У. У. Сойер Прелюдня к математике
Рецензии, Библиография.
В этом номере публикуются фрагменты только то вышедшей из пе-
чати книги известного английского педагога и популяризатора математики
Уолтера Уорика Сойера *).
Страница переведена на новый сайт https://myeducation.su/ :
страница ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ Квант (1972)
Понятно, что исключительно трудно на достаточ-
но высоком и в то же время доступном для широкой аудитории уроеке по-
казать панораму и» важных разделов современной математики без при-
крвс, без туманностей и искажений.
У. У. Сойер — один из теж авторов, кому это удается. Он увлекатель-
но м со знанием депа рассказывает о некоторых особенностях творческой
деятельности профессионалов-математиков.
Надеемся, что чтение >той книги доставит вам удовольствие и позво-
лит заглянуть в мир математик* и математиков. Чтобы разобраться в про-
читанном, «достаточно самых смутных воспоминаний о школьной матема-
тике».
открытия имеют в своей осно-
ве очень простую идею. Учеб-
ники часто скрывают этот
факт. Они обычно содержат
громоздкие выводы н этим
создают впечатление, что
математики — это люди, ко-
торые всю жизнь просижи-
вают за письменными сто-
лами и переводят тонны
бумаги. Это чепуха. Многие
математики очень успешно
работают в ванной, в крова-
ти, ожидая поезда млн
катаясь на велосипеде (пред-
почтительно при слабом улич-
ном движении). Математи-
ческие вычисления произво-
дятся до нлн после открытия.
Само открытие возникает
из основных идей.
Немногие представляют се-
бе, как огромна сфера
действия современной ма-
тематики. Вероятно, было
бы легче овладеть всеми
существующими языками,
чем всеми математическими
знаниями, известными в
настоящее время. Мне ка-
жется, что вес языки можно
было бы выучить за одну
человеческую жизнь; а всю
математику. конечно, нет.
Открытия, которые дела-
ют математики, столь
разнообразны по своему
характеру, что однажды кто-
то, видимо, в отчаянии,
предложил определить ма-
тематику как «все, чем
занимаются математики».
Казалось, что только
такое широкое определение
ыожст охватить все, что
относится к математике.
Математики решают проб-
лемы, которые в прошлом
не считались математи-
ческими, и трудно предска-
зать, чем они еще будут
заниматься в будущем.
Точнее было бы опреде-
ление: «Математика — это
классификация всех воз-
можных задач и методов
их решения». Это определе-
ние, пожалуй, тоже рас-
плывчато, так как оно
охватывало бы длжс такие
рубрики, как газетные объя-
вления «Обращайтесь со
•) У. У. С о й е р, Пре-
людня к математике, М.,
«11росвещс иие». 1972.
52
всеми вашими сердечными
заботами к тете Минни»,
что мы никак не имеем в виду.
Для целей нашей книги
достаточно было бы опре-
деления: «Математика —
это классификация н изу-
чение всех возможных за-
кономерностей». Слово «за-
кономерность» здесь исполь-
зуется в таком смысле,
с которым многие могут
не согласиться; а именно
в самом широком смысле,
как название любого рода
закономерностей, которые мо-
гут быть познаны умом.
Жизнь, особенно интеллек-
туальная жизнь, возможна
лишь потому, что в мире
существуют определенные
закономерности.
Любая математическая
теория должна непременно
сочетать в себе мощь метода,
обусловливающую возмож-
ность применений к есте-
ственным наукам и красоту,
52 У. У. Сойер Прелюдня к математике.
стройность. столь привле-
кательную для ума. Нам
кажется, что наше определе-
ние математики удовлетво-
ряет обоим этим требовани-
ям. Вся наука зиждется
на закономерностях, имею-
щихся в природе; для
практики важна класси-
фикация этих закономер-
ностей. С другой стороны,
ум должен получать удо-
вольствие при изучении
и познании закономерностей,
поскольку необходимость
и желание всегда сиязаны
в природе. Если следование
законам природы харак-
терно как для человека,
так н для животных, то
естественно ожидать, что
подчинение закономерностям
доставляет удовольствие та-
кое же, как удовлетворение
любой другой человеческой
потребности.
