Решения задач Ф123—Ф128
В этом номере мы публикуем решения задач Ф123—Ф128
Ф123
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ : страница
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (6 июнь 1972)
На рисунке 10 показана часть схемы, состоящей ну неизвестных сопротивлений. Как,
имея амперметр, вольтметр, источник токе и соединительные провода, можно измерить
величину одного нч сопротивлений, и« разрывая mi одного контакта в схеме?
Приборы нужно подключить так, как показано на рисунке 10. б. Точки О, А н В при
таком подключении будут иметь однноконые потенциалы (сопротивление амперметра ма-
ло и падением напряжения на нем можно пренебречь). Следовательно, через сопротивле-
ния, включенные между точками О, А и В, ток идти не будет. Эго означает, что амперметр
покажет ток. идущий через сопротивление, включенное между точками О и С. Вольтметр
покажет падение напряжения на *том сопротивлении. Разделив показание вольтметра на
показание амперметра, найдем величину измеряемого сопротивления.
Ми получили несколько писем, и которых читатели предлагали другой подход к ре-
шению этой задачи. Всю остальную схему, не покачанную на рисунке, можно заменить
тремя «эквивалентными» сопротивлениям i. включенными между точками Л и В, В н С,
А н С. Величины этих сопротивлении неизвестны. Таким образом, наша цепь эквивалент-
на схеме с шестью исиаксстиычи сонротивлашячи: г,, rt. r3, ftj. R* н R3 (рис. 10. <*J.
Соединив источник и амперметр последовательно, включим их между точками Л и В. Ток /,
который покажет амперметр при таком включении, разделяется в точке А на токи, иду-
щие через сопротивления г,, /?, и R]t. Измерив с помощью вольтметра падения напряжения
на этих сопротивлениях, можно составить уравнение;
Так как тот же ток / равен сумме tokor, идущих через сопротивления Р3. гз м ^а> т°. измо-
рив падения напряжения на этих сопротивлениях, можно записать:
Точно так же можно составить еще четыре уравнения, включая источник и амперметр
41 ЗАДАЧНИК Кванта Решения задач Ф123—Ф128
между точками Л и С и между точками С и/i. Решнп затем систему in шести уравнсиип С
шестью неизвестными, можно наптн сопротивления г,. /¦, п гя.
Этот способ, конечно, нельзя считать удачным, тем более, что никому из читателей,
приславших нам такое решение, не удалось п общем впдо решить эту систему уравнении.
Не удалось решить ее и участникам заключительного тура Всесоюзной олимпиады, котс-
рым предлагалась эта задача.
Ф124
Свет от источника S па пути к экрану проходит через покоящийся стеклянный кубик
е ребром / (рис. 11). Насколько быстрее свет дойдет до экрана, сели кубик привести в д«л-
жеиие со скоростью о? Скорость света в воздухе с, показатель преломления стекла л (v с.
« I).
с
Скорость спета п стекле равна с’ *¦ . Свет проходит стеклянный кубик за время
I ~ * ——
Jn_
с
Кубик за это время переметнется пл расстояние х vl —,
это
I
—г
I
расстояние сокращается путь света в воз-
духе по сравнению с тем случаем, когда
кубик неподвижен. Значит, время, за ко-
торое спет доходит до экрана, сокра-
д; vln
#щастся на Л/ -тг- — —
^vjv^j | 1$; Некоторые читатели прислали бо-
лее строгое решение этой задачи, учи-
тывающее эффекты, связанные с тео-
рией относш елыюстн. Мы не будем
разбирать это решение подробно. З’амс-
Рис. 11. гнм только, что при учете «релятивистских
эффектов» скорость света в движущем-
ся с’ ; v (c-\- nv)c
ся стеклянном кубике нужно считать равной не с — —^-, Я с’ р^ = .
В то же время длина кубика в неподвижной системе координат равна не /, а
/’= / I/ 1 Л— . Поэтому нужно учитывать пе только уменьшение пути, проходимого
I с-
евстом в воздухе благодаря движению кубика, но п уменьшение пути, проходимого све-
том в стекле.
Ф125
В цилиндре с поршнем находится вода, внутри которой в начальный момент имеется
полость объема V. Давление газов в полости пренебрежимо мало. Поршень оказыпает на
поду постоянное давление р. Какую кинетическую энергию приобретает вода в момент,
когда полость нечевнет? Начальная скорость воды равна нулю. Силу тяжести можно не
учитывать.
