Инертная масса. Я.А. СМОРОЛИНСКИИ
Начиная изучать физику, мы сразу
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
встречаемся с важным, фундаменталь-
ным понятием: масса тела или масса
материальной точки.
Что же такое масса?
Отвечать на вопросы, относящиеся
к основным понятиям физики, всегда
трудно. Ньютон A642—1727) в клас-
сическом труде «Математические на-
чала натуральной философии» начал
изложение механики с определения
массы. Он, правда, вместо слова «мас-
са» писал «количество материи» и
определял его так: количество мате-
рии есть мера таковой, устанавливае-
мая в зависимости от ее плотности и
объема.
Такое определение, к сожалению,
мало что говорит. В самом деле,
для того чтобы так определить массу,
надо сначала дать определение плот-
ности, а этого мы сделать не можем,
если не вводить новых понятий.
Масса фигурирует в разных за-
дачах, и мы не всегда отдаем себе от-
чет в том, что массой, строго говоря,
характеризуют разные свойства тела.
Можно указать по крайней мере
три различных случая, когда речь
идет о массе, и в каждом из этих
случаев мы имеем в виду разные
понятия.
I. Покупая что-либо в продоволь-
ственном магазине, мы говорим, на-
пример, о килограмме сахара, зная,
что масса разных порций сахара
складывается (как говорят, масса ад-
дитивна). Здесь массой мы измеряем
количество вещества.
14
II. Встречаясь на мосту с дорож-
ным знаком, на котором написано
«10 т», шофер знает, что через этот
мост запрещено проезжать машине,
общий вес которой больше 10 тонн.
В этом случае массой измеряется сила
притяжения к земле.
III. Вычисляя траекторию про-
тона в ускорителе, мы записываем
уравнение движения, которое связы-
вает ускорение с массой. В этом слу-
чае масса выступает как мера инерт-
ности протона— как инертная масса.
То, что во всех трех случаях мы
можем пользоваться одной и той же
величиной, есть удивительное свойст-
во природы, о котором мы и хотим
здесь рассказать.
В обычных условиях все три слу-
чая действительно описываются од-
ной и той же массой. Это утверждение
справедливо только до тех пор, пока
мы рассматриваем физические тела,
состоящие из частиц, которые дви-
жутся со скоростями намного мень-
шими, чем скорость света.
Если скорость частиц велика, как,
например, у протонов и нейтронов,
входящих в состав атомного ядра, то
положение меняется. Масса системы
уже не будет равна сумме масс своих
частей (как говорят, масса перестает
быть аддитивной величиной),- Ускоре-
ние не пропорционально силе и само
понятие массы становится сложным.
хМы будем рассматривать способы
определения массы не в порядке их
важности, а так, как это удобно для
последовательного изложения.
14 Динамическое программирование.
Количество вещества.
Начнем с простого вопроса. Что
имеется в виду, когда мы покупаем
килограмм сахара или принимаем
0,5 грамма аспирина? Нас, конечно,
не интересует ускорение, которое мож-
но сообщить этому количеству сахара
или аспирина. Не интересует нас и
сила их притяжения к Земле.
Нас интересует определенное ко-
личество, число порций сахара или
аспирина, а совсем не масса. Мы про-
сто пользуемся тем, что нужное ко-
личество можно определить взвеши-
ванием. При этом используется ад-
дитивность массы и ее пропорциональ-
ность силе земного притяжения. Эта-
лоном массы в этом случае может слу-
жить, например, кусок сахара, так
что можно простым счетом измерить
массу любых количеств сахара. Един-
ственное условие состоит в том, чтобы
все куски сахара были одинаковыми.
А как узнать, что два куска сахара
одинаковы? Можно сосчитать, сколь-
ко молекул сахара содержится в каж-
дом куске (сделать это трудно, но,
допустим, что мы это можем). Если
оба куска содержат равное количе-
ство молекул, то их масса одинакова.
Но при этом мы предполагаем, что
все молекулы сахара одинаковы, то
есть используем новое физическое
свойство — тождественность моле-
кул. Постулируя это свойство и ад-
дитивность массы, мы получаем воз-
можность сравнивать массы разных
порций одного и того же вещества.
Так можно установить шкалу масс
для сахара, для масла, для меди, для
железа. Однако надо еще иметь спо-
соб сравнивать массы образцов, сде-
ланных из разных веществ. Как,
например, сравнить массы медного
и железного шаров?
Это можно сделать, изучая столк-
новение упругих шаров.
