Home » Физика в школе » Архимед (стр. 25-27)

Архимед (стр. 25-27)

Архимед (стр. 25-27)

Главная страница Архимед

изводство счёта по разрядам и порядкам (классам) —уже
заложена в этом произведении.
Указав этот способ счёта и опираясь затем на сообщения
Аристарха о размерах вселенной, а также на свои
собственные соображения , по этому вопросу и по вопросу
о размерах песчинки, Архимед приходит к заключению,
что число песчинок, которые могли бы заполнить вселенную,
не превышает тысячи мириад «восьмых» чисел, т, е.
числа 103 • 101 • 107,8 = 1063.
Эту свою работу Архимед заканчивает следующими
словами; «Я предполагаю, царь Гелон, что эти вещи множеству
людей, не занимавшихся математикой, покажутся
невероятными; но тем, кто в этрм кое-что понимает и
кто проследит изложенные соображения о расстояниях
и величинах Земли, Солнца, Луны и всей вселенной,
в силу доказательства убедятся в справедливости этого».
Работа Архимеда об исчислении песка при всём принципиальном
её значении t не получила широкого -применения,
потому что лозже, к тому времени, когда задачи
сложного счёта стали насущными, в математику, в частности,
в арифметику, проникли способы арабско-индусского
счисления, которым пользуются с шестнадцатого
столетия; онр имеет несомненное преимущество, особенно
в письменном Счёте. Но чётко выраженный замысел двойного
счёта принадлежит Архимеду и, вероятно, был им глубже
разработан в недошедшем до нас произведении « ’Apyai».
Вычислительная математика, которой Евклид совершенно
пренебрегал, становится для Архимеда, можно сказать,
главным предметом разработки, и в виде ряда частных,
глубоких и трудных задач разрешается им при помощи
методов, которые сохранили руководящее значение до
настоящего времени. Ближайшее применение эти вычисления
получили в замечательной работе Архимеда «Измерение
круга».
В XII книге «Начал» Евклид устанавливает (предложение
2), что площади кругов относятся-между собой как квадраты’
их диаметров *). Это эквивалентно тому, что отношение
площади круга к квадрату диаметра есть число по-
*) По терминологии Евклида как квадраты, построенные
на их диаметрах.

стр. 25

стояяное. Уже задолго до Евклида бело известно,
что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника,
один из катетов которого равен длине окружности,
а другой — радиусу круга. В связи с этим было
ясно, что отношение длины окружности к диаметру имеет
тоже постоянное отношение; его теперь обозначают греческой
буквой w. Любопытно, что Евклид, заканчивая
в VI книге планиметрию, ничего о длине окружности и
площади круга не говорит. Это настолько странно, что
некоторые авторы высказывалшдаже предположение, будто
утеряна часть «Начал», которая была Посвящена учению
о длине окружности и площади круга. Между тем, располагать
значением Числа, выражающего отношение длины
окружности к длине диаметра, было совершенно необходимо
в элементарной практике при изготовлении различных
круглых предметов — диска, круглого блюда, при
сооружении круглых колонн, которые так часто встре-
. чаются в греческой архитектуре, и т. д. Значение этого
отношения пытались приближённо установить ещё в глубокой
древности , повидимому, исключительно эмпирически;
чаще всего его принимали равным трём. Сведения об этом
мы находим в знаменитом папирусе Ринда (учебник Ах-
меса), в библии, в древнеиндийских и древнекитайских
памятниках. Примерно с V столетия до н. э. возникают
попытки установить это число на основании теоретических
соображений. Вопрос этот сплетается со знаменитой
задачей о квадратуре круга. Как рассказывает Плутарх,
математик и философ Анаксагор занимался этим во время
тюремного заключения, Знаменитый греческий ПйсаТель
Аристофан в конце V столетия в одной из своих комедий
уже подтрунивает над людьми, занимающимися этими
задачами.:
Архимед первый поставил задачу об намерении длины
окружности с полной точностью. Он задаётся целью не
только найти приближённое значение отношения окружности
к диаметру, но и установить пределы дбПускаёмой
при этом ошибки. Этому и поСВяЩена небольшая, но очень
важная работа «Измерение круга», о которой мы уяоми*
нали ранее.
Не приходится долгоостанавливаться на методе, которым
Архимед пользуется для решения этой задачи: его знают

стр. 26

все, кт» учился геометрии в школе. Длина окружности
содержится между периметрами вписанного и ойнсанного
многоугольников с одинаковым числом сторон *). Удваивая
ЧИСЛО сторон этих многоугольников, мы неограниченно
приближаемся к длине окружности. Начиная с шестиугольников,
Архимед с необычайным искусством доводит
вычисление до 96-угольников.; пользуясь указанным выше
(стр. 23) приближённым значением числа Y 3 , он обнаруживает,
что периметр правильного 96-угольника, вписанного
в окружность диаметра 1, больше, чем 3 -^ -, а
периметр правильного описанного 96-утольника меньше,
чем 3 Принимая верхнюю из этих границ в качестве приближённого
значения длины окружности, получим так назы-
ваемое архимедово значение г = -у- , которое, будучи
выражено десятичной дробью, даёт приближение с точностью
до 0,01 (3,14).
Мы обычно недооцениваем того, к чему привыкли,
что хорошо усвоено, — недооцениваем трудности задачи,
гения изобретателя. Но если , учесть, что и в настоящее
время, через две тысячи лет после Архимеда. его метод
. излагается в школьных учебниках, что до позднего периода
эпохи Возрождения не существовало приближённого
значения п, которое существенно бы отличалось от архимедова
числа, что и в’ настоящее время в подавляющем
— большинстве случаев на практике пользуются архимедовым
числом для вычисления длины окружности, площади круга,
объёма шара, то огромное значение этого великого откры-
тия станет совершенно ясным.
Но ценность и значение метода, которым пользуется
Архимед в этой работе, уяснится ещё лучше, если примем
во внимание, что в указанной работе («Измерение круга»)
он получает применение только в простейшем виде, что
здесь осуществляется только первая, наиболее простая
форма так называемого мето да исчерпывания, который
служит прообразом интегрального исчисления.
*) Архимед установил специальную аксиому,нз которой это
вытекает.

стр. 27

Статистика


Яндекс.Метрика