§ 29. Основные законы оптики

Глава V. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Страницы переведены на новый сайт:
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ
https://myeducation.su/sbornik-zadach-po-elementarnoj-fizike/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Почему тень ног на земле резко очерчена, а тень
головы более расплывчата? При каких условиях тень всюду
будет одинаково отчетлива?

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ.
Свойства пара.
Элементарная физика.

703. Как нужно держать карандаш над {•§ | Щ
столом, чтобы получить резко очерченную Щ • Щ
тень, если источником* света служит закреп- Щ г Щ
ленная у потолка лампа дневного света, име- Щ § S
ющая форму длинной трубки? й Ш
704. Осенью, когда деревья потеряли всю Щ » Щ
листву, часто можно видеть тени от двух па- ‘ # \ Щ
раллельных ветвей. Нижняя ветвь дает рез-
кую темную тень, верхняя — более широкую й | £
и светлую. Если две такие тени случайно на- Щ § § .
лагаются друг на друга, мы видим яркую /yi \
светлую полосу посредине более темной тени, ^ я г
так что эта тень выглядит как бы двойной ( /’
(рис. 240). Как объяснить это явление? (Мин- Рис- 240 j
аарт, «Свет и цвет в природе».) • i
705. Лучи Солнца, проходя сквозь маленькое отверстие
в листве на вершине высокого дерева, дают на земле
пятно в форме эллипса. Большая и малая оси эллипса
равны соответственно а = 12 см и Ь = 1 0 см . Какова высота

137 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА, Основные законы оптики

Н дерева? Угловые размеры солнечного диска
р—1/108 рад.
706. Какой наименьшей вылеты должно быть плоское
зеркало, укрепленное вертикально на стене, чтобы человек
•мог видеть свое отражение в нем во весь рост, не изменяя
положения головы? На каком расстоянии от пола должен
быть нижний край зеркала?
707. Солнечные лучи, отражаясь от горизонтально лежащего
зеркала, падают на вертикальный экран. На

зеркале стоит продолговатый предмет (рис. 241). Описать
характер тени на экране.
708. При каких условиях форма солнечного «зайчика»
от небольшого зеркала не будет зависеть от формы зеркала?
709. Как отличить тга фотография реальный пейзаж от
его отражения в спокойной воде?
7W. Найти графически,
при каких положениях глаза
наблюдатель может видеть в
зеркале конечных размеров
изображение отрезка прямой,
расположенного относительно
зеркала так, как указано на
Рис 242 Рис. 242.
711. Плоское зеркало расположено
параллельно стене
‘на расстоянии»/ от’нее. Свет от укрепленного на стене точечного
источника падает на зеркало и, отражаясь, дает
на стене «зайчик». С какой скоростью будет двигаться
«зайчик» по стене, если приближать к ней зеркало со скоростью
о? Как будут меняться размеры «зайчика»?
712. Используя условие задачи 711, определить, будет
ли меняться при движении зеркала освещенность стены в том

138 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА, Основные законы оптики

месте, где находится «зайчик». Считать размеры зеркала»
много меньшими расстояния от зеркала до источника’
света.
.743. Плоское зеркало вращается с постоянной угловой
скоростью. Число оборотов в секунду л= 0 ,5 . С какой скоростью
будет перемещаться «зайчик» по сферическому экрану
радиуса 10 м, если зеркало находится в центре кривизны
экрана?
714. Опыты А. А, Белопольского по экспериментальному
исследованию оптического явления Допплера состояли
в наблюдении света, многократно отраженного от движущихся
зеркал (рис. 243). Зеркала размещались на вращающихся
в разные стороны дисках.
1) Зная угловую скорость
to вращения дисков^ найти
угловую скорость. Q поворота
луча, испытавшего п последовательных
отражений от
зеркал.
‘2) Найти линейную скорость
«-го изображения в ,
момент, когда, зеркала параллельны Друг, другу и их
отражающие участки движутся со скоростью v в разные
стороны.
715. Решить задачу 714 при условии, что диски вращаются
в одну сторону..
S
Рис. 243.
716. Узкий пучок света
Па
в
Рис. 244.
ка, если пучок проходит на
половине длины зеркала ОМ ?
падает на двугранный угол
а= 6 в ° , образованный одинаковыми
плоскими зеркалами
ОМ и ON, закрепленными
на *оси О (рис. 244).
После отражения от зеркал
свет фокусируется линзой Л
и попадает в неподвижный
приемник /7. Зеркала вращаются
с постоянной угловой
скоростью.
Какая часть световой
энергии пучка за время,
много большее периода вращения,
достигнет приемни-
расетоянии а от оси, равном

