§ 11. Гидро- и аэродинамика.
Страницы переведены на новый сайт:
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ
https://myeducation.su/sbornik-zadach-po-elementarnoj-fizike/
В стенке сосуда с водой просверлены одно над
другим два отверстия площадью S=0,2 см2 каждое. Расстояние
между отверстиями /7=50 см. В сосуд ежесекундно
вливается Q = 140 см® воды. Найти точку пересечения струй,
вытекающих из отверстий.
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ.
Свойства пара.
285. На гладкой поверхности стола стоит широкий сосуд
с водой. Уровень воды в сосуде h, вес сосуда вместе с водой
Q. В .боковой стенке сосуда у дна имеется закрытое пробкой
отверстие (с закругленными краями) площади S. При
61 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Гидро- и аэродинамика.
каком значении коэффициента трения между дном и поверхностью
стола сосуд придет в движение, если вынуть пробку?
286. При истечении струи жидкости из сосуда через отверстие
площадью 50 сила, действующая на стенку с отверстием,
на 2pS0 меньше силы,
действующей на противоположную
стенку (см. задачу 285).
Если в отверстие вставить трубку,
как показано на рис. 119,
то разность сил, действующих
на противоположные стенки,
станет равной примерно pS0, так
как благодаря трубке движения
жидкости у стенки не будет.
С другой стороны, изменение количества движения жидкости
за единицу времени при истечении из сосуда всегда
равно 2pS, где S — нлощадь поперечного сечения струн.
Как согласовать между собой эти факты?
287. Струя воды, вытекающая из трубки диаметром
d—l см со скоростьюо=1 м/с, ударяется о вертикальную
стенку. Определить действующую на стенку силу, ечитая,
что трубка перпендикулярна стенке, н пренебрегая разбрызгиванием
воды.
288. По изогнутой иод прямым углом трубе поперечного
сечения S со скоростью © течет газ. Плотность газа р.
С какой силой газ действует на трубу? Сжатием газа и тре-.
ниш пренебречь,
289. Найти силу, действующую на ловасть дажнебой-
ного колеса (рис. 120), считая, что струя после удара о л о пасть
продолжает движение со скоростью лопасти. Высота
62 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Гидро- и аэродинамика.
I. Судно получило большую пробоину в подводной
(рис. 121). В какую сторону оно начнет перемещаться
этого?
■ 201. Из широкого сосуда через узкую трубку вытекает
цепкость (рис. 122). Как распределены по вертикали дав-
лнме я скорость жидкости в сосуде
я трубке?
V 292. Сосуд е водой, описанный в
яредыдущей задаче, подвешен на пру-
жшгонх весах. Нижний конец трубки
эдерьгг пробкой. Как изменятся по-
жазання весов в первый момент, когда
вынута пробка и началось вытека-
«иржвдкости?
— Ш г ( 6 одной из чашек весов стоят
сосуд с водой (рис. 123). Весы
уравновешены. Изменится ли равновесие,
если открыть кран? (Вытекающая вода попадает на
ту же чашку весов, на которой стоит сосуд.)
‘ 294. На рис. 124 изображен гидравлический таран —
самодействующее водоподъемное устройство. Принцип его
работы основан на явлении гидравлического удара — рез-
возрастании давления
Рис. 122.
Тк жидкости, текущей по
трубе, при ее внезапной
остановке, например при
закрытии клапана, выпускающего
из трубы воду.
Труба длиной 7=2 м,
Рис. 123.
диаметром 7=20 см опущена в ручей, скорость течения воды
в котором 0=400 см/с. Пусть вначале клапан Кг открыт,
a Ki закрыт. Резкое увеличение давления заставляет клапан
Kt открыться (клапан /Сгпри этом закрывается), и вода
устремляется вверх в сосуд Л, Давление падает, клапан
63 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Гидро- и аэродинамика.
Ki закрывается, а Я 8 открывается. Вода в трубе приходит
в движение, и явление повторяется в прежней последовательности.
Определить количество воды, поднимаемое тара-
ном за час на высоту /г=30 м, если известно, что каждый
клапан открывается 30 раз в минуту.
295. Во время бурь, когда скорость ветра достигает
значительной величины, ветер срывает крыши построек.
Наблюдаются два вида срыва крыш: 1) Если крыша прочнее
укреплена в точках А и В, чем в коньке С, то воздушный
поток как бы раскрывает крышу, ломая ее по линии конька
(рис. 125, а). 2) Если крыша прочно укреплена в коньке
и менее прочно в точках Л и В, то воздушный поток сначала
приподнимает крышу-вверх, а потом уже относит всторону
(рис. 125,J5). Как объяснить эти явления?
