ПАРАДОКСЫ СПУТНИКОВ Л. БЛИТЦЕР
Если хотите быстро ознакомится только с содержанием статей, смотрите ниже.
Текст, для быстрого ознакомления (в тексте для быстрого ознакомления формулы могут отображаться не корректно):
ПАРАДОКСЫ СПУТНИКОВ Л. БЛИТЦЕР
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ : страница
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (6 июнь 1972)
Закон инерции хорошо известен. И хотя на Земле мы никогда
не видели равномерно движущегося тела, на которое не действо-
вали бы никакие силы, тем не менее шайба на льду может слу-
жить хорошей моделью такого тела: сила трения мала, а сила
тяжести компенсируется силой реакции льда. В космосе, там,
где летают искусственные спутники, ничто не компенсирует
силу тяжести. Поэтому там тела, на которые не действуют ни-
какие силы (кроме силы притяжения), движутся по эллипсам,
параболам или гиперболам. Это можно считать «законом инер-
ции» для спутников *)
Как же выглядит для спутника «второй закон Ньютона»,
то есть кдк изменяется скорость спутника, если на него действует
какая-либо сила, кроме сил притяжения к Земле? Об этом рас-
сказано в статье, которую мы перепечатываем из «American
Journal of Phisics» за 1971 г. Текст § 2 несколько изменен с тем,
чтобы рассматривать движение не по эллипсу, а по окружности,
так как формулы для такого движения можно легко получить,
пользуясь школьным учебником физики. Эллиптичность орби-
ты спутника в данном случае несущественна.
Статья подготовлена к печати Н. Я. Смородинской.
I. Введение
Как вы думаете, что происходит
со скоростью и кинетической энер-
гией искусственного спутника Земли
при торможении в атмосфере? Вы
наверняка ошибетесь, если будете
руководствоваться лишь тем, что вам
подсказывает повседневный «земной»
опыт. Оказывается, скорость и ки-
нетическая энергия спутника при
торможении в атмосфере возрастают!
Это удивительное явление было на-
столько неожиданным, что его стали
называть парадоксом. Мы расскажем
*) См.статью А. К. Кикоина «Вра-
щательное движение тел», «Квант» Кв 1,1971.
здесь о трех, казалось бы, совершенно
разных явлениях, объяснение кото-
рых связано с этим парадоксом.
1) Сокращение -размеров орбиты
спутника и увеличение его скорости
в земной атмосфере.
2) Колебание экваториального
спутника Земли относительно поло-
жения устойчивого равновесия.,
3) Изменение Продолжительности
земного месяца.
Первое из перечисленных явле-
ний объясняется торможением в ат-
мосфере, причина второго кроется
в «трехосности» нашей планеты, а
третье связано с тем, что.на поверх-
ности Земли образуются приливные
выступы.
15 ПАРАДОКСЫ СПУТНИКОВ Л. БЛИТЦЕР
II. Невозмущенная кеплеровская
орбита
Давайте вспомним самые простые
уравнения движения, подчиняющегося
законам Кеплера. Если бы Земля
была сферически симметрична и если
бы вокруг нее не было ни атмосферы,
ни других возмущающихся факторов,
то хорошо известно, что орбита зем-
ного спутника представляла бы собой
эллипс, один из фокусов которого
лежал бы в центре Земли (рис. 1).
Когда орбита спутника близка к
окружности с радиусом а, то период
обращения его вокруг Земли равен
Отсюда видно, что эти величины свя-
заны соотношением
t
где |х = уМ (у — гравитационная
постоянная и М — масса Земли).
Согласно третьему закону Кеп-
лера таким же будет и период обра-
щения спутника по эллиптической ор-
бите с большой полуосью, равной а.
Можно показать, что при движе-
нии по круговой орбите потенциальная
энергия 0, кинетическая энергия К
и полная энергия Е спутника выра-
жаются через а, ц и массу спутника т
следующим образом:
о ‘¦
w и1″
2а
\ип
B)
C)
D)
*) См. статью Н. М. Сперанского
«Потенциальная энергия тел в поле тяжести»
на стр. 20.
U = —2/С = 2?.
E)
Рнс. 1. КеллеровскиА эллипс. F — возму-
щающая сила.
16
Для эллиптической орбиты соотно-
шение E) и формулы B)—D) оста-
ются верными, но вместо кинетичес-
кой и потенциальной энергии нужно
говорить о средней (за один оборот
вокруг Земли) кинетической и сред-
ней потенциальной энергиях спут-
ника.
111. Объяснение парадокса
Рассмотрим теперь, что происхо-
дит, когда на спутник действует ка-
кая-нибудь произвольная дополни-
тельная сила. Очевидно, что если
эта сила больше гравитационной
(равной ?-|, то она должна играть ос-
новную роль. Это условие выполня-
ется, например, в момент запуска
спутника. Если же возмущающая сила
мала по сравнению с силами гравита-
ции, то орбита должна быть кеплеров-
ской (то есть эллипсом или окруж-
ностью.) Именно этот случай мы и
будем исследовать.
