О ЧИСЛЕ «пи» | Задачник Кванта

Главная страница Квант 5/1972
Скачать журнал Квант 5 1972 (PDF файл) на странице Бесплатные Учебники.

Ниже текст для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Смотрите оригинал в формате PDF по ссылке выше.

Читатель нашего журнала
J1. Вей деман (из г. Риги)
обратился в «Квант» с вопросом.
«В книге М. Гарднера
«.Математические головоломки
и развлечения. .»
на стр. 418 иаписано; «Отношение
длины окружности
к ее диаметру, которое
древние греки обозначили
буквой я ( « п и » ) …» .
В книге «Алгебра и элементарные
функции» (учебное
пособие для средней
школы)… член редколлегии
«Кванта» профессор
А. И. Маркушевнч на
стр. 278—279 пишет, что
«Впервые это обозначение
встречается в книге английского
математика В. Джонса
(1706)». Кому же верить0»
Нам кажется, что ответ
на этот вопрос будет интересен
многим нашим читателям.
Ниже мы помещаем
текст ответа профессора
А. И. Маркушевича.
Уважаемый тов. Вейдеман!
К сожалению, авторы (да
и редакторы) научно-популярных
книг далеко не всегда
являются знатоками истории
науки, и поэтому
в этих книгах можно встретить
устаревшие, а иногда
и просто ошибочные утверждения
исторического характера
Именно так обстоит
дело с книгой Гарднера.
Доевние греки, не знавшие
современных цифр, обозначали
числа (целые положительные)
буквами своего
алфавита. В частности, буква
я (с добавочной черточкой
наверху) обозначала число
80 и только это число, что,
очевидно, не имеет ничего
общего с отношением длины
окружности к диаметру. Но
л является также и первой
буквой греческого слова
Лф1фвр!сс, означающего окружность
(отсюда наше: пе-
рифгрия). Неудивительно, что
ряд английских математиков
XVII века (но не раньше!)
использовали букву л для
обозначения длины самой
окружности (произвольного
радиуса). Впервые в истории
математики эта буква была
употреблена для обозначения
отвлеченного числа 3,1415…
в сочинении Synopsis Palmariorum
Matheseos английского
преподавателя математики
Вильяма Джонса
в 1706 году. Всеобщее распространение
это обозначение
получило только
благодаря трудам Эйлера
(начиная с 1737 г.), пришедшего
к этому, скорее всего,
независимо от Джонса.
Прочесть обо всем этом
можно в классическом сочи
мении Д. Е Смита (History
of mathtmaiics еу D. Smith,
vol II, Nexjj York. 1958
p 312), или — в виде краткой
ссылки — в советском
коллективном труде: «История
математики», том второй,
М., изд-во «Наука»,
1970, стр. 61.
А. И. Маркушевич

Задачник Кванта

ЗАДАЧИ

М141. Выберем на высоте ВН
треугольника ABC произвольную точку
Р. Пусть К — точка пересечения
прямых АР и ВС, L — точка пересечения
прямых СР и АВ. Докажите,
что отрезки КН и LH составляют
равные углы с высотой ВН.
Е. В. Саллинен
В
Рис. 1.
Ml42. а) Докажите, что нельзя
занумеровать ребра куба числами
1,2,…, 12 так, чтобы для каждой вершины
сумма номеров трех выходящих
из нее ребер была одной и той же.
б)* Можно ли вычеркнуть одно
из чисел 1,2,…, 12, 13 и оставшимися
занумеровать ребра куба так, чтобы
выполнялось то же условие?
И. Н. Константинов,
И. Б. Васильев
Ml43. Найдите наименьшее натуральное
число п, для которого выполняется
следующее условие:
если п делится на р— 1 и р простое,
то п делится на р.
М144. Найдите необходимые и достаточные
условия, которым должны
удовлетворять числа а, Ь, а, 0, чтобы
прямоугольник aX b можно было разрезать
на несколько прямоугольников
аХ р.
Например, можно ли прямоугольник
50 x 60 разрезать на прямоугольники
размерами:
а) 20×15; б) 5 x 8 ; в) 6,25×15;
г) (2—У 2) X (2+1/2).
А. Т. Колотое
Ml45. А обещает платить В в среднем
у 2 руб. в день. Они условились,
что в я-й день А будет получать целое
число ап рублей (ап равно 1 или
2) с таким расчетом, чтобы сумма,
полученная за первые п дней (а1+ а а+
+ …+ а „ ), была как можно ближе
к числу п у 2 .
Например, a v— 1, а 2—2, а3= 1 ,
a t~ 2 , а ь= 1. Докажите, что последовательность
a lt а 2, а3, … непериодическая.
А. К. Толпыго
Ф153. Почему реки, текущие даже
по совершенно плоской однородной
почве, изгибаются?
Для простоты рассмотрите реку,
текущую вдоль экватора.
Ф154. Оцените, сколько капелек
воды имеется в 1 м3 тумана, если
видимость составляет 10 м и туман
оседает через 2 часа? Высота слоя
тумана 200 м.
25