296. Почему легкий целлулоидный шарик, помещенный
в старую воздуха или воды, вытекающую с большой скоростью
из трубки с узким отверстием,будет свободно парить в этой
струе (рис. 126)? . ^ !-
297. Демонстрационный прибор, изображенный на рис.
127, состоит из двух дисков Л и В. В центре диска Л имеется,
отверстие, соединенное трубкой с баллоном сжатого воздуха.
Диск В висит на трех стерженьках, вдоль которых он
может свободно перемещаться по вертикали. Если по трубке
пропустить струю сжатого воздуха, то нижний диск начнет
стучать по верхнему. Объяснить причину этого явления.
298. В дне широкого сосуда имеется узкая труба, по которой
вода, заполняющая сосуд, может из него вытекать
64 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Гидро- и аэродинамика.
(рис. 128). Метлу сосудом и трубой помещена сетка. Если
легкий шарик погрузить на дно сосуда в момент, когда вода
из него вытекает, то шарик не всплывет. Если вытекание
воды из трубы прекратить, шарик немедленно всплывает.
Почему? (Этот опыт легко проделать в водопроводной раковине
с мячиком от настольного тенниса.) •
299. Насос представляет собой расположенный горизонтально
цилиндр с поршнем площади S и выходным отверстием
площади s, расположенным у оси цилиндра. Определить
скорость истечения струи из насоса, если поршень под
действием силы F перемещается с постоянной скоростью.
Плотность жидкости р.
300. В задаче 299 при s->S скорость v становится сколь
угодно большой даже при малой силе F . Объяснить, с чем
связано появление этого парадоксального результата.
301. Древнегреческие водяные часы (клепсидра) представляют
собой сосуд с небольшим отверстием О (рис. 129).
Время отсчитывается по уровню, воды в* сосуде. Какова
j
Рис. 127, Рис. 128.
Рис. 129. Рис. 130.
должна быть форма сосуда, чтобы шкала времени была равномерной?
65
302. Цилиндрический сосуд с жидкостью вращается с
угловой скоростью ш вокруг вертикальной оси (рис. 130).
Определить изменение давления в горизонтальном сечении
сосуда в зависимости от расстояния до оси вращения,
(Применить метод, изложенный при решении задачи 211.)
303. Найти форму поверхности жидкости в цилиндрическом
сосуде, вращающемся с угловой скоростью и вокруг
вертикальной оси (т. е. найти высоту уровня жидкости в
зависимости от расстояния до оси вращения).
304. Почему после размешивания чая ложкой чаинки
собираются в середине стакана?
66 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Гидро- и аэродинамика.
§ 10. Гидро- и аэростатика. Ответы.
284. Обозначим через А расстояние от уровня воды до верхнего
отверстия, через х —искомое расстояние от сосуда до точки пересечения
струй по горизонтали и через расстояние от уровня воды
в сосуде до той же точки (рис. 392). Точка пересечения струй будет
оставаться на одном месте, если уровень воды в сосуде не изменяется.
28S. Скорость истечения воды из отверстия v= y~2gk. Импд Г&ьс
cajai, действующей со стороны сосуд» на вытекающую воду, ЛУ =
= А/ии, где hm = p S u h i —масса веды, вытекающая за время hi.
Следовательно, F~piP-S—2pgh3. Давление у дна p=pgA, и поэтому
F = 2pS. Такая же сила действует со стороны струи на сосуд. Таким
образом, вода действует на стешу с отверстием с силой на 2pS
меньшей, чем на противоположную, а не на pS, как могла бы показаться
на первый взгляд. Это связано с уменьшением давления на
стенку с отверстием вследствие большей скорости течения воды у
этой стенки. Сосуд придет в движение, если kQ < 2pS, или
к < 2pgbSfQ~
288. По второму закону Ньютона обязательно должно иметь
место равенство =2pS. Следовательно, ври истечении жидкости
дере» трубку площадь надеречного сечения струи должна уменьшиться
а дав рдею S = S e/2. Эго сядете струи объясняется следующим
образом. Крайние струйки жидкости, подходящие и трубке
254 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Гидро- и аэродинамика. Ответы.
сверху, не могут вследствие инерции обогнуть йрай трубки, вплотную
прилегая к стенкам, я -стремятся к центру струи. Под давлением
частиц, идущих ближе к центру струи, линии тока выпрямляются,
и суженная струя жидкости течет вдоль трубки.
287. Пренебрегая разбрызгиванием воды, мы тем самым считаем
удар струи о стенку абсолютно неулругим. По второму закону
Ньютона изменение количества движения воды за время At равно
Amv—F At, где Am=p(jid2/4)i> Д/ — масса воды, протекшаяза время
At через поперечное сечение трубки. Отсюда F==(pnd2/4) о2 «0,08 Н.