Интересно заметить, что
«чистые» математики, дви-
жимые только чувством
стройности и математиче-
ской формы, часто прихо-
дили к выводам, которые
о дальнейшем оказывались
чрезвычайно важными для
науки. Греки изучали
свойства эллипса более чем
за тысячу лет до того, как
Кеплер использовал их идею
для определения траекторий
планет. Математический
аппарат теории относитель-
ности был создан за трнд-
цать-пятьдесят лет до того,
как Эйнштейн нашел для
пего применение в физике.
Подобных примеров можно
было бы npiiDeCTH много.
С другой стороны, много
стройных теорий и проблем,
которые любой «чистый»
математик прнчнелит к ма-
тематике, возникли в связи
с физикой.
Практики, как правило,
не имеют представления
о математике как способе
классификации всех проб-
лем. Обычно они стремятся
изучать только тс разделы
математики, которые уже
оказались полезными для
их специальности. Поэтому
они совершенно беспомощ-
ны перед новыми задачами.
Вот тогда-то они и обраща-
ются за помощью к мате-
матикам. (Это разделение
труда между инженерами
и математиками, вероятно,
оправдано; жизнь слишком
коротка для того, чтобы
одновременно изучать и
абстрактную теорию и ин-
женерное дело.) Встреча
математика и инженера обыч-
но очень забавна. Инженер,
ежедневно имея дело с
машинами, настолько при-
выкает к ним, что не может
понять чувств человека,
видящего машину впервые.
Он забрасывает своего
консультанта-математика ог-
ромным количеством под-
робностей, которые для
того ровным счетом ничего
не значат. Через некоторое
время инженер приходит
к выводу, что математик —
абсолютный невежда и что
ему нужно объяснять про-
стейшие вещи, как ребенку
или Сократу. Но как только
математик поймет, что
делает машина или что от
нее требуется, он переводит
задачу на язык математи-
ческих терминов. После
этого он может заявить
инженеру одно их трех:
1) что задача известна
и уже решена;
2) что это новая задача,
которую он может попы-
таться’ решить;
3) что это одна нз тех
задач, которую математики
безуспешно пытались ре-
шить, и что еще могут
пройти века, прежде чем
будет сделан хотя бы шаг
к ее решению, и что поэтому
инженеру придется решать
ее эмпирически.
Но не всегда практиче-
скую задачу удастся отнес-
ти к какому-либо матема-
тическому типу. Иногда
возникают задачи, совер-
шенно не похожие на уже
встречавшиеся. Ключ к* их
решению может быть найден
совершенно случайно. Они
даже могут напомнить
какую-нибудь задачку, ре-
шенную на досуге. В по-
добном случае такая задача
может лечь в основу новой
крупной теории. Впрочем,
эта доктрина, как и все
доктрины, может привести
к заблуждениям. Человек
может потратить всю свою
жизнь на решение пустяко-
вых задач, теша себя
надеждой, что они, возмож-
но, станут началом но-
вых областей математи-
ки. И так, конечно, может
случиться; все зависит от
умения определить, что
может оказаться важным,
и нет правила, которое
позволило бы судить о
правильности выбора. Лю-
бой математик согласится,
что существуют теории,
которые до сих пор не нашли
практическою применения,
но чувствуется, что они
являются очень важной
частью математики. Когда-
нибудь эти теории,«подобно
эллипсу*, найдут своего
Кеплера н, «подобно тензор-
ному анализу», своего Эйн-
штейна. Но во всяком
случае, ими подготовлен
мощный аппарат для реше-
ния определенного класса
задач, если возникнет такая
необходимость.
«Чистый математик» чи-
тает эту книгу со все воз-
растающим недовольством.
Даже если предположить,
что у него хватило терпе-
ния дочитать до сих пор, он.