Ф155. Один моль газа сжимают
так, что его объем во время процесса
сжатия пропорционален давлению
V—O.P. Давление газа увеличивается
от Р х до Р а. Найти коэффициент « ,
если теплоемкость этого газа при постоянном
объеме равна су и во время
процесса газу сообщается количество
тепла Q.
И Ш. Слободецкий
Ф156*. Имеется бесконечная проволочная
сетка с прямоугольной
ячейкой. Сопротивление каждой из
проволок, составляющих ячейку сетки,
равно г Найти сопротивление
сетки между точками А и В
(рис. 2).
Ф157. По плоскости катится обруч
Ускорение центра обруча равно
а. Найти ускорение точек А, В,
С и D обруча (рис. 3) через время է
после начала его движения, если
начальная скорость центра обруча
равна w0 и обруч не проскальзы
вает.

Сила сопротивления воздуха, действующая
на каплю воды радиуса
R(m), движущуюся со скоростью
v {м/сек), равна 4,3R v{h)
П J1. Капица

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Е этом номере мы публикуем решения задач Ml01—Ml05.

В колонию, состоящую из п бактерий,
попадает один вирус. В первую минуту он
уничтожает одну бактерию, затем делится иа
два новых вируса, и одновременно каждая из
оставшихся бактерий тоже делится на две
новые- В следующую минуту возникшие два
вируса уничтожают две бактерии, и затем
оба вируса и все оставшиеся бактерии снова
делятся, н так далее.
Будет ли эта колония жить бесконечно
долго или в конце концов погибнет?
Легко проверить, что количество бактерий
и вирусов будет меняться со временем
по следующему закону:
Время (минуты)
КОЛ-DO
вирусов Кол-во бактерии
0 1 п
1 2 2 ( п — 1 )
2 շշ 22 (п — 2)
3 23 2Э (л — 3)
է 2′
t -f-1 շք+1 շք+ւ ( „ _ / _ ! )
Отсюда ясно, что при t ~ n количество
бактерий обратится в нуль — колония погибнет.
Мы получили около 80 писем с решением
этой задачи и одно письмо, где был дан неверный
ответ.
М102
Множество на плоскости, состоящее из
конечного числа точек, обладает следующим
свойством: для любых двух точек А и В
множества найдется точка С множества тикая,
что треугольник ABC равносторонний.
Сколько точек может содержать такое
множество?
Докажем, что такое множество может
содержать только три точки (разумеется,
предполагая, что оно содержит более одной).
Обозначим это множество буквой Г.
Пусть А и В — две точки множества Г,
расстояние между которыми наибольшее.
По условию, Г содержит такую точку С,
что тре\тольник А ВС равносторонний: АВ~
— BC-AC—d.
Пусть Р — еще одна точка, принадлежащая
множеству Г. Поскольку расстояние
между точками Р и А ие превосходит d,
точка Р должна лежать внутри круга радиуса
d с центром А. Точно так же она должна лежать
и внутри кругов радиуса d с центрами
В и С. Таким образом, множество Г не выходит
за пределы общей части этих трех кругов
— криволинейного «треугольника» Т
(рис. 1).
Далее, вместе с точками Р и А множеству
Г должна принадлежать одна из двух
точек Q и R — вершин равносторонних
треугольников APQ и APR, то есть точек,
получающихся из Р поворотом на 6СР (в ту
или другую сторону) вокруг А (рис. 2).
Для того чтобы точка Q лежала внутри Т,
нужно, чтобы точка Р лежала в пределах
голубого «лепестка» АВ; действительно, если
повернуть треугольник Т вокруг точки А
на 60* против часовой стрелки, то точки лепестка
А В и только они не выйдут за пределы
27