288. При движении газа по трубе (рис. 393) количество движения
не меняется по величине, но меняется по направлению. За единицу
времени через поперечное сечение
I вертикального колена трубы
проходит масса р5о, которая приносит
с собой количество движения
pl =pSov1, где Vj — вектор скорости
течения газа в вертикальном колене,
численно равный заданной скорости
о. За то же время через сечение II
уносится количество движения р2 =
= pStiva, где v8—вектор скорости в
горизонтальном колене, также численно
равный V.
Изменение количества движения
равно импульсу силы F, действующей
со стороны трубы на газ: F =
= рSo (v2— Vi). По величине сила F =
= pSo5 У~2^ По третьему закону Ньютона
с той же силой газ действует на
трубу. Эта сила направлена в сторону, противоположную изгибу
трубы. — _
289. Начальная, скорость вода относительно лопасти о — у 2gh—
—a>R. Поэтому за единицу времени о лопасть ударяет масса воды
m= pS ( У 2gh—4лЯ). Скорость вода относительно лопасти лосле
удара равна б, поэтому изменение количества движения воды за’
единицу врем ен и равно то. По второму закону Ньютона
ts>0. В вервый лиметт судне начнет «вигаться вяраво, так как
давление *а вр»ый -борт уменьшаете* ва величину 2pS, где р—давление
на глубяве аробвины A, a S—ее площадь (см. задачу 285).
После того, как струя воды достигнет противоположной стенки, на
эту стенку начнет действовать сила F = pSo2, где о—скорость струя
относительно судна (см. задачу 287). F несколько больше 2pS, так
как о > У 2gh из-за того, что судно движется навстречу струе.
В результате движение начнет замедляться.
291. Скорость течения жидкости в трубке постоянна по всему
|* » и н т в силу малой сжимаемости жидкости и неразрывности струи.
Эта схорость равна » = V igH . Скорость жидкости в сосуда очень
мала ■ практически равна нулю, так как площадь сосуда во много
раз больше площади сечения трубки. Следовательно, на границе
сосуд—трубка должен быть скачок давления, который мы обозначим
через pi — рг. Работа сил давления вызывает изменение скорости от
255
нуля до У 2gH. На основании закона сохранения энергии
Ат иа/2 = (pi—р2) S Ah,
где S—площадь сечения трубки, Ah—высота малого элемента жидкости
и Ат = pS Ah—масса этого элемента. Следовательно, ру2/2 =
= Р1—Рг = 9&н —
Из-за постоянства скорости течения давление в трубке меняется
по закону р = Ро — рg (h—х), как и в неподвижной жидкости. р0 —
атмосферное давление, а х— расстояние, отсчитываемое от верхнего
конца трубки. Изменение давления по высоте изображено на
рис. 394. По оси ординат отложено давление, по оси абсцисс—расстояние
от поверхности жидкости в сосуде.
292. Вытекающая из трубки вода за малый промежуток времени
At унесет с собой количество движения Ap—pSv2At, где v= |/~2gH—
скорость вытекающей струи (см. задачу 291). По второму закону
Ньютона F At = 2pgHS At. Такая же сила будет действовать со стороны
вытекающей струи на сосуд с водой. Следовательно, в начальный
момент показание весов уменьшается на 2pgHS.
293. В первый момент, пока струя еще не достигла чашки, равновесие
нарушится. Чашка качнется вверх, так как вытекшая из
сосуда вода перестанет оказывать давление на дно сосуда. Однако
после того, как струя Достигнет чашки, равновесие восстановится.
Рассмотрим элемент струи массы Ат. Падая на чашку, он сообщает
ей в вертикальном направлении импульс Ат У 2gh, где h—высота
* крана над чашкой. С другой стороны, этот элемент, покинув сосуд,
перестанет оказывать давление на его дно и на чашку в течение
времени падения t — У 2hjg. Это эквивалентно появлению импульса
силы, действующего на сосуд вертикально вверх во время падения
элемента жидкости. Среднее за время падения значение этого импульса
равно
Amg У 2h/g = Am Vigh.
V Таким образом, с каждым элементом жидкости Ат связано в
среднем за время падения появление двух равных и противоположно
направленных импульсов силы. Так как струя течет непрерывно,
весы будут находиться в равновесии. В момент, когда струя прекращается,
чашка качнется вниз, так как последние элементы, жидкости,
падая на чашку, действуют на нее с силой, превышающей их
вес, а уменьшение давления на дно сосуда прекратится.
256
294. На основании закона сохранения энергии можно написать-
Mti*J2=mgh, где М — масса воды, останавливающейся в трубе при
закрытии клапана К2, т—масса воды, поднявшейся при этом на
высоту h. Отсюда рVQgh, где У0—объем массы т. За
2 с в среднем поднимается объем V0 = iTUpv^jUgh = 1,7-10-? м3. За
час работы тарана поднимется У = 1,7-10-8-30-60ри 3 м3.