Именно так поступил Христиан
Гюйгенс A629—1695) еще до того,
как Ньютон открыл свои законы *).
*) В печати эти соображения появились
лишь после смерти Гюйгенса в 1703 г. в ме-
муаре «О дниженни тел и столкновениях».
Но результаты были получены в 1652 г.
Гюйгенс рассматривал центральное
соударение двух упругих шаров рав-
ной массы.
Предположим, что два упругих
шара равных масс летят навстречу
друг другу с одинаковыми по абсо-
лютной величине скоростями (рис. 1).
После столкновения шары разлетят-
ся в разных направлениях. Кажется
очевидным, что скорости, с которыми
шары разлетятся, также одинаковы
по абсолютной величине. Почему?
Скорость разлета определяется
только массами шаров и скоростями
их сближения. Следовательно, ни один
из шаров не имеет преимущества
перед другим, и их движение должно
оставаться симметричным. Это и озна-
чает, что они разлетятся с одинаковы-
ми скоростями. И наоборот, из того,
что шары разлетаются с одинаковы-
ми скоростями, следует, что их массы
равны.
В действительности то, что скорос-
ти после соударения определяются
полностью начальными скоростями и
массами шаров, а не зависят, напри-
мер, от величины шаров, температуры
или еще каких-нибудь величин, ни
откуда не следует. Только потому,
что опыт подтвердил такое предполо-
жение, мы можем использовать из-
ложенный метод сравнения масс тел,
сделанных из различных материалов.
Способ Гюйгенса дает возможность
сравнивать между собой то, что можно
назвать шкалами масс для разных
веществ. Гюйгенс сам не развивал
эту идею. Он рассуждал просто:
«…Я рассматриваю тела из одного
вещества или же принимаю, что ве-
личина тел определяется их весом…».
Под «величиной» Гюйгенс понимал
«массу».
15 Динамическое программирование.
Закон сохранения количества движения
Напишем закон сохранения им-
пульса в случае столкновения двух
тел (импульс равен произведению мас-
сы на скорость р—>mv). Пусть два
тела до столкновения имели импуль-
сы Pi и р2. Их импульсы после столк-
новения обозначим через р’, и р;.
Тогда закон сохранения импульса
Отмечая массы и скорости тел индек-
сами 1 и 2, можно написать
или
Обозначая абсолютные величины век-
торного изменения скорости через
|Ду,| и |Av2|, получим
Таким образом, измеряя измене-
ние скоростей сталкивающихся тел,
можно сравнивать их массы. Так
определял понятие массы француз-
ский механик Барре де Сен-Венан
A797—1886)*).
Массу можно определить и по
отношению ускорений:
Связь отношения масс с отноше-
нием ускорений можно принять за
способ сравнения масс, как это и де-
*) 3*то определение массы становится
неправильным, как только скорости приб-
лижаются к скорости света с. Дело можно
поправить, если в определении импульса
заменить скорость v на «релятивистскую»
скорость и по формуле
V
и = •
и написать вместо разностей vt—и( и vt—и2
соответственно ы,—и, н и4—ы2. Масса m
в этом случае называется массой покоя.
••) Это определение можно получить из
предыдущего, если брать разности скоростей
в два очень близких момента времени.
Однако в таком виде формула верна
только для тел, которые движутся с малыми
(по сравнению с с) скоростями.
лается в учебнике. Только надо пом-
нить, что этот способ не единственный.
Центростремительное ускорение
Мы уже говорили, что Гюйгенс
раньше Ньютона понял некоторые
законы движения (занимаясь закона-
ми столкновения упругих шаров).
Насколько хорошо понимал Гюйгенс
механику, видно из того, что он пер-
вым правильно сформулировал за-
коны движения по окружности и
ввел понятие центростремительного
ускорения. Ведь если мы умеем из-
мерять силу (например, с помощью
пружины, используя закон Гука), то
можно измерить массу без помощи
сил тяготения, измеряя центростре-
мительное ускорение вращающегося
тела.
Сам Гюйгенс рассматривал движе-
ние в системе координат, связанной с
вращающимся телом. В этой системе
нужно учитывать центробежную силу
инерции, поэтому формулировка Гюй-
генса была следующей: «Когда два
равные тела движутся по равным ок-
ружностям с неравной скоростью,
но оба равномерно, то центробежная
сила быстрейшего относится к центро-
бежной силе тела, движущегося мед-
леннее, как квадраты их скоростей».