Т. Точно так же, для того чтобы точка /?
лежала внутри Т, нужно, чтобы точка Բ
лежала й пределах голубого «лепестка»
АС Итак, мы доказали, что любая точка
Р множества Г должна лежать в пределах
множества 7’^, состоящего из двух голубых
лепестков А В и АС с общей вершиной А
Но точно так же доказывается, что /՛ заключено
в пределах множества ТR (рис 3) и
Тс (рис. 4), а общая часть трех множеств
Тл՝ 11 ТС состоит только из трех точек
А, В п С. Следовательно, никакая другая
точка Р не может принадлежать множеству Г.
Правильное решение задачи прислали
А. Блохин (Клиыовек Кемеровской обл.).
Н. Чернов (Кривой Рог), Ш. Слепой н Э Тур
кееич (Черновцы). А. Меркурьев (Ленинград),
М Розов (.Минск), А Глушко и В Корниенко
(Воронеж) и другие.
В нашем решении мы пользовались только
тем, что в множестве Г можно указать две
точки, расстояние между которыми максимально.
Для множества / . состоящего нз конечного
числа точек, это. разумеется, так.
Однако утверждение задачи остается верным,
если наложить на множество Г более слабое
условие — условие ограниченности. Для решения
задачи в этом случае необходимы дополнительные
рассуждения: их без труда
смогут провести те, кто владеет первоначальными
понятиями топологии точечных
множеств на плоскости» например, в объеме
книги: И. С т и н р о Д и У. Ч и п н «Первые
понятия топологии» («Мир», популярная
серия «Современная математика»). Заметим,
что от условия ограниченности отказаться
\же нельзя
М!0»
Исследуйте, сколько решений имеет сн-
тс-ма уравнении
! .Vs -{- у~ -f ху а.
i А2 — * / * — Ի.
где я и ծ — некоторые действительные числа.
Перейдем к новым переменным по формулам
лг-1 у — и.
X — у — V.
то есть
«Н и
2 ՛
и — У
~ 2 ~ ֊
(1)
Тогда данная в условии система занишет-
ся так՜
յ Յս2 I- Vя = 4а.
1 и и — Ь. (2)
Очевидно, что каждой паре (х, у) соответствует
по формулам (I) одна пара (и, у), а
каждой паре (и, v) — пара (х. у), так что
нам нужно выяснить, сколько решений
(и, у) при различных значениях параметров
и и b имеет система (2). (Сразу ясно, что при
я < 0 решений нет, при а- 0 и ԵյեՕ — тоже,
а при а Ь 0 — единственное решение и —
— V — 0, но это можно было бы и не отмечать,
поскольку наше дальнейшее рассуждение
годится и для этих случаев.)
Вычтем и прибавим к первому уравнению
системы (2) второе уравнение, умноженное иа
•2 У з :
Получим так>ю систему:
(1/3 и — v ) 2 ^ 4 a — 2 1/3 fc.
(3) (Узы — и)2 — 4я 2Уз b
равносильную системе (2). (Подумайте, как
из (3) вывести (2)1. Ясчо. что каждому набору
значений ՜[/’ձ и — v и I 3 и и , который
получается из (3), соответствует одно решение
(и v) системы. Остается учесть, что
(в области действительных чисел) \равнекне
г- с имеет два решения г, = ~[/с , гг =
= — ~[/с , если с > 0 . одног 0, если с—0, и
не имеет решений, если с < 0 .
От в е т . Решения есть тогда и только
тогда, когда выполнены неравенства
— 2օհ՜1> |/3 հ:Հ2օ.

28

причем, если оба неравенства строгие («меньше
»), то решений четыре, если одно из них
обращается в равенство — то два, если оба
(это возможно лишь при а b 0), то
одно.Многие читатели, приславшие решения
этой задачи, приводят (как правило, в несколько
иной форме) этот результат, а также
явные формулы для решений системы. Их
нетрудно получить из наших вы к л а д о к , но
они довольно громоздки, и мы не будем (IX
приводить, тем более, что это и не требуется
в условии. Влесто этого укажем на геометрическую
интерпретацию уравнений системы:
первое задает эллипс, второе — гиперболу.
Красная гипербопа на рисунках 5 и б соответствует
таким значениям параметров
а и Ь, Когда кривые пересекаются (четыре решения),
голубые — когда гипербола касается
эллипса (два решения).
Некоторые читатели провели исследование
и для того случая, когда система решается
п области всех комплексных чисел. И
здесь наше расс жденне позволяет сразу
дать ответ: в комплексных числах (х, у) система
имеет четыре, два или одно решение,
если из двух равенств 2 а— fc»|/3 , 2а
Ь~\/ъ соответственно нуль, одно или два
верных.
MI04
Внутри треугольнике ЛВС лежат т а к т
дае точки Р и Q, чго отрезки АР и AQ состав
ляют равные углы с биссектрисой угла А
треугольнику а отрезки BP r BQ составляют
равные углы с би сектрнсой угла В.
Докажите, что отрезки СР и CQ сес ааля-
ют равные углы с биссектрисой угла С
(рис. 7).