139 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА, Основные законы оптики

717. Можно ли вместо обычного экрана для показа кино
использовать плоское зеркало?
718. Два плоских зеркала АО и ОВ образуют двугранный
угол <р=2п/п, где п — целое число. Точечный источник
света 5 находится между зеркалами на равном расстоянии
от каждого из них. Найти число изображений источника
в зеркалах.
719. Два плоских зеркала АО и ОВ образуют произвольный
двугранный угол <р=2я/а, где а — любое число, большее
2. Точечный источник света 5 находится между зеркалами
на равном расстоянии от каждого из них. Найти
число изображений источника в зеркалах.
720. В каком направлении нужно пустить луч света
из точки А (рис. 245), находящейся внутри зеркального
ящика, чтобы он попал в точку В, отразившись по одному
разу от всех четырех стенок? Точки А и В находятся в
одной плоскости, перпендикулярной стенкам ящика (т. е.
в плоскости рисунка).
721. Почему, если с самолета, летящего над морем, смотреть
вниз, кажется, что вода гораздо темнее непосредственно
внизу, чем на горизонте?

722. На какое расстояние сместится луч, проходящий
через плоскопараллельную пластинку, если толщина ее d,
Показатель преломления л, а угол падения луча г? Может
ли смещение луча быть больше толщины пластинки?
723. При каких значениях показателя’ преломления
прямоугольной призмы возможен ход луча, изображенный
на рис. 246? Сечение призмы — равнобедренный треугольник;
луч падает на грань АВ нормально.
724. В воду опущен прямоугольный стеклянный клин.
Показатель преломления стекла «*=1,5. При каких зна-

140 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА, Основные законы оптики

чениях угла а (рис. 247) луч света, падающий нормально
на грань АВ, целиком достигнет грани АС?

725. В ясные солнечные дни на загородных асфальтированных
шоссе водители автомашин часто наблюдают такую
картину: некоторые участки асфальта, находящиеся впереди
автомашины на расстоянии около 80—100 м, кажутся покрытыми
лужами. Когда водитель подъезжает ближе к этому
месту, лужи исчезают и снова появляются впереди на
других местах, примерно на том же расстоянии. Как объясняется
это явление?
726. Толстая пластина сделана из прозрачного материала,
показатель преломления которого изменяется от
значения пг на верхней грани до значения п2 на нижней
грани. Луч входит в пластину под углом а . Под каким углом
луч выйдет из пластины?
727. Кубический сосуд с непрозрачными стенками расположен
так, что глаз наблюдателя не видит его дна, но
полностью видит стенку CD (рис. 248). Какое количество
воды нужно налить в сосуд, чтобы наблюдатель смог увидеть
предмет F, находящийся на расстоянии Ь~ 10 см от
угла D? Ребро сосуда а= 4 0 см.
728. Сечение стеклянной призмы имеет форму равностороннего
треугольника. Луч падает на одну из граней перпендикулярно
ей. Найти угол ф между лучом падающим и
лучом, вышедшим из призмы. Показатель преломления
стекла м=1,5.
729. Сечение стеклянной призмы имеет форму равнобедренного
треугольника. Одна из равных граней посеребрена.
Луч падает нормально на другую, не посеребренную

141 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА, Основные законы оптики

