема и давления, называют уравнением
состояния газа.

Уравнение Клапейрона— Менделеева

Для получения этого уравнения
свяжем два произвольных состояния
идеального газа. Пусть» например,
газ переводится из состояния Р и
V\, Л в состояние P if V2, Т 2. Для перехода
используем уже известные нам
процессы Применяя только два процесса,
переход 1—2 (рис. 7) можно
осуществить шестью способами (1—
3—2, 1—4—2, 1—5—2, 1—6—2, 1 ֊
7—2, 1—8—2). Рассмотрим первый
из них. Процесс 1—3 изохорический,
Р Р то есть V, V3 Поэтому ‘1 = ֊ —’ 3
Процесс 3—2 изотермический (Г 2=
= Т 3) и, следовательно, P3V3—P 2V2.
Перемножив все четыре соотношения,
получим
РхУг Р։У3
Ту ~ г 2 •
Начальное и конечное состояния газа
мы взяли совершенно произвольно
Сюдовательно, для данной массы газа
неизменного химического состава
можно написать
pv _
— — = В =* const (IV)
Уравнение (IV) устанавливает простую
связь между давлением, объе
мом и температурой данной массы
газа. Оно полностью описывает состояние
идеального газа. Впервые
это уравнение вывел Клапейрон, объединив
законы Бойля — Мариотта и
Гей-Люссака. Уравнение Клапейрона
позво1яет решать задачи, в которых
связываются состояния газа при
неизменной массе.
Рассмотрим простой пример
З а д а ч а . Цилиндрический сосуд,
наполненный газом, разделен
подвижной перегородкой на две части
так, что отношение объемов частей
2:3. Температура газа в обеих
частях одинакова. Каким станет отношение
объемов, eciH температура
газа в меньшей части станет равной
7\ = 227 С, а в большей —
Тг= 6 0 С? Трением пренебречь
Р еше н и е . Для газа в мень-
шеи части —PV~r = Р’У—\ . пДля газа в
бАо льшей֊ части —P—V*— =s= —P~’ V—2 Оrwтсюда / / 2
v \ V i Ту 2 273-!’ 227 .
V ։ * V2 ՚ 7*8 ~ 3 ‘ 273 + Ш 55=11
Остался лишь один шаг, чтобы
сделать уравнение состояния идеальных
газов универсальным. Необходимо
учесть массу газа и его химическую
«индивидуальность» Этот шаг
был сделан великим русским химиком
Д. И. Менделеевым. Он использовал
закон, открытый в 1811 году
итальянским ученым А. Авогадро и
заключающийся в том, что все газы
независимо от их химической природы
при одинаковом давлении и температуре
занимают одинаковый объем,
если они взяты в количествах, пропорциональных
их молекулярной массе.
В частности, при О С (Т0=273՜ К)
и давлении Р = 1 апгм объем газа
Коц —22,4 м9/кмоль 22,4 л/моль.
Зная это, можно вычислить постоянную
В в уравнении (IV) Она пропорциональна
числу молей газа Это
чис. о находится делением массы газа
на молекулярную массу: m
49

Коэффициент р у пропорциональности
R _ 0 °й называют универсальной га-
т е
зовой постоянной. Подсчет дает для
R значение
R = 8 ,3 -103 дж/град-кмоль —
—0,082 л-атм/град • моль.
Таким образом, уравнение состояния
идеального газа, которое называют
уравнением Менделеева— Клапейрона,
записывают в виде
PV = т RT. (V)
Любая задача на расчет процессов
в идеальных газах решается почти
автоматически, если сразу записать
уравнение (V) для каждого состояния
газа. Но уравнение (V) позволяет
решать и задачи другого типа.
З а д а ч а . Плотность пара некоторого
соединения углерода и водорода
равна р = 2 ,5 г/л при температуре
է= 10 С и давлении Р = 760 мм
р т . с т . Какое это соединение?
Р е ш е н и е . Из уравнения (V)
можно найти молекулярную массу
соединения:
mRT рRT
PV 58 (г/моль).
Такую молекулярную массу имеют
изомеры бутана С 4Н10.
Рассмотрим еще одну задачу.
З а д а ч а . Считая, что из общей
массы воздуха 75% приходится на
долю азота, а 25% — на долю кислорода,
определить, сколько воздуха
выйдет из комнаты объемом 50 м3
при повышении температуры от 17 С
до 27 С. Атмосферное давление нормальное
{Рь- I атм).
Р е ш е н и е . Молекулярная масса
воздуха
0,75/п + 0,25/ո , . .
— С Ш * 29 ( « /* «> •* — ) •
է*1 Ւ К,
Изменение массы воздуха в комнате
А т — Л М . .
RTa
\lP0VT0
PoVOvl
Я Г ,
1
SO
( т г — т г ) *
2 (кг).
У п р а ж н е н и я
1. Барометр дает неверные показания
вследствие присутствия небольшого количества
воздуха над столбиком ртути. При
давлении 755 мм р т . с т . барометр показывает
748мм р т . с т ., а при 740 мм р т . cm
— 736 мм р т . с т . Какое давление будет показывать
барометр, если действительное давление
равно 760 мм р т . с т .?
2. Как изменялось давление газа во
время процесса՛, изображенного на рис. 8?
Рис. 8.
3. Сообщающиеся сосуды, покгиаиные на
рисунке 9, погружают в теплую воду. Описать
поведение ртути в манометре.
4. Свободно скользящий газонепроницаемый
поршень удерживается посредине
Ркс. 9.
откачанного сосуда двумя идеальными пружинами.
Когда в одну нз половин сосуда ввели
газ при температуре Т х= 300° К, длина этой
части сосуда оказалась равной xt = 0,2 мм, а
после нагревания газа до Т ։ = 7 5 0 К длина
той же части стала х։ ~ 0,2Б м. Какова будет
длина дгд прн r s= l2 0 0 ° К?
5 Вывести уравнение (IV), используя
процессы 1—4—2, 1—5—2, 1—7—2 или
1—8—2 (см. рис. 7).
6. Баллон емкостью 20,5 л содержит
смесь водорода н гелия. Масса смеси 13 г,
температура 27° С, давление 5,4 а тм . Определить
массу водорода и массу гелия.

 

Законы идеальных газов, ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА

#физика #квант #АБИТУРИЕНТ

Закон Гей-Люссака, Законы идеальных газов, Уравнение Клапейрона— Менделеева