Рис. 5. Поворотом на 45 по часовой стрелке
из этого рисунка получается рисунок 6 (но
в другом масштабе).

Рис. 6. График гиперболы, заданной уравнением
г/и 1/2 окрашен ո красный цвет,
гиперболы с уравнением «у 2 /У ^ — в синий.
Черным цветом отмечен э.пнпс. уравнение
которого 3 II՜ V՜ 4.

Пусть Л. В и С — углы при соответствующих
вершинах треугольника ABC. По условию
.’,PA C ֊-*4Q A B =а, ^ P B A — .jOBC—
= ֊Р . Мы должны доказать равенство углов
PC А—у, и -4QCB
Приведем решение Э Туркешча, использующее
теорему синусов; близкое к
атому решение прислали С. Лягушин (Днепропетровск),
Ю. Кисин (Старая Pytca),
С. Цанша (Кутаиси). М- Илларионов,
А. Глушко и В. Корниенко (Воронеж), Af. Розов
и А. Черняк (Минск).
Перемножив равенства
АР sin р CP s in a
BP sin (Л — а ) ’ АР ~՜ sir? у, ’
BP s$ i(C — yj) AQ sin (5 — P)
CP ~ sin (В — P) ’ B Q ^ s in a ’
CQ _ sin (A — a ) . BQ sin y-j
AQ s in (C— Yi) ‘ CQ sin p ’

29

получим
sin(C — Yt) sinY2 ~ sin (С — y2) sinyi или
sinC sin(Yt—Y2)—0-
Поскольку 0 < С < л и —fi<Y i—Y2 < л .
Отсюда следует, что Y i~ Тг-
В. Н. Березин (Москва) сообщил другое,
чисто геометрическое решение.
Пусть РА, Рв и Р с — точки, симмегрич-
иыо точке Р относительно сторон ВС, АС
АВ треугольника ASC , Заметим, что для
того, чтобы отрезок >1Q составлял с отрезками
АВ и АС углы, равные *$РАС=<х и -4РАВ—
А—а , необходимо и достаточно, чтобы он
шел по биссектрисе угла P fiA Pc (рис. 8).
Поскольку АРц—АР с , это условие можно
сформулировать еще так: точка Q должна
лежать на перпендикуляре, проведенном череп
середину отрезка Р в Р с • Теперь осталось
доказать, что если Q лежит на перпендикулярах,
проведенных через середину отрезков
Р ЯРС и Рс Ра < то Q лежит также на перпендикуляре,
проведенном через середину отрезка
Р в Рс- Это очевидно: точки Ра , Рв .
Р с не лежат на одной прямой, и Q является
центром круга, описанного около треугольника
Ял РдРс (рнс. 9),
Разумеется, точно так же можно доказать,
что Р — центр круга, описанного около
треугольника QaQbQc . где Qa , Qb > Qc —
точки, симметричные Q относительно сторон
треугольника ВС, СА, АВ. Отображение
P-*Q совпадает с обратным к нему. При этом
отображении центр вписанного круга переходит
в себя, а центр описанного круга и точка
пересечения высот — друг в друга (проверьте
это!).
MI05
Сумма цифр числе после его умножения ■
на 8 может уменьшиться: 75-8 -6(Ю — сумма
цифр была 7 + 5 = 1 2 , а стала 6. Однако ока
не чожет уменьшиться более, чем в 8 раз.
Докажите это.
Другими словами, докажите, что для
любого’ натурального числа N
S (8-У), I
տ (.V)56 ТГ •

где 5(Л) — сумма цифр числа А (в десятичной
записи).’
Для каких еще натуральных к существу*
ет такое положительное число գ , ‘что для
всех натуральных Л’
Տ (kN)
S (N )
Найдите наибольшее подходящее значение
С ),.
Сначала заметим, что S(8 125)՜=
=S(1000)— 1.
Нам будут нужны следующие свойства
функции Տ (jV):
1°. SH+fi)^S(i4)+S(fi);
2″. S(/4rM 2+…+H„)^SM1)+S(>4#* +
+ …+ SM *) ;
3°. S M ) ^ n S ( / l ) ;
4°. Տ (^ 5 )^ 5 (Ճ )Տ (Ք ) .
Чтобы убедиться в справедливости свойства
1е, достаточно представить себе, что числа
А и В складываются «столбиком». Свойство
2՞ получается из I9 простой индукцией. 3°—
частный случай 2Г.
Если представить себе, что А множится
на В «столбиком» и к каждой цифре числа
В применить 3°, то получится 4°.
Теперь легко доказать требуемое неравенство.
S(N) = S(1000/V) = 5 (1 2 5 -8Л ‘Х
s=SS(125)S(8;V)=8S(8W), то есть
S(8JV),
S ( N ) :
J —
8
То же рассуждение годится для любого
числа к= $ ь< ) Обозначим через ck число
1
~՜ 0 . Докажем, что для любого N
S (2Ч 5 )
5 (WV)
՝S»(JV)~^sCfc (ПРИ N—2 $ это неравенство
превращается в равенство, поскольку