наверное, говорит: «Вы рас-
сматриваете математику как
нечто приносящее практи-
53 У. У. Сойер Прелюдня к математике.
ческую пользу. Но мате-
матика не прикладная
наука, она важна сама по
себе. Важна не полезность
математики, а ее стройность.
Прикладная, математика —
это самая скучная часть
математики. Посмотрите-ка
на людей, работающих над
теорией чкесл, не имеющей
никакого практического
применения, — вы предло-
жили бы им заниматься
бухгалтерией?».
Для всех математиков
характер на дерзость ума.
Математик не любнт, когда
ему о чем-нибудь рассказы-
вают, он сам хочет дойти
до всего. Конечно, зрелый
математик, узнав о каком-
нибудь великом открытли,
поинтересуется, в чем оно
состоит, и не станет терять
время на то, чтобы откры-
вать уже открытое. Но
я имею в виду юных ма-
тематиков, у которых дер-
зость ума проявляется
особенно сильно. Если
вы, например, преподаете
геометрию девяти — деся-
тилетним ребятам и рас-
сказываете им, что никто
еще не смог разделить угол
на три равные части при
помощи линейки н циркуля,
вы непременно увидите, что
однн-два мальчика останутся
после уроков и будут
пытаться найти решение.
То обстоятельство. что
в течение двух тьхяч лет
никто не решил эту задачу,
не помешает им надеяться,
что они смогут это сделать
в течение часового переры-
ва на обед. Это, конечно,
не очень скромно, по и
не свидетельствует об их
самонадеянности. Они про-
стро готовы принять любой
вызов. А ведь в действитель-
ности уже доказано, что
невозможно разделить угол
на три равные части прн
помощи лннейкн н цир-
куля. Их попытка найти
решение — того же рода,
что попытка представить
У$ в виде рациональной
дроби.
Хороший ученик всегда
старается забежать вперед.
Если вы ему объясните,
как решать квадратное
уравнение дополнением до
полного квадрата, он непре-
менно захочет узнать, мож-
но ли решить кубическое
уравнение дополнением до
полного куба. Остальные
ученики класса не задают
подобных вопросов. С них
хватит и квадратных урав-
нений, они не ищут до-
полнительных трудностей.
Вот это желание иссле-
довать является второй
отличительной чертой ма-
тематика. Это одна из
сил, содействующих росту
математика. Математик
получает удовольствие от
знаний, которыми уже ов-
ладел, и всегда стремится
к новым знаниям.
Я уже говорил об инте-
ресе к закономерностям —
третьем необходимом ка-
честве математика. Уже
в самом начале арифметики
встречаются закономерности.
Например, из четырех оди-
наковых камней можно
сложить квадрат, а из
пяти — нельзя. Математи-
ческие, как и музыкальные,
способности проявляются
очень рано, с четырех лет,
а иногда н раньше. Один
малыш однажды сказал мне:
«Мне нравится слово Sep-
tember (сентябрь), ведь по-
лучается sEptEmbEr». Сам
я никогда не замечал зако-
номерного чередования глас-
ных и согласных в этом
слове. Оно действительно
совершенно симметрично.
Такому ребенку, конечно,
понравится арифметика.
Даже в начальной школе
мо>)?но развить навык наб-
людения за -математиче-
скими закономерностями.
Большая часть ранних
работ Гаусса явилась
следствием его привычки
делать вычисления и анали-
зировать полученные ре-
зультаты. Эрмит, один
из крупнейших француз-
ских математиков, также
подчеркивал, как часто
наблюдательность ведет к
математическим открытиям.
Правда, одной наблюда-
тельности мало, чтобы стать
великий математиком.
Так же как умение
замечать арифметические за-
кономерности помогает
школьнику решать .ариф-
метические примеры, умение
наблюдать закономерности
в алгебре помогает избе-
гать ошибок или обнару-
живать описки.