Эталон массы
В качестве эталонов длины и вре-
мени сейчас приняты длина волны
определенной линии в спектре крип-
тона и частота колебаний водород-
ного мазера. Такие эталоны лучше
искусственных, так как их можно вос-
произвести в любой хорошей лабора-
тории, а пропасть или испортиться
они не могут. Почему же в качестве
эталона массы нельзя использовать,
например, массу протона? Мы знаем,
что в химии и ядерной физике почти
так и делается. В качестве единицы
массы принята атомная единица мас-
сы, равная 1/12 массы изотопа угле-
рода С12. Измерениями для массы
протона в этих единицах получена
очень точная величина
Мр= 1,00727661 (8) ат. ед.
16 Динамическое программирование.
Цифра в скобках означает, что
возможная неточность в этой величине
оценивается в 8 единиц в последнем,
восьмом знаке.
Таким образом, масса протона из-
вестна с очень большой точностью.
К сожалению, эта большая точность
достижима только в атомных едини-
цах. Величина массы протона в обыч-
ных единицах (кг) известна значи-
тельно хуже:
Мл—=’1,672б14A1).10-г7 кг.
Здесь возможная ошибка затрагивает
уже шестой знак! Хотя это и большая
точность, но все же недостаточная
для утверждения протона в качестве
эталона масс.
Почему же так получается? Труд-
ность состоит в том, что физики не
умеют с достаточной точностью со-
считать число протонов в заданном
количестве водорода (например, в
1 киломоле). С этим связано то, что
сравнительно плохо измерено число
молекул в 1 киломоле:
А =6,02217 D) • 102в молекул/кмоль.
Возможная ошибка здесь состав-
ляет почти 7 миллионных от измерен-
ной величины. Это слишком плохо
для эталона! Только при большей
точности измерения протон сможет
занять подобающее ему место естест-
венного эталона массы.
Дефект массы
Поговорим еще немного об адди-
тивности массы.
Если бы все тела состояли из оди-
наковых частей, каких-нибудь кор-
пускул (или монад, как их называли
древние), отличаясь друг от друга
только плотностью — числом кор-
пускул в единице объема, то вопрос
о массе тел решался бы просто. Мас-
сы всех тел определяли бы числом
таких корпускул, и на этом бы все
трудности заканчивались. Может
быть, именно об этом думал Ньютон,
когда считал, что плотность тела —
понятие более простое, чем его масса?
Но мир устроен сложнее. Атомы
построены из разных элементарных
частиц: электронов, протонов, нейт-
ронов. Поэтому, переходя от молекул
к их составным частям, мы только
заменим вопрос о сравнении масс
разных агомов вопросом о сравнении
масс разных элементарных частиц.
Кроме того, как это известно из тео-
рии относительности, массы протонов
и нейтронов нельзя просто склады-
вать друг с другом, когда эти частицы
входят в состав ядра. При образова-
нии ядра выделяется энергия Е *
и масса ядра уменьшается по срав-
нению с суммой масс всех протонов
и нейтронов на величину
Am = -~.
Определить массу аго.ма по числу
частиц нельзя, строго говоря, даже
в принципе. Масса в этом случае
не аддитивна, то есть масса ядра
не равна сумме масс составляющих
его частиц. Аддитивность массы спра-
ведлива до тех пор, пока мы разде-
ляем тело на такие части, которые
почти не взаимодействуют между
собой, например, когда» мы распили-
ваем железный брусок.
Оценим, например, ту ошибку,
которую мы сделаем, если будем счи-
тать, что масса атома водорода равна
сумме массы прогона и массы элект-
рона. Для того чтобы оторвать элект-
рон — ионизовать атом,— надо за-
тратить энергию в 13,5 электрон-
вольт. (Иначе говоря, надо прило-
жить к системе прогон — электрон
разность потенциалов 13,5 в.) 1 элект-
рон-вольт равен 1,6* 10~18 джоулей.
Отсюда получаем
Сравним это число с массой про-
гона 1,7-10~27 кг. Мы видим, что
ошибка (если считать массу атома
водорода как сумму масс протона
и электрона) очень мала и скажется
лишь в восьмом знаке. Этой поправ-
кой можно пренебречь. Для ядерных
реакций этот эффект вносит уже
достаточно большой вклад, и пренеб-
речь им нельзя.
*) Е есть, конечно, н энергия, которую
надо сообщить ядру, чтобы оно «развалилось»
на протоны и нейтроны.
17 Динамическое программирование.