30

S ( f t .V ) ֊5 ( l 0 r+ 9 ) = l ) Для любого Л
S (Л’) = S (1 0 ‘b<? A’jsSS (2“ 5r) S (kN) —
֊ — S (kN),
լ հ
что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что для чисел к вида
QYb^, где Q взаимно просто с 10, отношение
S(K.\’) fS ( \!) может быть меньше любого заданного
f > 0 . то есть требуемого положительного
числа C/t не существует.
Нам потребуется такая лемма: существует
число 10″* -1 (состоящее из т девяток), делящееся
на Q. Ее легко доказать с помощью
«принципа Дирихле» *). Рассмотрим остатки
от деления на Q чисел
9
99
999
9999
Какие-то два из них совпадают, и разность
соответствующих чисел делится на Q:
*)См. статью Л. И. О р л о в а в «Кванте
» Л* 7, 1971.
нули в конце что» разности можно отбросить
(поскольку 0 взаимно просто с 10).
Пусть l0m—1 QR и п — любое натуральное
число. Тогда 10’” ՞ —1 — число,
состоящее из mn девяток, — делится на Q и
частное Rn~-R( 10я,(я ՜ ՛>֊; 10″,<» “ а,+ …
… + 10и 1).
Теперь заметим, что у числа Q(Rn- 1)
QRn Q •Ютп Q—1 сумма цифр при любом
п раона 5(0), а сумма цифр числа /?«+ 1
не меньше (гг—l)S(R). Таким образом, выбрав
п достаточно большим и взяп N Rn ՜ 1,
Mbs получим, что
5 (kN) S((Rn — f 1 Q>r V ) ^
5 (Л ‘ ) ~ 5 (Rn + I)
5 ( 2r 5q ) 5 (Q)
^ n — l ) S R ^ »
Итак, мы доказали, что при k 2r5q иско-
1
мое число Ch существует равно — — ,
о(2 5 )
а при других k такого положительною С).
не существует. Правильные ответы прислали
Э. Туркевич, М. Илларионов, А1. Розов.
//. />. Васильев

В этом номере мы публикуем решения задач Ф116—Ф122.

ФП6
Если температура воздуха в цилиндре
показанном на рисунке 10 равна 7՝Л(7’0>
■ т > 0 ° С), то он остывает до температуры
иримерно за время т 30 сек. Поршень начинают
вдвигать н выдвигать с некоторой частотой
В каком случае растает больше льда,
окружающего цилиндр за 50 ходов поршня,
если они сделаны а) за 1 минуту; б) за 1 час;
в) на 30 суток?
Скорость изменения температуры воздуха
в цилиндре пропорциональна самой температуре.
Это означает, что изменение температуры
идет по экспоненте Т — Т^е՜՜0՛* ( а — коэффициент,
է — время) (см. «Квант» № I).
Очевидно, если выбранные интервалы времени
է составляют арифметическую прогрессию
с разностью т, то есть t—nx, то температура
газа составляет геометрическую прогрессию
со знаменателем р“ «а т . В этом нетрудно
убедиться, записав формулу зависимости
температуры газа от времени в виде
Т* 1
уг =- (е~~а г ) п . При ո • ՜ 7^ = ՜ շ ՜ — ^ го
_ WT 1 Т ,М \ »
означает, что е ՝ռ ՜ շ ՜ » 7՜0 \ 2 ) ‘
Отсюда следует, что в сосуде с неподвижным
поршнем температура газа каждые 30 секунд
будет уменьшаться вдвое.
Если поршень делает 50 ходов за 1 минуту,
то один ход поршня делается за 1,2
секунды. Эго время мало по сравнению с
характерным временем процесса теплопередачи—
30 секундами. Поэтом ,՛ тепло, выделяющееся
при уменьшении объ ,sa газа, не
успевает рассеяться и практически потно-
стью будет отбираться прн увеличении объе-