Иногда, рассматривая ка-
кое-нибудь произведение
искусства, мы восхищаемся
его красотой н чувствуем
его значительность, ио
не можем сказать, в чем
они состоят. Лучше н не
пытаться это делать. Один
поэт протестовал против
варварского обычая застав-
лять детей пересказывать
стихи своими словами.
Он говорил, что единствен-
ный способ объяснить со-
держание стихотворения —
это написать лучшее сти-
хотворение. А от детей,
этого, конечно, требовать
нельзя.
Но в математике, как
правило, бывает иначе.
Если нам встречается
закономерность, иы обя-
зательно спрашиваем: «По-
чему она встречается? Что
она означает?». И мы обыч-
но можем найти ответы на
эти вопросы. Итак, всякий
раз, когда появляется
закономерность, математик
чувствует, что он обязан
узнать, почему она появ-
ляется.
Чем шире круг вопросов,
к которым применим какой-
нибудь общий принцип,
тем чаще он нам поможет
выпутаться нз затруднений.
Пуанкаре говорил: «Пред-
положим, я занялся слож-
ным вычислением и с боль-
шим трудом, наконец,
получил результат; но все
мои усилия окажутся
напрасными, если они не
помогут предвидеть резуль-
тат в других аналогичных вы-
числениях, если они мне не
дадут возможность проводить
их с уверенностью, избегая
тех ошибок и заблуждений,
с которыми я должен
54 У. У. Сойер Прелюдня к математике.
был мириться в первый
раз».
После обобщения резуль-
тат становится более по-
лезным. Вас, возможно,
удивит, что обобщение поч-
ти всегда также упрощает
результат. Более общий
вывод легче воспринять,
чем менее общий.
Иллюстрацией может по-
служить следующая три-
виальная ‘ задача. «В одном
стакане десять ложек
воды, в другом — десять
ложек вина. Ложку воды
из первого стакана пере-
ливают во второй. Смесь
энергично взбалтывается,
.-ате.м ложку полученной
смеси переливают в первый
стакан. Спрашивается, чего
будет больше: вина в пер-
вом стакане или воды во
втором?».
Очевидно, для того
чтобы ответить на этот
вопрос, можно проделать
следующее вычисление. Пос-
ле того как ложку воды
перелили во второй стакан,
там стало 10 ложек вика
и I ложка воды, то есть
всего 11 ложек жидкости.
Таким образом, одна ложка
10
смеси содержит ту ложки
вииа н — ложки воды.
Переливаем одну ложку
смеси в первый стакан:
в нем теперь оказывается
воды 9—. а внна — лож-
кк, во втором стакане
10
останется — ложки воды и
1 »
9— ложки внна. Итак,
мы видим, что количество
вина в первом стакане
в точности равно количест-
ву воды во втором стакане.
Этот результат может
показаться случайным, но
если вы измените условия
задачи, вы убедитесь,
что всегда будут получаться
одинаковые количества. Если
дано х ложек воды и х ло-
жек вина, то количество
вина, которое попадет в
первый стакан, неизменно
будет оказываться равным
количеству воды, попавше-
му во второй. Даже если
начать с неравных количеств
жидкости в стаканах,
например, с х ложек воды
и у ложек вина, и затем
проделать все процедуры,
как в первоначальной
задаче, то в конце концов
дмна в первом стакане
будет столько же, сколько
воды во втором.
Это хороший пример
математической безвкуси-
цы. При четком и хорошем
математическом доказа-
математическом доказательстве результат не
появляется неожиданно
в последней строчке, его
логическая неизбежность
должна быть видна на
протяжении всего хода
доказательства.