Любую непрерывно действующую
возмущающую силу F можно заме-
нить последовательностью бесконечно
малых импульсов. В результате ра-
боты, совершаемой силой F в тече-
ние произвольного малого интервала
времени А/, энергия спутника воз-
растает на величину АЕ:
АЕ = FT AS = FT vAt,
где FT — тангенциальная составля-
ющая силы F, направленная по ка-
сательной к орбите, a v — скорость
спутника.
Бесконечно малому приращению
энергии АЕ соответствует увеличение
радиуса орбиты спутника на беско-
нечно малую величину До.
Посмотрим теперь на формулу
D). Мы увидим, что с увеличением
энергии спутника радиус его орби-
ты увеличивается. Сосчитаем, на ка-
кую величину Да изменится радиус
16 ПАРАДОКСЫ СПУТНИКОВ Л. БЛИТЦЕР
орбиты, если энергия спутника из-
менится на Д?.
До)
F)
отсюда
ДЕ
Аа
а
Да
ИЛИ
=_^Д? = —Д?.
G)
Найдем еще связь между измене-
нием скорости и изменением кине-
тической энергии
г , л is n(v + ДиJ
Отсюда
t/ АК и
т. к. из соотношения E)
= -Д?.
Подставляя теперь значение
= FTvAt, получим
(8)
(9)
(Ю)
(П)
Отсюда, считая изменения Ду и
Д/ малыми, получим выражение для
ускорения спутника.
W=-±Fr. A2)
Это уравнение на вид противоречит
второму закону Ньютона (знак минус
перед F). На самом деле никакого
противоречия, конечно, нет. Вспом-
ним, что сила F представляет собой
лишь возмущение по сравнению с
доминирующей силой—5-. Из форму-
лы A0) видно, что если энергия спут-
ника увеличилась из-за увеличения
радиуса орбиты на Д?, то кинетиче-
ская энергия уменьшилась на Д?\
При этом потенциальная энергия
увеличилась на 2Д?», это и дало
увеличение полной энергии.
Заметьте, что все наши рассужде-
ния совершенно не зависят оттого,
какая именно возмущающая сила дей-
ствует на спутник.
Исследуя зависимость всех этих
величин от знака Д?, можно соста-
вить таблицу 1. Из нее видно, что
в результате возрастания орбиталь-
ной энергии спутника его период,
потенциальная энергия и размеры ор-
биты растут, а линейная скорость
уменьшается. Если же сила, действу-
ющая на спутник, уменьшает его
энергию, то это вызовет сокращение
размеров орбиты и увеличение ско-
рости.
IV. Торможение в атмосфере
Рассмотрим, что происходит при
торможении спутника в земной атмо-
сфере. В этом случае возмущающая
(тормозящая) сила направлена против
движения, то есть Д? всегда имеет
отрицательный знак. В соответствии
с таблицей 1 большая полуось и пе-
риод обращения будут постепенно
убывать, следовательно, средняя
17 ПАРАДОКСЫ СПУТНИКОВ Л. БЛИТЦЕР
Рис. 2. Сжатие орбиты искусственного спут-
ника при торможении в атмосфере.
скорость должна расти. Теряемая по-
тенциальная энергия частично перехо-
дит в кинетическую, а остальная пре-
вращается в тепло. В перигее орбиты
торможение максимально, потому что
в этой точке скорость и атмосферная
плотность принимают свои макси-
мальные значения. В апогее же тор-
можение будет минимальным. По-
скольку в перигее спутник каждый раз
получает отрицательный импульс, его
орбита будет постепенно сжиматься,
все сильнее приближаясь к круговой
(рис. 2). Такое сжатие орбиты спут-
ника под действием торможения в ат-
мосфере .неизбежно для всех искус-
ственных спутников Земли и обычно
сопровождается постепенным ростом
скорости. Форма траектории прибли-
жается к окружности.
V. Движение экваториальных
спутников с периодом 24 часа
Предположим, что Земля шаро-
образна, и рассмотрим искусствен-
ный спутник, который обращается в
экваториальной плоскости по кру-
говой орбите с периодом двадцать
четыре часа. Поскольку движение
спутника по орбите происходит син-
хронно с вращением Земли, геогра-
фическая долгота такого спутника бу-
дет постоянной.
На этом свойстве основано исполь-
зование спутников с круговыми ор-
битами для транслирования телевизи-
18
онных передач и для географических
исследований.