31

ма газа. Стедовательно. в этом случае
■шнжение поршня не изменит скорости таяния
льда.
Ясно также, что п при 50 ходах поршня
за 30 суток лед будет таять так же, к«ж он
таял бы при непочвижном поршне. Теперь
время одного хода поршня слишком велико
по сравнению с тем временем, на которое растает
практически весь лед н температура
воды станет равной 0 С
Если поршень делает 50 холоь за 1 час,
тй олин ход делается ла 1.2 мннутлл. Благодаря
этому тепло, выделившееся при с ж а т и и
газа, успеет понт» на тяянно льда. В этом
случае льда растает больше, чем при неподвижном
поршне.
Правильное решение этой задачи прислали
М . Флеров (.Москва) и Л1. Ваин.иах. р
(Кривой Рог).
Ф117
По обледенелой дороге обычно идут,
делая маленькие шагн. С какой шириной
шага должен идти человек, кс боясь упасть,
если длина его ног равна 1 метру, а коэффициент
трения подошв обуви о дорогу равен
0. 1?
Пусть ширина шага равна 2х (рис. 11).
Когда человек поднимает одну ногу, весь
его вес приходится на вторую ногу. Тогда
сила V реакции не мл и равна mg ( т — масса
человека). Это означает, что максимальная
сила трения /-‘тр. которая может действовать
на ногу человека, ис давая ей скользить.
равна kmg. Равнодействующая силы
N к силы трения f-rp направлена к центру
тяжести человека, то есть практически вдоль
ноги, и образует с вертикалью угол а
F тр
Поэтому
.V
tgcc.
kmg
tьg а — —n—ig —*= k,
но
Следовательно,
х I sin а — I
tga
*0 , 1 / 10 (си).
Ширина шагя, который может сделать пешеход.
равна 20 см
Эта задача оказалась самой легкой. Ее
правильное решение прислали более 50 читателей.
ф ! 18
В камеру сгорания ракетного реактивного
двигателя поступает в секунду масса т водорода
и необхе ди.мое для полного сгорания
количество кислорода. Выходное сечение
сопла S. Давление в *том сечеиии Я, абсолютная
температура Т Определить силу F
тягн двигателя.
Найдем массу водяных паров, образующихся
при сгорании массы m вочорода.
Запишем уравнение реакции горения водорода
2Н2-О о 211,0 .
Из уравнения реакции можно заключить,
что две молекч ты водорода соединяются с одной
молекулой кислорода. В результате получается
две молекулы водяных паров. Это
означает, что для сгорания одного киломоля
водорода необход ма половина кпломоля
кислорода, н в ре ультате реакции пол у частот
ся один киломоль воды. При сгорании и — ~J1— в
киломолей водорода получится столько же
кнломолей водяных паров (ււ„ 2 кг кмоль —
масса одного киломоля водорода). Поэтому
при сгорании массы от водорода получается
от 18
масса М Цп — ‘л ՜ от — 9 m водяных п !*ո Հ
роп (|»ц 18 кг кмоль — масса одного кнломо-
ля пара). Эга масса водяных паров вылетает
из сопла двигателя за одну cei нду. Так как
нам известна площадь выходного сопла двигателя,
можно найти скорость v газа, выходящего
нз сопла. За одну секунду из сопла
двигателя будет выброшен объем пара
V ֊ «Տ . Если плотность пара равна р. то
масса этого объема пара будет равна
поэтому М pS t՛.
Отсюда t; = —Мr = —9/ո .
f>S Vb
В эту формулу вводит плотность пара.
Она нам не известна, зато мы знаем давление
пара и его температуру. Записав уравнение
Клапейрона—Менделеева PV — RT (R
газовая постоянная), найдем, что плотность
пара равча
от Яиц Уот/? 7՛
Р ТГ = ~RT 11 » = ЯМ п5 ՜
տա а х
Т
Так как за время А/ нз сопла ракеты
выбрасывается масса пара Л4Л/, которой
сообщается импульс ЛГЛ/с, то на газ дей-

