Теорема Пифагора Б. Я. Березин
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
Своеобразна судьба иных теорем
и задач…Как объяснить, например,
столь исключительное внимание со
стороны математиков и любителей ма-
тематики к теореме Пифагора? По-
чему многие из них не довольствова-
лись уже известными доказательст-
вами, а находили свои, доведя за
двадцать пять сравнительно обозри-
мых столетий количество доказа-
тельств до нескольких сотен?
Когда речь идет о теореме Пифа-
гора, необычное начинается уже с
ее названия. Считается, что сформу-
лировал ее впервые отнюдь не Пи-
фагор. Сомнительным полагают и то,
что он дал ее доказательство. Если
Пифагор — реальное лицо (некоторые
сомневаются даже в этом!), то жил
он, скорее всего, в VI—V в. до н. э.
Сам он ничего не писал, называл себя
философом, что значило, в его пони-
мании, «стремящийся к мудрости»,
основал пифагорейский союз, члены
которого занимались музыкой, гим-
настикой, математикой, физикой и
астрономией. По-видимому, был он
и великолепным оратором, о чем сви-
детельствует следующая легенда, от-
носящаяся к пребыванию его в горо-
де Кротоне: «Первое появление Пи-
фагора пред народом в Кротоне на-
чалось речью к юношам, в которой
он так строго, но вместе с тем и так
увлекательно изложил обязанности
юношей, что старейшие в городе про-
сили не оставить и их без поучения.
В этой второй речи он указывал на
законность и на чистоту нравов, как
на основы семейства; в следующих
1S
Б. Я. Березин
двух он обратился к детям и женщи-
нам. Последствием поел дней речи,
в которой он особенно порицал рос-
кошь, было то, что в храм Геры до-
ставлены были тысячи драгоценных
платьев, ибо ни одна женщина не
решалась более показываться в них
на улице…» Тем не менее ще во
втором столетии нашей эры, т. е.
спустя 700 лет, жили и творили впол-
не реальные люди, незаурядные уче-
ные, находившиеся явно под влия-
нием пифагорейского союза и относя-
щиеся с большим уважением к тому,
что согласно легенде создал Пифагор.
Несомненно также, что интерес
к теореме вызывается и тем, что она
занимает в математике одно из цент-
ральных мест, и удовлетворением ав-
торов доказательств, преодолевших
трудности, о которых хорошо ска-
зал живший до нашей эры римский
поэт Квинт Гораций Флакк: «Труд-
но хорошо выразить общеизвестные
факты».
Первоначально теорема устанав-
ливала соотношение между площа-
дями квадратов, построенных на ги-
потенузе и катетах прямоугольного
треугольника: квадрат, построенный
на гипотенузе, равновелик сумме
квадратов, построенных на катетах.
Именно в1 такой формулировке до-
казывается эта теорема с помощью
рисунков, приведенных на первой
странице обложки. Здесь на верхнем
левом рисунке выделен штриховыми
линиями прямоугольный треуголь-
ник, на катетах и гипотенузе кото-
рого построены квадраты, на гипо-
18 Теорема Пифагора
тенузе — наружу, на катетах —
внутрь треугольника. Стороны этих
квадратов продолжены везде, где один
из квадратов налегает на другой.
При этом образовалось несколько тре-
угольников, трапеций и один голубой
квадрат. Равные фигуры окрашены
в одинаковый двет. На тот факт, что
треугольник, образованный из крас-
ной трапеции и желтого треуголь-
ника, равновелик (более того, сим-
метричен) треугольнику, образован-
ному из фиолетового треугольника и
зеленой трапеции, обращает внима-
ние фрагмент в правом верхнем углу.
В нижней части рисунка на кате-
тах прямоугольного треугольника
(белого) те же самые квадраты по-
строены внешним образом. Попутно
в одном из них фиолетово-зеленый
треугольник заменен на равновеликий
ему красно-желтый. Теперь уже сов-
сем нетрудно показать, что фигура,
составленная из двух квадратов, по-
строенных на катетах прямоуголь-
ного треугольника, равновелика
квадрату, построенному на гипоте-
нузе этого треугольника. Для этого
заменяем еще раз зеленую трапецию
вместе с фиолетовым треугольником
на красную трапецию плюс желтый
треугольник и замечаем, что образо-
ванная при этом фигура оказывается
равносоставленной с квадратом, по-
строенным на гипотенузе данного пря-
моугольного треугольника. Тем са-
мым доказана и теорема Пифагора.
А вот еще одно доказательство,
использующее равносоставленность.
На рисунке 1 окрашенный в зеле-
ный цвет отрезок равен одному из
катетов расположенного в нижней
части чертежа прямоугольного тре-
угольника, а красный треугольник —
равнобедренный и прямоугольный.
Доказав, что угол между двумя раз-
резами — слева и внизу — прямой,
усматриваем, как из частей данной
фигуры, представляющей собой объе-
динение квадрата и равнобедренного
прямоугольного треугольника, мож-
но сложить либо два квадрата, либо
один. Причем во втором случае сто-
рона квадрата равняется гипотенузе
того самого притаившегося треуголь-
ника. Шарнирное крепление на ри-
сунке 2 показывает, что был отрезан
прямоугольный треугольник, пред-
ставляющий половину красного, и
повернут относительно «шарнирной»
точки на 135°. На рисунке 3 исполь-
зованы разрезы рисунка 1. Вновь
около шарнирных точек отделенные
треугольники поворачиваются на 135°
каждый.