На самом деле распределение мас-
сы Земли неоднородно, а форма ее
отличается от шарообразной, поэтому
внешнее гравитационное поле Земли
похоже на гравитационное поле тела,
которое обладает тремя осями сим-
метрии, а в сечении экваториальной
плоскостью имеет эллипс. (На основе
данных, полученных при исследовании
траекторий спутников, можно ска-
зать, что разность длин большой и
малой осей эллиптического эквато-
риального сечения Земли составляет
130 м, причем конец большой полу-
оси лежит на 15D западной долготы).
Давайте посмотрим, как происхо-
дит движение спутника во вращающей-
ся системе отсчета, а именно в систе-
ме отсчета, связанной с Землей (рис. 3).
Из соображений симметрии ясно, что
когда спутник находится на продол-
жении одной из главных осей эква-
ториального эллипса (в точках А
или В), гравитационная сила ста-
Рис 3. Сечение Земли экваториальной пло-
скостью, перпендикулярной оси вращения
(южный полюс находится за плоскостью
рисунка). FT — сила, действующая иа спут-
ник вдоль касательной; А — положение устой-
чивого равновесия; В — положение неустой-
чивого равновесия. Пунктирной кривой по-
казана траектория колебаний 24-часового
спутника около положения устойчивого равно-
18 ПАРАДОКСЫ СПУТНИКОВ Л. БЛИТЦЕР
новится чисто радиальной. Следова-
тельно, в этих точках во вращающейся
системе отсчета спутник должен быть
в равновесии (висеть на месте). Во
всех же остальных точках спутник
будет испытывать притяжение, на-
правленное в сторону ближайшего
конца главной оси. Следовательно,
будет существовать тангенциальная
компонента силы FT, направленная
по касательной в сторону ближай-
шего конца главной оси (рис. 3).
На первый взгляд может показаться,
что спутник должен получать уско-
рение в направлении действия силы
FT, однако, согласно уравнению A2),
все происходит совершенно иначе.
В соответствии с разобранным- пара-
доксом спутник будет медленно пере-
мещаться в противоположном направ-
лении в сторону ближайшего поло-
жения равновесия А, расположенного
на малой оси. Поскольку спутник
обладает некоторым количеством дви-
жения, он пройдет немного дальше
точки А, после чего направление дей-
ствия силы изменится на противопо-
ложное и спутник начнет постепенно
двигаться в обратную сторону. Та-
ким образом, спутник будет совер-
шать колебания относительно поло-
жения равновесия А на малой оси.
В этом процессе потери энер-
гии не происходит. Траектория спут-
ника с периодом обращения 24 часа
изображена пунктиром на рисунке 3.
Период колебаний зависит от ампли-
туды, которая в свою очередь опре-
деляется начальными условиями.
VI. Увеличение длительности
земного месяца
Перейдем к третьей задаче, также
связанной с рассмотренным парадок-
сом. Астрономам давно известно, что
Луна постепенно удаляется от Земли,
в результате чего период ее обращения,
то есть наш земной месяц, все время
увеличивается. Одним из следствий
лунного притяжения являются про-
исходящие на Земле приливы. Если
бы вся Земля была покрыта океаном
и между массой воды и морским дном
Рис. 4. Приливные выступы на Земле. (Для
наглядности их размер сильно преувеличен.)
не было трения, то оба приливных
горба лежали бы на прямой, соединя-
ющей центры Луны и Земли (рис. 4).
Однако скорость вращения Земли
больше, чем угловая скорость дви-
жения Луны по орбите, поэтому при-
ливные горбы из-за трения между мор-
ским дном и водой вытягиваются впе-
ред по направлению вращения Земли.
Поверхность Земли и океанов, как
показано на рисунке 4, приобретает
форму эллипсоида, аналогичного эк-
ваториальному эллипсу предыдущей
задачи. Однако в этом случае водя-
ной горб на Земле лишь немного опе-
режает Луну. Горб, ближайший к
Луне, взаимодействует с ней сильнее,
чем более удаленный горб, поэтому
тангенциальная составляющая силы,
действующей на Луну, направлена в
ту сторону, в которую движется Луна.
Орбитальная энергия Луны при
этом возрастает, так как Fr > 0.
Призвав на помощь все тот же па-
радокс, сразу заключаем, что полу-
ось а лунной орбиты и период обра-
щения Луны вокруг Земли возраста-
ют. Иными словами, Луна постепен-
но удаляется от Земли, а продолжи-
тельность месяца увеличивается. В то
же время линейная и угловая скорости
Луны уменьшаются.
Полный момент количества дви-
жения системы должен сохраняться,
потому что дополнительное поступ-
ление энергии извне отсутствует. Раз
момент количества движения Луны
относительно центра Земли возра-
стает, момент количества движения
Земли относительно своей оси враще-
ния должен все время убывать и
день должен становиться длиннее.
19 ПАРАДОКСЫ СПУТНИКОВ Л. БЛИТЦЕР