Приведенная выше три-
виальная задача исполь-
зует своего рода маскиров-
ку. В ней даются не-
нужные сведения, отвлека-
ющие наше внимание от
существа задачи. Лишним
условием является пред-
ложение: «Смесь энергич-
но взбалтывается». На са-
мом деле существенно лишь
то, что мы переливаем
ложку жидкости из первого
стакана во второй, а затем
ложку смеси из второго
стакана в первый. Совер-
шенно не важно, какую
жидкость переливают, важ-
но лишь, что в конце
концов оба стакана содер-
жат такое же количество
жидкости, как и в самом
начале. А если это дей-
ствительно так, то в первый
стакан влили ровно столько
вина. сколько нужно,
чтобы заместить взятую
оттуда воду. Конечно же,
вода взятая из первого
стакана, обнаружится во
втором. Количества жид-
кости должны быть равны,
и ни дроби, ни алгебре
здесь ни при чем.
В общем виде эта задача
выглядит так: имеется
стакан воды и стакан вина,
мы производим ряд опера-
ций с этими жидкостями,
так что в итоге количество
жидкости в каждом стакане
равно первоначальному, тог-
да количество воды, по-
павшее в вино, должно
равняться количеству вииа
в воде.
Это настолько очевидно,
что едва ли стоит об этом
говорить. Общий вил задачи
гораздо проще, чем про-
деланные ранее вычисления.
Область применения задачи
в общем виде гораздо
шире. Вы можете пе[ еливать
ложки жидкости из одного
стакана в другой и обратно
сколько угодно раз, и все
же общин принцип оста-
нется неизменным.
Таким образом, исследо-
вание задачи состоит в том.
чтобы отбросить все лишние
данные и оставить только
существенно необходимые
условия. Чем меньше
данных, тем легче найти
решение. Общая теорема
редко содержит что-нибудь
запутанное: ее цель —
обратить ваше внимание на
i)tucmettme.ibHO важные фак-
ты.
В элементарной матема-
тике мы встречаем смесь
всяких важных деталей.
В высшей математике мы
пытаемся разделить различ-
ные элементы и изучить
каждый в отдельности.
В этом смысле высшая
математика. пожалуй, го-
раздо проще, чем элемен-
тарная.
55 У. У. Сойер Прелюдня к математике.
Но нельзя судить о важ-
ности какого-либо мате-
матического исследования
по отдельным частным
задачам. Примером тому
может служить топология.
Топологию иногда называют
(резиновой геометрией»—
геометрией фигур, нари-
сованных иа растягиваю-
щемся листе. В некотором
смысле это так — она дей-
ствительно рассматривает
свойства таких фигур. Но
ее значение связано с тем,
что на эластичном листе
нет постоянной длины.
Там не может быть теорем,
подобных теореме Пифагора.
Можно лишь делать выводы
типа: «»та кривая непре-
рывна, а та — разделена
на две отдельные частн>.
Непрерывность — это ос-
новное свойство, изучаемое
топологией. В ней говорится
о таких свойствах, которые
сохраняются при непрерыв-
ных преобразованиях. Так
как существует очень много
вещей, допускающих такого
рода преобразования, топо-
логия охватывает широкий
круг вопросов. Она все
больше привлекает как
чистых математиков, так
и инженеров; с се помощью
можно доказать ряд удиви-
тельных результатов.» Она
сочетает в себе наивысшую
степень обобщения с мак-
симальной простотой.
Вге. о чем мы говорили
выше, имело целью расши-
рить область вопросов,
подвластных математике.
Исследование. открытие
закономерностей. объясне-
ние смысла каждой зако-
номерности, изобретение
новых закономерностей по
образцу уже известных—
все эгн виды деятельности
расширяют область дейст-
вия математики. С прак-
тической точки .фения
становится исключительно
трудным следить за всеми
полученными результатами,
и нельзя сказать, чтобы
нагромождение не связан-
ных между собой теорем
представляло отрадное зре-
лище. Будучи и деловыми
людьми и художниками
одновременно, .математики
чувствуют потребность соб-
рать все эти разрозненные
результаты.