32

c t b v o t сила
Л
ЛШз
\f Л1 v .
Такая же но величине сила, ненаправленная
в противоположную сторону, действует на
двигатель. Полная сила, действующая на
двигатель (то есть сила тяги двигателя) равна
сумме реактивной силы Ւ\ н силы статического
давления Ւ\ р Ь , то есть
F = М о — \ P S — 81 ֊^P.H- ! p S iiS
9 m *R T
2 p S p S .
Обычно сопла ракетных двигателей устроены
TtiK, что давление р r a n , выходящего из
сопла, мало. Поэтому второй член ո выражении
для силы тяги двигателя мал по сравнению
с первым н при расчетах им можно
пренебречь.
Правильные решения прислали: В . Ку-
уск (Ржев): П . Сергею (Грозный), Л . Смуш-
кевич (Магнитогорск), И. Сидоров (Москва),
С. Арасланова (Н-Ивкино Кировской обл.),
Ա. Фушман (Черновцы), Е . Долгов (Москве).
Я Яш ин (Рсчица Гомельской обл.). В . Ка-
гпенов (Москва), Г . С имоненмв (Каунас).
В . Белое (Вологда), И . Федин (Омск), М Ф е дин
(Алушта), В . Кугич (Иваново Брестской
обл.). Շ. Черников (Семипалатинск), В . Кор
о т к и х (Новокузнецк), О. Заумыслова (Москва),
Ю Полянский (Зе.ченодольск ТЛССР),
А . Редченко (с. Новопетровка Белопольского
р-на Сумской обл.), С. Бомевокьный
(станина Копанская Краснодарского края),
Ю. Л ур ь е (Грозный), Е . Ш а х н о т ч (Калинин.
обл.), Л. Брагинский (Фрунзе), Ю- Ш а т
к о е (Щигри Курской обл.), А . Удальцов
(Калининград .Московской обл.). А . Горди-
енко (с. Полтав’ченское Краснодарского края),
Б . Бояршинов (Коломна), А . Смирнов (Горький).
А . М ам у л а (с. Лыбинцы Киевской
обл).
Ф119
К маятнику А В с шариком мзссы М
подвешен маятник В С с шариком массы т
(рис. 12). Точка А совершает колебания в
горизонтальном направлен)и с периодом
Т . Найти длину нити В С , если известно, что
нить А В все время остается в вертикальном
положении.
Поскольку нить А В остается вертикальной,
на шарик массы М во время движения
системы не действуют горизонтальные силы.
Это означает, что горизонтальные силы
не действуют и на систему, состоящую из
двух шариков, М и т , и’шарики дочжны
двигаться так, чтобы их центр масс не пе-
Г«метался в горизонтальном направлении.
1оэтому шарик массы т движется так, как
будто он прикреплен к нити длины х , где х —
расстояние от шарика до центра масс системы.
Период колебании такого маятника равен
2л у — . Этот период, очевидно, равен периоду
колебаний точки Л. то есть Т :
2.-х ’1/ Х .
} ё
( 1)
Найдем теперь х. Положение центра маге
системы находится точно так же, как положение
центра тяжести:
XI п (/—а) А ).
Отсюда
* ‘ 1 m — М ■
Подставляя ьто выражение для х в формулу
(1), получим
т = 2л у —т
Отсюда
I
М
g ш -}- М
Г’й m — | М
4л՛- М
Правильное решение задачи прислали;
Л . Брагинский (Фрунзе), В . К о р о т к и х (Новокузнецк),
М . Прегер (Томск), Н . Федин
(Омск). Л . Смушкевич (Магнитогорск), Ю. Л у рье
(Грозный), /7. Сергеев (Грозный). Е . Долгов
(Москва).
Ф120
Конькобежец по ледяной дорожке старается
пройти вираж как можно ближе к
внутренней бровке. Велосипедист на велотреке
проходит вираж возможно дальше от
внутренней бровки Как разъяснить это различие
в движении конькобежца и велосипедиста
на вираже? Профиль трека изображен
нй рисунке 13.
Конькобежцу центростремительное ускорение
сообщае сила трения о лед F — r p = k N ,
где N — сила нормального давления конькобежца
на лед (рис. 14). Так как конькобежец
не перемещается в вертикальном
33