грань и после двух отражений выходит через основание призмы
перпендикулярно ему. Найти углы призмы.
730. Падающий на грань призмы луч выходит после
преломления через смежную грань. Каково максимально
допустимое значение преломляющего угла призмы а , если
она сделана из стекла с показателем преломления п = 1,5?
731. Луч света входит в стеклянную призму под углом
а и выходит из призмы в воздух под углом f>, причем, пройдя
призму, отклоняется от первоначального направления
на угол у. Найти преломляющий угол призмы <р и показатель
преломления материала, из которого она сделана,
732. Стороны призмы ABCD, изготовленной из стекла
с показателем преломления п, образуют двугранные углы:
/ С = 135°, / р ^ № ° (призма Аббе).
Луч света падает на грань АВ и после полного отражения
от грани ВС выходит через грань AD. Найти угол падения
се, луча на грань АВ, если известно, что луч, прошедший
через призму, перпендикулярен падающему лучу.
733. Если лист бумаги полить канцелярским клеем или
водой’, то сквозь бумагу можно будет прочесть текст, напечатанный
на другой стороне лиета. Объясните, почему?
734. Пучок параллельных лучей надает на плоскопараллельную
бесконечную прозрачную пластину. При каждом
прохождении границы раздела двух сред доля отраженной
энергии равна р, т. е. £ отраж = р Е аалai01g, а поглощение
в материале пластины отсутствует. Какой частью полной
энергии падающего пучка обладает прошедший свет?

142 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА, Основные законы оптики

§ 29. Основные законы оптики. Ответы

 

702. Тень будет всюду одинаково отчетливой только от точечного
источника. Отдельные участки протяженного источника создают тени,
накладывающиеся друг на друга. При этом тень будет иметь тем
более резко очерченную границу, чем меньше расстояние от предмета
до поверхности, на которой образуется тень, так как при этом
расстояния между границами теней от различных участков источника
будут наименьшими. Именно поэтому ноги дают более резкую тень,
чем голова.
703. Карандаш нужно расположить параллельно лампе и возможно
ближе к столу. При этом тени, создаваемые отдельными
участками лампы, будут почти точно накладываться друг на друга.
Если карандаш перпендикулярен лампе, то тени от отдельных
участков лампы настолько сдвинуты друг относительно друга, что
заметной тени не возникнет.
704. Явление можно наблюдать в том случае, если угловое расстояние
между ветвями меньше углового диаметра солнечного диска.
Предположим для определенности, что нижняя ветвь толще, чем
верхняя. Чтобы понять, почему освещенность внутри тени меняется
так, как сказано в условии, представим себе, что мы смотрим на
Солнце попеременно из различных участков тени.
В стороне от тени солнечный диск виден целиком. При положении
глаза в участке тени А (рис. 240) глаз находится в полутени
от нижней ветки. Перед солнечным диском видна только эта ветка
(рис. 494, а). Так как она заслоняет часть солнечного диска, освещенность
этой точки будет меньше. Перемещая глаз дальще в положение
В (рис. 240), мы увидим, что и вторая ветка частично загораживает
солнечный диск (рис. 494, б). Поэтому освещенность будет
еще меньше. При дальнейшем перемещения глаз займет положение С
(рис. 240), при котором обе ветки накладываются друг на друга
(рис. 494, в). Теперь перекрытая ветками часть солнечного диска
стала меньше и, соответственно, освещенность больше, Как виден

365 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА, Основные законы оптики. Ответы.

солнечный диск из участков D и Е, изображено на рие. 494, а к Щ
Этим и объясняете® большая- яркость центральной полосы тени *§
сравнению с соседними участками.

705. Как видно из рис. 495, Я = А sin a , a sin а = b/а, где
b ~ D E —диаметр поперечного сечения светового конуса у поверх^
нести: земли- При угловом размере солнечного диска 8 получим
L = 6/8. Следовательно, Н — l b 2-= 9 м.

706. Высота зеркала должна быть равна п о дои т е роста человека.
Расстояние нижнего края зеркала от пола должно быть равно
половине расстояния от глаз человека до его ступней (рие. 496).
707. Пусть А—высота предмета, а а — угол падения лучей на
зеркало (рис. 497). Если экран находится на расстоянии / A tg а
от предмета, то на экране будут видны две тени, прямая и перевернутая,
сложенные основаниями. Обща® длина теин будет равна 2А. Тень
освещена Солнцем и выделяется по контрасту с остальными участками
экрана, освещенными и прямыми,- и отраженными лучами. Если
экран расположен ближе, то длин» тени меньше 2А, причем на ней
будут участки, ие освещенные ни прямыми, ни отраженными лучами.
70S. Точечный истощгак света всегда дает «зайчик», форма которого
определяется формой зеркала-. Солнце имеет конечные размеры.
Каждый малый учаСТтж светящейся- поверхности дает светлое пятно, передающее
форму зеркала. Эти пятна от разных участи® Солнца накладываются
друг на друга и дают более или менее размытую картину.
Если поверхность, па которой наблюдаете® «зайчик», находится далеко

366 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА, Основные законы оптики. Ответы.