Как проводить доказательство тео-
ремы в случае, когда меньший из
катетов более половины большего,
вы легко установите сами.
Современная геометрия предпочи-
тает арифметическую формулиров-
ку теоремы Пифагора, а именно:
если стороны прямоугольного тре-
угольника измерены одним и тем же
Теорема Пифагора
19 Теорема Пифагора
масштабом, то квадрат числа, выра-
жающего гипотенузу, равен сумме
квадратов чисел, выражающих ка-
теты. Коротко: квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов. Два
доказательства, использующих та-
кую формулировку, мы сейчас и про-
ведем.
На рисунке 4 изображен квадрат
с выделенными на нем четырьмя рав-
ными прямоугольными треугольни-
ками. Именно из такого рисунка ис-
ходил в своем доказательстве в XII
веке индийский математик Бхаска-
ра-Ачариа.
Пусть сторона большого квадра-
та (она же — гипотенуза прямоуголь-
ного треугольника, окрашенного
здесь в желтый цвет) равна с. Пусть
также два его катета равны соответ-
ственно а и Ь. Тогда, в согласии с
чертежом, (а — Ь)* + ~- —= с2, то есть
c*=a2-bb*. Следовательно, если тре-
угольник прямоугольный, то сум-
ма квадратов его катетов действитель-
но равна квадрату гипотенузы.
На рисунке 5 один из трех данных
прямоугольных треугольников —
объемлющий. Все три треугольни-
ка — попарно подобные. В этом и
ключ к доказательству, ибо площади
подобных фигур, построенных соот-
ветственно на катетах и гипотенузе
данного прямоугольного треугольни-
ка, находятся в том же отношении,
в каком площади квадратов, построен-
ных на этих катетах и гипотенузе.
Иначе говоря, с помощью рисунка мы
получаем равенство каг-\-кЬ2=ксг, где
а и b — катеты объемлющего тре-
угольника, с — его гипотенуза, k —
число, равное отношению площади
объемлющего треугольника к пло-
щади квадрата, построенного на его
гипотенузе. Сокращая обе части ра-
венства на k, получаем, как следствие,
теорему Пифагора.
20 Теорема Пифагора
Вероятно, за многие столетия со
времени открытия теоремы Пифагора
немало школьников получало плохие
оценки за те или иные ошибки, допу-
щенные при доказательстве. Но, несом-
ненно, более коварной и опасной в этом
смысле явилась теорема, ей обратная,
на которую в действительности часто
надо бы ссылаться в тех случаях, ког-
да школьники ссылаются на теорему
Пифагора. Вот формулировка обрат-
ной теоремы: если для треугольника
со сторонами a, b и с справедливо
соотношение «2 + /;2—с2, то треуголь-
ник этот — прямоугольный, причем
против стороны с находится прямой
угол. Доказательство чертежа не
требует и проводится очень просто.
Действительно, пусть нам дан тре-
угольник, для сторон которого соб-
людается соотношение а2- Ь2 сг.
Построим теперь прямоугольный тре-
угольник с катетами а и Ь. Тогда, по
прямой теореме Пифагора, гипотену-
за этого, построенного памп треуголь-
ника будет равняться с Лиг г Ь2.
Следовательно, он будет равен по
трем сторонам данному треугольнику,
который поэтому должен быть прямо-
угольным.
Приведем теперь два обобщения
теоремы Пифагора.
Первое — стереометрическое. Оно
установлено впервые, по-види\кму,
в XVII столетни и довольно часто
встречается в прикладной математи-
ке. Оказывается, что сумма квадратов
площадей трех прямоугольных тре-
угольников, являющихся гранями
тетраэдра и имеющих общую вершину
3 Квант -V- 3
Рис. 9.
при прямых углах (рис. 6), равна
квадрату площади невидимой грани
этого тетраэдра. Доказательство ука-
занного факта предлагается вам про-
вести самостоятельно.
Второе обобщение — теорема Пап-
па Александрийского (III век н. э.).
Она гласит: во всяком треугольнике
параллелограмм, построенный на од-
ной стороне треугольника внутрь его
и имеющий две другие вершины вне
треугольника, равновелик сумме двух
параллелограммов, построенных на
двух других сторонах треугольника
так, что стороны их, параллельные
сторонам треугольника, проходят че-
рез вершины первого параллелограм-
ма. Короче говоря, на рисунке 7
площадь нижнего параллелограмма
равна сумме площадей параллело-
граммов, построенных на боковых
сторонах треугольника.
На рисунке 8 отчетливо выделяют-
ся два равных, а потому и равнове-
ликих треугольника с параллельны-
ми соответственными сторонами. Па
рисунке 9 выделены две трапеции на
боковых сторонах данного треуголь-
ника, сумма площадей которых рав-
на площади трапеции, построенной
на его основании. Отсюда сразу сле-
дует справедливость теоремы Паппа.
Много доказательств теорема Пифаго-
ра, некоторые из которых исключи-
тельно изящны, вы можете найти
в книге В. Литцмана «Теорема Пифа-
гора». О самом Пифагоре рассказыва-
ется в книге Б. Л. Ван-дер-Вардена
«Пробуждающаяся наука».
21 Теорема Пифагора