направлении, cilia N раина по величине действ
ющей ка конькобежца силе тяжести
mv՞
mg. Поэтому Ftp—kmg н — ^ — — kmg.
Отсюда v = V ‘k g ii ,
Делая поворот, конькобежец проходит
расстояние я R. Время /, которое он затрачивает
на попорот, равно ‘ «VI- <■>
Чем больше радиус окружности, по которой
движется конькобежец, тем больше
время, затр<зчиваечое на поворот. Хотя при
увеличении радиуса поворота увеличивается
максимальная скорость конькобежца, еще
больше увеличивается проходимое им расстояние.
Скорость пропорциональна ~[/R, а
расстояние — R. Именно поэтому конькобежец
и старается пройти поворот как можно
ближе к бровке.
Теперь рассмотрим движение велосипедиста
на наклонном треке. Ему центростремительное
ускорение сообщает сумма горизонтальных
составляющих силы трения FTp
и силы IV реакции опоры (рис. 15):
mv’i
F Тр cos a -f- Л՛ sin а . (2)
Так как велосипедист не перемещается
в вертикальном направлении, то сумма вер
тикальных составляющих всех сил, действующих
на велосипедиста, равна нулю:
N cos а — F sin а — mg — 0. (3)
Из уравнении (2) и (3), учитывая, что F t p =
— kN, найдем максимальную скорость, с
которой может двигаться велосипедист:
л/ ~ ft + tqa
14 — V e R 1 ~ k i f a
Эта скорость зависит не только от радиуса
окружности, но и от угла наклона трека
к горизонту. При том профиле трека, который
показан иа рисунке, угол наклона меняется.
При с с = arctg {]/k) скорость движения
велосипедиста может быть любой *).
Время, необходимое велосипедисту для
того, чтобы пройти поворот радиуса R, равно
/ _ л/? _ l / ~ R 1 — fe tg a
1 У g ՛ k + \ g a
Если велосипедист проходит поворот
дальше от бровки, то меняется не только радиус
поворота, но и угол а наклона трека к
горизонту. Благодаря этому уменьшается
время прохождения поворота.
Редакция получила много решений этой
задачи. Наиболее полные и обоснованные решения
прислали Е. Долгов (Москва), В. Белов
(Вологда), С. Божевольный (стан» ца Ко-
паиская Краснодарского края). А. Герман
(Воронеж), А. Бугай (Иэяслаз Хмельницкой
обл., УССР), А. Боявский (Гомель), Д. Фуш-
ман (Черновцы) н П. Сергеев (Грозный).
Ф121
В герметически закрытом с’осуде в воде
шавает кусок льда массы Му в который
вмерзла свинцовая дробинка массы т . Какое
количество тепла нужно затратить чтобы
дробинка начала тонуть? Плотность свинца
рс— 1 1,3 г/см3, плотность льда рл—0,9 г/см3,
теплота плавления льда к—80 кая/г. Температура
воды в сосуде равна 0е С.
Для того чтобы дробинка начала тонуть,
нет необходимости в том, чтобы растаял весь
лед. Достаточно, если средняя плотность
льда с дробинкой станет равна плотности
воды. Если массу оставшегося при этом льда
обозначить Mi, то условие того, что дробинка
начнет тонуть, запишется так՜
Mi + m
у — Рв-
Но объем V льда и дробинки равен
Mi т
сумме их объемов, то есть —~ -j- .
Ря Рс
*) Скорость велосипедиста в этом случае
будет определяться мощностью, развиваемой
им, и силами сопротивления.

34

Поэтому M 4 4- m = pB ^ + ֊ J .
Отсюда
Mi՛ nt —(P-c- —- rР—н) rP~.T — 8o ,n2 .m, .
(Рв Рл) Pc
Растаять должна масса льда
Для этого необходимо количество тепла
Q ХАМ ЦМ—Щ т ) .
Правильное решение этой- задачи прислали
около 40 читателей.
Ф122
Три тола с массами т х, т 2 и т 3 могут
скользить по горизонтальной плоскости без
трения (рис. 16), причем /ոլ >ա 2 и m3>m 2.
Определить максимальные скорости, которые
могут приобрести два крайних тела, если
в начальный момент времени они покоились,
а среднее тело имело скорость у. Удары считать
абсолютно упругими.
Столкновения тела массы ms с телами
массы яг, и т 3 будут продолжаться до тех
пор, пока его скорость не станет меньше
скорости одного из тел /гг1 или т 3. Но при
этом импульс и энергия тела массы т г будет
много меньше импульса и энергии этих тел
(так как т ^ т 2 и т ъ и, записывая
закон сохранения энергии и импульса,
мы можем не учитывать энергии и импульса
тела массы т „ после прекращения столкновений.
Обозначая « | и ия скорости тел
т х и т 3 после того как прекратятся столкновения,
мы можем записать:
т 3и3 — էՈ\Ա\ “ Ոկv.
m3 «з m2vi
2 ‘ 2 2
Решая »ти уравнения совместно, найдем,
что при т х > ոկ и т 3 > т ։
т гт 3
-Կ֊ т .
г . ՈկէՈշ
т% т хт 3
Правильные решения этой задачи прислали
С. Долгов (Москва), А. Боявский (Гомель),
В. Белов (Вологда), В. Терентьев
(Павлово Горьковской обл.), /7. Сергее«
(Грозный), А. Рсдчанко (с. Новопетровка Сумской
обл.).
И. Ш. Слободецкий

35

Физика в Школе
КВАНТ

Число Пи

#физика #квант #ЗАДАЧНИК_КВАНТА

число пи