от зеркала, то форма светлого пятна не будет зависеть от формы зеркала.
— Только на небольшом расстоянии от зеркала пятно будет всё же
передавать форму зеркала, так как углы, под которыми падают на
зеркало лучи от различных участков Солнца, мало отличаются друг
от друга.

.709. Отраженный пейзаж мы -видим , так, как если бы мы смотрели
иа него из точки, расположенной под поверхностью воды на расстоянии,
равном расстоянию объектива фотоаппарата от аоды.

710. Изображение отрезка АВ будет видно целиком только при
расположении глаза внутри заштрихованной области на рис. 498.

367 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА, Основные законы оптики. Ответы.

711. При движении зеркала ММ по направлению к стене положе-
ние «зайчика» АВ на стене, как непосредственно видно из рис. 499,
будет неизменно (Sx и S2—изображения источника S при двух положениях
зеркала: MN и M’N’). Размеры «зайчика» также не будут
713. При повороте зеркала на угол а отраженный луч окажется
повернутым на 2а, так как угол падения возрастает на а и на столько
же возрастает угол отражения. Следовательно, угловая скорость
вращения отраженного луча со = 2лп • 2. Линейная скорость движения
«зайчика» по экрану 0 = 4яя/?я62,8 м/с.
714. 1) Луч, отраженный от первого зеркала, составляет с лучом
падающим угол 2а, где а — угол падения. За время / зеркало повернется
на угол <в/, и новый угол падения станет равным а+ с о /.
Таким же будет и угол отражения. Следовательно, угол между
лучом падающим и лучом отраженным увеличится на 2со/, т. е.
отраженный луч повернется на угол 2о)/. Ввиду этого угол падения на
второе зеркало, если бы оно не вращалось, составлял бы |3-|-2с)/,
где р — угол падения при неподвижных дисках. Но за время / зеркало
также поворачивается на угол ш/, поэтому угол падения становится
равным Р + ЗйС Таков же и угол отражения. Следовательно,
после двух отражений луч повернется на угол Зев/ от своего направления
при неподвижных зеркалах. После трех отражений луч повернется
на 5<а/, после п отражений — на (2п—1)-2со/. Таким образом,
его угловая скорость будет Q — (2га— 1) — 2со.
2) Изображение в зеркале, удаляющемся от источника со скоростью
V, будет удаляться от источника со скоростью 2а, а от
второго зеркала—со скоростью За. Поэтому второе Изображение
движется со скоростью За относительно второго зеркала и со скоростью
4а относительно источника. Скорость третьего изображения
относительно источника будет 6а, а скорость п-го равна 2па.
715. 1) При повороте первого зеркала на угол со/ отраженный
луч повернется на угол 2<о/ (см. решение задачи 714). Следовательно,
увеличится на 2<о/ угол падения на второе зеркало, и, если бы
оно не вращалось, угол отражения также увеличился бы на 2со/.
После двух отражений луч повернулся бы по сравнению со случаем
неподвижных зеркал на угол 2<в/. Однако вследствие вращения