Па поршень действует сила F — pS, где S — площадь поршня. Работа, совершенная
поршнем, равна произведению этой силы на перемещение поршня х. Но перемещение порш-
V
ня связано с изменением объема газа в цилиндре: х ~F~ • Поэтому
42
работа и равна изменению кинетической энергии воды. Такой же результат можно по-
лучить из’соображении размерности. Из двух величин р и V можно составить единствен-
ную комбинацию, имеющую размерность энергии pV.
Ф126
Оценить максимальную силу, которую будет показывать жннзмометр, присоединенным
к плоскостям, закрывающим «магдебургскне полушария» (полусферы) с радиусом R. По-
лусферы растягиваются в противоположные стороны силами F. Атмосферное данленге
равно 1 атм
Каждая из плоскостей находится п равновесии благодаря действию на пес трех сил:
силы 7″, действующей со стороны динамометра, силы Fo = ро5 атмосферного давления и
силы реакции полусферы (рнс. 12). Так как в тот .момент, когда плоскость отрывается от
42 ЗАДАЧНИК Кванта Решения задач Ф123—Ф128
полусферы, сила реакции полусферы
равна нулю, то 7″Мах = Fo — pS —
^26103
Ф127
В стакан с водой, вращающийся
покруг своей оси, бросают шарик, ко-
торый плавает на поверхности полы.
В каком месте поверхности будет нахо- рнс у±
диться шарик?
Так как шарик плавает на поверхности воды, то плотность материал?, шарика меньше
плотности воды: рщ <(>п.
Предположим, что шарик находится па расстоянии R ст оси вращающегося сосуда.
Если бы плотность шарика была раппа плотности воды pj,.. ом находился бы на неизмен-
ном расстоянии от оси вращения. Центростремительное ускорение такому шарику сооб-
щает равнодействующая силы тяжести и сил давления окружающей воды. Поскольку ша-
рнк движется по окружности радиуса R, то эта равнодействующая равна то>-# — о„ VwiR
(to — угловая скорость вращения сосуда. V — объем шарика).
На шарик плотности р,п, помещенный в ту же точку, со стороны окружающей воды
рв
Действует точно такая же сила. Эта сила сообщает шарику ускорение а = —— (•>*/?,
Рш
большее центростремительного ускорения, необходимою для вращения s*o окружности
радиуса R. Следовательно, шарик будет двигаться к оси вращения сосуда. Это означает,
что положение равновесия шарика находится на оси сосуда.
Ф128
Тонкую однородную палочку кладут так. что она опирается на две плоскости, накло-
ненные к горизонту под углами а. и [5. угол между плоскостями punoii 90 (рис. 13). Что
будет происходить с палочкой? Каким будет ее окончательное положение, если i рсиис .меж-
ду палочкой и плоскостями очень мало?
Пусть угол между палочкой и одной из плоскостей равен V- Соединим центр тяжести
палочки С с вершиной угла О и покажем, что длина отрезка СО не зависит от величины у.
Проведем CD_1_OB. Треугольник CDB
подобен треугольнику ОАВ. Поэтому
DB С В 1
О~п = ~гп — ~о~ — Это означает, что Dp
= OD. и треугольник 0CD равен треуголь-
нику CDB по двум катетам. Отсюда
следует, что отрезок ОС равен половине
длины палочки при любом угле \\ то есть
центр тяжести палочки С при ее движе-
нии описывает окружность. q
Тело находится в равнопеенн, если
его потенциальная энергия минимальна Рис. I’i.
или максимальна. Однако в положении
с минимальной потенциальной энергией равновесие устойчиво, а в положении с макси-
мальной энергией —неустойчиво. Поэтому палочка может находиться в устойчивом рав-
новесии только тогда, когда ока лежит на одной из плоскостей. Палочка Судет колебать-
ся, поочередно ударяясь о каждую плоскость и затем отскакивая от нее.
Из-за трения колебания будут затухать, и через достаточно большое время палочка
остановится у одной из плоскостей.
Интересно разобрать случай, когда трение vie мало. Попробуйте это сделать самостоя-
тельно, а мы рассмотрим такую задачу в одном из ближайших номеров журнала.
И. Ш. Слободецкий
43 ЗАДАЧНИК Кванта Решения задач Ф123—Ф128