296. Давление в обтекающем крышу воздушном потоке меньше,
Чем в покоящемся воздухе. Это избыточное давление неподвижного
воздуха под крышей и вызывает описанные явления.
296. За счет большой скорости течения газа в струе давление
внутри струи меньше- атмосферного. Снизу шарик будет поддерживаться
напором струи, а с боков — статическим атмосферным давлением.
297. При течении воздуха между дисками скорость его убывает
по мере приближения к краям дисков. У краев она минимальна.,
Давление в струе газа тем меньше, чем больше его скорость. Поэтому
давление между дисками меньше атмосферного. Атмосферное давление
прижимает нижнюю пластинку к верхней, и течение газа прекращается.
После этого статическое давление газа снова отодвигает
пластинку, и процесс повторяется.
298. В потоке текущей жидкости давление уменьшается с увеличением
скорости течения. Скорость течения воды в сосуде значительно
меньше скорости течения в трубе, и, следовательно, давление
воды в сосуде больше, чем в трубе. На границе сосуд—труба скорость
течения увеличивается, а давление уменьшается; вследствие
этого шарик, помещенный на сетку, оказывается прижатым к ней и
не всплывает.
299. За промежуток времени т поршень -переместится на расстояние
их (рис. 395). При этом сила F совершит работу A = Fux.
Масса жидкости, вытекающей за время т, равна pSux. Скорость
истечения жидкости о определится из соотношения Su — sv. Изменение
кинетической энергии жидкости за время т равно
pS их (с2/2 —и2/2). —
Это изменение энергии должно равняться работе силы F:
Рих~р$их(р*/2—иЧ2).
2F 1
Исключая отсюда и, находим о2 = ^ __si/S ‘i ‘ ^ сли s то
v = Y 2F/Sp.
300. При решении задачи 299 мы считали, что: скорость любого
элемента жидкосга, находящегося в насосе, постоянна. Изменение.
257
скорости от и до о происходит при выходе жидкости из насоса. Однако
это имеет место не сразу после того, как сила начнет действовать
на поршень. Необходимо некоторое время, за которое процесс устанавливается,
т. е. частицы жидкости в цилиндре приобретают постоянную
скорость. При s —> S это время стремится к бесконечности,
и ‘поэтому скорость, приобретаемая жидкостью под действием постоянной
силы, оказывается бесконечно большой.
301. Введем систему координат, изображенную на рис. 396.
Скорость истечения жидкости по формуле Торричелли V = V 2gy, где
у—толщина слоя воды в верхнем,, сосуде. Вследствие несжимаемости
воды sV = Sv, где v—скорость опускания верхнего уровня воды,
S —его площадь, a s — площадь отверстия. Если принять, что сосуд
имеет осевую симметрию, то S = nx2, где х—горизонтальная координата
стенки сосуда. Следовательно, nx2/Y~2gy=s/v = const, так как
по условию уровень воды должен опускаться с постоянной скоростью.
Отсюда форма сосуда определяется уравнением у = kxi , где k =
= n 2v2/2gs2.
302. В горизонтальном сечении давление в зависимости от расстояния
г до оси изменяется по закону p = p0-f(pm2/2) г2, где р0 —
давление на оси сосуда, а р —плотность жидкости. Деформация
сжатия жидкости будет наибольшей у стенок сосуда, в то время как
деформация растяжения вращающегося стержня (задача 211) максимальна
303. На расстоянии г от оси вращения избыточное давление
р = (рш2/2) г2 (см. решение задачи 302). С другой стороны, это давление
определяется превышением уровня жидкости в данном участке
по сравнению с уровнем на оси: p — pgh (рис. 397). Приравнивая
эти выражения, имеем h~(ui2/2g) г2. Это — уравнение параболы.
Соответственно поверхность жидкости во вращающемся сосуде принимает
форму параболоида вращения.
304. Размешивание придает частицам воды в стакане некоторую
угловую скорость to. Распределение давлений в жидкости будет примерно
таким, какое получено в решении задачи 302. Избыточное
давление внутри жидкости уравновешивает давление, вызванное превышением
уровня жидкости у краев стакана (см. задачу 303). После
того, как размешивание прекращено, вследствие трения о дно скорость
вращения жидкости у дна начнет уменьшаться, причем тем
значительнее, чем дальше элемент жидкости находится от оси. Теперь
258
уже избыточное’* давление, вызванное вращением, не уравновесит вес
столба жидкости у краев сосуда. Вследствие этого возникнет циркуляция
жидкости, изображенная схематически на рис. 398. Поэтому
чаинки собираются в центре дна стакана.
259 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ. Гидро- и аэродинамика. Ответы.