второго зеркала угол падения луча на него за время t уменьшается
на ш/. На столько же уменьшается угол отражения, поэтому отра-
.женный луч пойдет по тому же направлению, как и в случае неподвижных
дисков. Поскольку такое рассуждение можно провести
для любых двух последовательных отражений, угловая скорость
вращения луча, испытавшего л отражений, будет
£2 = 0, если я четное; £2 = 2со, если я нечетное.
2) Первое изображение удаляется от источника со скоростью 2»,
а от второго зеркала — со скоростью о. Следовательно, второе изображение
движется относительно второго зеркала со скоростью — V,
т. е. является неподвижным по отношению к источнику. Продолжая
рассуждение далее, найдем, что искомая линейная скорость я-го изображения
будет равна нулю, если я четное, и равна 2v, если я
нечетное.
716. Отраженный от зеркала ON луч образует с падающим лучом
угол <р (см. рис. 244), не зависящий от угла падения г. Действительно,
как видно из треугольника ABC, <р=180° — 2 (i + r).
В то же время в треугольнике ОАВ а + (9 0 °—i)-f-(90°—г)=180°.
Отсюда ср = 180°—2а = 60°. При вращении зеркала направление
отраженного луча не меняется.
Следовательно, если попавший на зеркало ОМ луч отразится от
зеркала ON, то он обязательно попадет в приемник. Как нетрудно
видеть из рис. 500, на котором изображены два крайних положения
зеркал, при которых луч попадает в приемник (ОМ, ON и ОМ’, ON’),
это происходит на протяжении 1/6 оборота. Поэтому 1/6 часть всей
энергии луча попадет в приемник за время одного оборота; а также

368

717. Нет, так как в глаз будут попадать лучи, дающие изображение
только малых участков кадра’ (см. рис. 501, на котором изображен
ход лучей от крайних участков кадра Л и В).
718. Из равенства треугольников SOA, SOB, S[OA, s[OB следует
(рис. 502), что источник света S, его изображение Sx в зеркале
ОВ и изображение Sx в зеркале О А лежат на окружности
с центром в точке О. SxOS = SOSl = ф. Мнимый источник Sx
отражается в зеркале АО, давая изображение S2, лежащее на той
же окружности на расстоянии 2ф дуговых градусов от источника S.
Точно так же образуется изображение мнимого источника Sx
в зеркале ОВ.

369

Продолжая построение дальше, получаем третьи изображения
S3 и Sg, отстоящие от источника на 3<р градусов, четвертые S 4 и S4
(«стоящие на 4q> градусов) и т-. д. Если число я четное (я = Щ , то
изображение S* совпадает с Sk и будет находиться на одном диаметре
с источником. Всего, таким образом, будет 2k — l= r t — l изображений.
Если же п нечетное ( n = 2 i + l), то, как легко убедиться,
1-е изображения лежат на продолжениях зеркал и, следовательно,
совпадают с (/+1)-ми и всеми последующими. Поэтому всего
изображений будет 2/, т. е. по-прежнему я —1.

719. Используя решение задачи 718, построим последовательно
первые, вторые, третьи и т. д. изображения источника S в зеркалах
(рис. 508). Вое они будут лежать на окружности с радиусом OS и
центром в точке О. Если а —целое число, то последние t-e изображения
либо попадут в точки С и D пересечения окружности с продолжениями
_ зеркал, либо совпадут с точкой F, диаметрально противоположной
источнику. В том и в другом случае число изображений
будет а—1. Если же а не целое, например a ~ 2 i ± £, где | < 1,
a i —целое число, то последние i-е изображения будут лежать на
дуге CFD, находящейся позади как первого, так и второго зеркала,
и, следовательно, дальнейших отражений не будет. Поэтому общее
число изображений будет равно а .
720. Построим изображение точки В в зеркале bd (рис. 504).
Далее строим изображение В4 в зеркале cd, В3—изображение Вг
в зеркале ас, В4—изображение В3 в зеркале аЪ. Соединим точки А
и В4. С—тонка пересечения ab с лилией АВ4. Из В3 проводим
линию В3С. Точку D пересечения этой линии с ас соединим с В2.
Е соединим с Blt a F —с В. Можно утверждать, что ломаная линия
ACDEFB есть искомая траектория луча. Действительно, так
кар Д В3СВ4 раввббедренный, CD есть отражение луча АС. Аналогично
можно убедиться, что DE есть отражение CD и т. д.’
Данное решение задачи ш является единственным, так как первоначально
луч не обязательно направлять на зеркало ah.

370

721. Коэффициент отражен»» света от поверхности вода
с уменьшением угла падем**. Если наблюдатель; смотрит в
в его глаз попадают лучи, отраженные под малыми углами
отраженные от участков моря у горизонта, попадают в глаз
большими углами.