Не удивительно, что вся
история математики состоит
из чередующихся процес-
сов «расширений» и *сокра-
щений». Например, внима-
ние математиков привлека-
ет какая-нибудь задача,
пишутся сотни статей,
каждая из которых осве-
щает лишь одну сторону
истины. Вопрос разрастает-
ся. Затем какой-нибудь
гений, опираясь на все
данные, собранные с таким
трудом, заявляет: «Все, что
мы знаем, станет почти
очевидным, если посмот-
реть на это вот с такой
точки зрения». После этого
никому, кроме историков
математики, нет уже необ-
ходимости изучать сотни
отдельных статен. Разроз-
ненное выводы объединяют-
ся в одну простую доктри-
ну, важные факты отде-
ляются от шелухи, и пря-
мой путь к желаемому выво-
ду открыт для всех. Объем
сведений, которые нужно
изучать, сократился. Но это
еще не конец. После того
как новый метод стал все-
общим достоянием, возни-
кают новые вопросы, д»я
решения которых он недо-
статочен, и снова начина-
ются поиски ответов, снова
пубтикуюлся статьи, снова
наминается процесс «рас-
ширения».
Если бы можно Сыло свес-
ти все знания к двум общим
ааконам, математик не был бы
удовлетворен. Он не успокс-
ился бы до тех пор, пока не
доказал бы, что оба эти зако-
на основываются на одном
принципе. Но и тогда он не
был бы счастлив, наоборот, он
стал бы несчастным, так как
ему нечего было бы делать.
Но перспектива такого
застоя совершенно неве-
роятна. Жизнь такова, что
решение одной проблемы
всегда создаст новую проб-
лему; иначе жизнь была
бы невыносима. Всегда
есть и всегда будет материал
для изучения н трудности,
которые нужно преодоле-
вать.
И так будет всегда.
И если бы оказалось,
что вся существующая
математика рассматривает
только явления со свойст-
вами А, В и С, математики
немедленно спросили бы:
«А что случится, если
какой-нибудь предмет будет
обладать только одним из
них?». И они снова погру-
зились бы в работу.
Дапдйте на минуту пос-
мотрим ь,1 различны:
закономерности с утили-
тарной точки зрения, я имен-
но, с позиции человека,
которому просто нужно сдать
экзамен. Самый важный
вопрос для экзаменующе-
гося — это характер экза-
менатора: что его интере-
сует? Какие качества эк-
заменуемого ом пытается
проверить?
/Многих экзаменаторов ин-
тересует только способность
учащихся производить шаб-
лонные операции: .шлет
ли он таблицу умножения?
Умеет ли пользоваться
логарифмами? Умеет ли при-
менять сотни лругнх обыч-
ных приемов? Несомненно,
что проверять знание
учащимся обычных опера-
ций необходимо. По еще с
детства я считаю подобные
проверки самими скучными.
56 У. У. Сойер Прелюдня к математике.
самыми тупыми экзаменами.
И однако нх очень любят
посредственные учителя, ко-
торые считают, что их
задача сводится просто
к тому, чтобы натаскать
класс на упражнениях
сот сих до сих».
Другие экзаменаторы
стараются поощрять нни-
циатнвных учеников, пы-
тающихся воспринять не
только факты, но и вкус
к предмету. Эти экзамена-
торы хотят проверить
предприимчивость, вообра-
жение н инициативу учащих-
ся, поэтому онн выискивают
задачи, с помощью которых
можно было бы проверить
эти качества.
Некоторые учителя счи-
тают, что учеников нельзя
подготовить к подобным
непредсказуемым экзаменам.
Но это неверно. Конечно,
нельзя, например, предска-
зать ход сражения. Но
разве поэтому невозможно
готовить военные кадры?
Обучение офицеров лишь
частично основывается (или
должно основываться) на
общих принципах, харак-
терных для всех сражений;
другой частью должно
служить развитие нх соб-
ственной инициативы. С
этой целью будущий офицер
на занятиях оказывается
в целом ряде сложных
непредвиденных ситуаций,
где он должен проявить
находчивость и инициативу.
Точно такой же подход
возможен к мирному обу-
чению математике. Есть
много общего между экза-
меном и сражением.
Экзаменационный билет
может содержать как рядо-
вую задачу, так и проблем-
ный вопрос, требующий
сообразительности. Откуда
знать студенту, какого
рода задача перед ним?