722. Согласно закону преломления sin»’/sin г = п (рис. 505). По
выходе из пластинки- sin г /sin »’х-
получим sin » = sin ilt т. е. выходящий
из пластинки луч CD
параллелен падающему АВ. Как
видно из чертежа, a = t —г.
Искомое смещение луча х —
— ЕС— ВС sin (»’—г). Так как
BC = d/ co s r, то
d s in («’—г)
Х = ————- — ————-
cos г
I
=— . Перемножая эти выражения,
= d sin »’ ( \ .-..cos 1 \
\ Y п2 — sin2» J
чтобы sin i > 1/п. — Отсюда
Максимальное смещение, равное
d, будет при i —> 90°.
723. Усол падения лут, на
грани АС и ВС равен 45°.
Для полного отражения необходимо,
я > У~2 я 1,4.
724. Угол падения луча на грань ВС, равен искомому углу а.
Для того чтобы луч полностью отразился от грани ВС, необходимо,
чтобы угол а был больше предельного. Следовательно, sin a > n2/nlt
где я*—показатель преломления иода. Отсюда a > 62°30′.
725. Это явление—не что шое, как мираж, который, часто наблюдается
к пустынях. Нагретый слой воздуха, непосредствешш
прилегающий к асфальту, имеет показатель преломления меньший,
чем у вышележащих слоев. Вследствие этого происходит полное
отражение и асфальт кажется столь же хорошо отражающим; свет,
как ж поверхность пода.

371

726. Разобьем пластину на множество тонких пластинок столь малой толщины, чтобы в пределах каждой пластинки можно было
считать показатель преломления постоянной величиной (рис. 506).
Предположим, что луч входит в пластину из среды с показателем

преломления п0, а выходит из пластины в среду с показателем преломления
я 3. Тогда согласно закону преломления
sin а л, sin В я ‘ sin V я» ________ £. *_____ _____- = ___ И Т , Д.
sin р я0 ’ sin у ’ sin 6 я ‘
sin ф пг sin | ___пя
sin % л<«> ’ sin х я2
Перемножив эти равенства, получим sin a/sin х = п3/п0. Следовательно,
угол, под которым луч выйдет из пластины,
x = arcsin ( sin а )
V «з I
зависит только от угла падения луча на пластину и от показателей
преломления сред по обеим сторонам пластины. В частности, если
яв= я „ , то х = а .
Вообще угол 0 наклона луча кг вертикали связан с показателем
преломления я в любой точке пластины соотношением я sin 6 =
= const —п а sin а . Если «где-либо внутри пластины показатель преломления
достигнет значения n = n0 s in a , то произойдет полное
отражение. В этом случае луч выйдет из пластины в среду под тем же
углом, а , под которым он вошел в пластину (рис, 507).
727. Минимальное количество воды, определяемое уровнем х
(рис. 508), можно найти из треугольника MNF. N F ~ x— b = х tg г.

372

721. Коэффициент отражения света от поверхности вода х а в а е т
с уменьшением угла падения. Есл и наблюдатель: смотрит внна,, то
н его глаз попадают лучи, отраженные под малыми углами. Луча,
отраженные от участков моря у горизонта, попадают в глаз под
большими углами.

722. Согласно закону
выходе из пластинки sin г /sin it
преломления sm i/sin r = « (рис. 505). По
— . Перемножая эти выражения,
получим sin i — sin г\, т. е. выходящий
из пластинки луч CD
параллелен падающему АВ. Как
видно из чертежа» а = i — г.
Искомое смещение луча х —
— ЕС — ВС sin (< — г). Так как
BC=d/cos г , то
d sin (i — г)
cos г
= d sin i ^ 1 cos t
0
С
ч ч \ \ \ \
ч \ V
_ Рис. 505.
чтобы sin i > 1/n. Отсюда
Максимальное смещение» равное
d, будет при 1 —* 90°.
723. Усол падения луче на
грани АС и ВС равен 45°.
Для полного отражения необходимо,
а > У ~2 и 1,4.
724. Угол падения луча на грань ВС равен искомому углу а.
Для того чтобы луч полностью отразился от грани ВС, необходимо,
чтобы угол ot был больше предельного. Следовательно, sin at > п%1пъ
где Of—показатель преломления иода» Отсюда а > 62°30′.
725» Это явлевде—не что шое, как мираж, который., часто наблюдается
к пустынях. Нагретый слой воздуха» непосредственно
прилегающий к асфальту, имеет показатель преломления меньший,
чем у вышележащих слоев. Вследствие этого происходит полное
отражение и асфальт кажется столь же хорошо отражающим свет,
как а поверхность вода.

373

Из закона преломления sin г = sin i/n. Следовательно,
b Ь у Ч 2 — sin2!
х= —
1—tg г Y П*—sin2! — sin!
так как. i = 45°, а и = 4/3. Необходимый объем воды V = ха? « 43,2 л.

728. ф = 120°.
729. Ход луча в призме изображен на рис. 509. Между углами
а и Р существует очевидная связь: 2а + р = 180°, а = 2(5. Отсюда
« = 72°; р = 36°.

730. Ход луча в призме изображен на рис. 510. Чтобы не
произошло полного отражения на грани BN, необходимо, чтобы
sin Р < 1/л. Как видно из чертежа, р = а —г. Следовательно, чем
больше г, тем больше допустимое значение а . Максимальное г
определяется условием sin г — 1/л (угол падения 90°). Отсюда
Oniax = 2arcsin (2/3) « 83с40′,

374

731. Рассматривая треугольники ABC, АМС и ADC (рис. 511),
нетрудно убедиться, что г+Г!= < р; у = а + р —ф- По закону преломления
sin a/sin r = n, sin /д/sin P = ~ — •
Решая полученную систему уравнений, найдем, что
Ф = а + Р —у
и
• о -I/ » 1 sin а | 1 I 2 , ,
л— sm p у | sjn р s in (ct.-f-р — Y) tg ( a + P _ 7 ) /
Я
732. По условию задачи луч падающий и луч, прошедший через
призму, взаимно перпендикулярны. Следовательно, Я. ф = Z ®, а
также £_ y = Z Р (рис. 512). Сумма углов четырехугольника AKMN
равна 360°. Поэтому ^ KMN = 90° и луч КМ падает на грань ВС
под углом 45й. Зная углы треугольника КВМ, нетрудно найти, что
р = <Ю°. По закону преломления sin a /sin р = я. Следовательно,
sin a = 0,5л, a = arcsin 0,5я.
Так как полное’ отражение под углом 45° наблюдается только при
V 2, то угол а лежит в пределах 4 5 ° < a O Q V
733. Бумага частично пропускает свет. Однако вследствие ее
волокнистого строения и большого числа , пор рассеяние света во все
стороны очень велико. Поэтому прочесть текст невозможно. Клей,
или вода, заполняя поры, уменьшают рассеяние света, так как их
показатель преломления близок к показателю преломления бумаги.
Свет начинает проходить сквозь бумагу, не испытывая значительных
отклонений. Вследствие этого текст легко прочесть.
734. На первой границе раздела пучок, несущий энергию Е,
разделится на два пучка (рис. 513). В первую среду возвратится
пучок с энергией рЕ, внутрь пластины пройдет свет, обладающий
энергией (1— р)Е. На второй границе раздела пучок с энергией
(1— р )Е снова разделится. Выйдет из пластины во вторую среду

(1 —р)2 Е. Рассуждая далее аналогично, придем к выводу,’что через
пластину пройдут и выйдут во вторую среду световые пучки с энергиями
(1— р)г Е, р2(1— р)2 Е, р4(1—р)а £ и т. д. (рис. 513).

Суммарная энергия пучков, вышедших во вторую среду,
£ а= ( 1 — р Р £ ( 1 + р 24 — р « 4 — . . . ) = Я ^ Ь ^ = £ 1 _ Р
В первую среду возвратится
£ 1= р £ + ( 1 — р ) * Я р О + Р * + Р 4+ —•)= ? £
1+ Р*
2р
1 -)-р
Общая энергия
Ei + Ei = E \ 2 £ — 4 ,E L z £ ~ e

375 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА, Основные законы оптики. Ответы.

Основные законы оптики