Ведь задачи не всегда раз-
личаются по внешнему виду.
В задачах, которые
ставит перед нами жизнь,
экзаменатором является
сама природа. И здесь
опять чрезвычайно важно
уметь определить, требует
ли данная частная задача
шаблонного подхода или
она обладает каким-нибудь
особым свойством, которое
дает возможность найти
более простое решение.
Рассмотрим один пример,
иллюстрирующий одно из
очень важных применений
перевода, а именно представ-
ление задачи в такой форме,
когда ответ можно видеть
с первого взгляда. Такой
перевод не меняв! сущности
задачи; если подходить с чис-
то математической точки зре-
ния, можно сказать, что ои
вообще ничего не меняет.
Но для нас перевод этот
очень ценен, потому что он
превращает незнакомое в зна-
комое.
Примером такого перевода
является графическое пред-
ставление функции. График
легче понять с первого взгля-
да. Здесь мы производим
перевод из алгебры в геомет-
рию. Очень часто приходит-
ся делать обратный перевод—
из геометрии в алгебру: ряд
примеров такого типа вы
найдете в этой книге. Можно
также переводить одну гео-
метрическую задачу в дру-
гую, но так, чтобы неизвест-
ный тип задачи был пере-
веден в известный.
Рассмотрим задачу с шах-
матным конем. Конь стоит
в центре квадратной доскн
из 25 полей. Конь должен
двигаться так, чтобы побы-
вать в каждой клетке один
н только один раз.
Размышляя над этой зада-
чей, я нахожу довольно труд-
ным отчетливо представить
себе в уме, попадает ли наш
коиь в затруднительное по-
ложение, скажем, после дю-
жины ходов; глядя на клетки,
на которых конь еще не был,
я не могу сказать, соединя! ¦
ся ли онн в простую цепь
ходов. Нельзя ли несколько
преобразовать нашу задачу,
с тем, чтобы было яснее,
что мы делаем? С точки зре-
ния коня клетки 2 и 13 яв-
ляются соседними: он может
попасть из клетки 13 в клетку
2 за один ход; но, скажем,
клетки 12 и 13 соседними
не являются, так как конь
не может перейти нз одной
в другую за один ход.
Поэтому, если нас интере-
сует только задача о ходе
конем, мы можем совершенно
забыть о действительной фор-
ме шахматной доскн; для
решения этой задачи доста-
точно нарисовать диаграм-
му нз 25 клеточек и размес-
тить их таким образом, чтобы
поле 2 находилось рядом
с полем 13, а поле 12 дальше
от него. (В самом деле, конь
должен сделать три хода,
прежде чем он попадет из
13 в 12.)
1
в
11
16
21
2
7
12
17
22
3
8
13
18
23
4
9
14
19
24
б
10
16
20
25
Нарисовать такую диа-
грамму не такое уж простое
дело, как это кажется на
первый взгляд. Нужно про-
явить достаточно вниматель-
ности, чтобы не получилась
слишком запутанная сеть ли-
ний. Главный принцип, ко-
торого я придерживался, —
это соблюдение симметрии.
Клетка 13 должна быть по-
мещена в центре, а остальные
— вокруг нее, но так, чтобы
сохранить симметрию шах-
матной доски.
Теперь очень легко
выбрать маршрут коня. Он
может, например, отправить-
ся нз 13 в 10, затем пройти
по «внутреннему Kf-vry» A9,
22. II. 2, 9, 20. 23, 16, 7,
4. 15. 24. 17, 6, 3) и перейти
на «внешний круг» A2, 21,
18, 25, 14, 5, 6. 1).
Нам не нужно вдаваться
в теорию ходов шахматного
коня. Пример выбран не по-
тому, что данная задача важ-
на, а затем, чтобы показать,
как умение наглядно пред-
ставить себе суть задачи
упрощает отыскание реше-
ния.
57 У. У. Сойер Прелюдня к математике.
