ИМПУЛЬС. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

59 ИМПУЛЬС. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

со скоростью v под углом а. к плите
(рис. 5). Время соударения шарика с
плитой равно т.
Так как столкновение абсолютно
упруго, то шарик отскакивает от плиты
под таким же углом а, под каким под-
летает к ней, и с той же по величине
скоростью v. Нетрудно найти изменение
импульса Ар шарика при ударе. Оно
равно
2mv cos (90°—a)—2mv sina
и направлено перпендикулярно плите.
Это означает, что при столкновении
шарика с плитой на шарик действует
средняя сила
F= 1 •
Согласно третьему закону Ньютона
точно такая же сила, но направленная
противоположно, действует на плиту.
Если одна и та же сила действует
на два тела одно и то же время, то им-
пульсы этих тел меняются одинаково,
независимо ог их начальных масс или
скоростей. Пусть, например, две ча-
сгицы с массами m и 2т движутся так,
как показано на рисунке 6, а — пер-
вая, частица (т) движется со скоростью
v в напраапении, перпендикулярном
напраачению движения второй части-
цы Bт), скорость которой равна 2v.
т v • 3/77V
Зт\
т\
а
Рис. 6.
60
На частицы в некоторый момент вре-
мени начинают действовать одинаковые
силы, причем эти силы действуют на
частицы одинаковое время. После пре-
кращения действия сил частица мас-
сы т движется со скоростью 2v в на-
правлении, противоположном направ-
лению ее первоначального движения.
С какой скоростью и в каком направле-
нии движется вторая частица после
прекращения действия силы?
Найдем импульс силы, действующей
на каждую частицу. Нужно не забы-
вать, что импульс и изменение импуль-
са — величины векторные. Импульс пер-
вой частицы изменился по напраапению
и по величине и стал равным 2mv. Из-
ыенение импульса первой часгицы рав-
но 3mv (рис. 6, б). Так как и на вторую
частицу действует такая же сила в те-
чение того же самого времени, то и им-
пульс второй частицы меняется на 3mv.
Стожив первоначальный импульс вто-
рой часгицы с изменением импульса,
найдем, что импульс частицы массы 2т
стал равен 5 mv и напраачен под углом
a = arctg-?- к направлению перво-
начального движения эгой часгицы (см.
рис. 6,6). Разделив импульс часгицы
на ее массу, найдем, что скорость части-
цы массы Ъп после прекращения дей-
ствия силы равна 2,5v.
Теперь решим более сложную задачу.
Космический корабль, имеющий ло-
бовое сечение 5=50 м2 и скорость ь=
= 10 /си/сек, попадает в облако микро-
метеоров, плотность которого п=1 м~3
(то есть в одном кубическом метре про-
странства находится один микроме-
геор). Масса каждого микромегеора
т 0,02 г. Насколько должна возрасти
сила тяги двигателя, чтобы скорость
корабля не изменилась? Удар микро-
метеоров об обшивку корабля считать
абсолютно неупругим.
За время Д/ корабль сталкивается
с микрометеорами, которые в началь-
ный момент находились от него на рас-
стоянии, меньшем v&t (рис. 7). Мас-
са М всех этих микрометеоров равна
mnSv&t. До столкновения с кораблем
скорости и импульсы микромегеоров
были равны нулю, а после неупругого

60 ИМПУЛЬС. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

столкновения с кораблем скорости ми-
крометеоров стали равны v. Это оз-
начает, что при столкновении микро-
метеора с обшивкой корабля микро-
метеор приобретает импульс tnv. Ми-
крометеоры, попавшие на обшивку ко-
рабля за время At, приобретают сум-
марный импульс Mv = mnSv\tv =
^mnSiPAt. Это означает, что на ми-
крометеоры действует сила
F — —гг = mnSv*.
Согласно третьему закону Ныогона
такая же по ветчине сила, но направ-
ленная в противоположную сторону,
действует на обшивку корабля. Поэтому
для того, чтобы при попадании корабля
в облако метеоров его скорое гь не из-
менилась, сила тяги двигателя корабля
должна увеличиться на mnSv2=l0bH.
Если на тело не действуют силы или
действующие силы взаимно уравнове-
шиваются, то импульс тела не меня-
ется. Точно так же, если на систему
тел не действуют внешние силы (та-
кая система тел называется замкнутой
или изолированной), то суммарный им-
пульс системы тел не меняется.
Решим такую задачу. Нейтрон с энер-
гией ?=-105 дж поглощается первона-
чально неподвижным ядром кадмия
(Л = 112). Определить скорость вновь
образовавшегося ядра (Л = 113).
Система нейтрон — ядро изолиро-
ванная, и ее импульс не меняется.
Если массу нейтрона обозначить tn,
а его скорость и, то ?=ти2/2. Отсюда
мы найдем, что скорость нейтрона до
его столкновения с ядром кадмия была
равна v = V2E/m. До столкновения
импульс нейтрона был равен tnv —
-•• mV2E/m, а импульс ядра был ра-
вен нулю. Поэтому до столкновения им-
пульс системы был равен тЛ/2Е\т.
Если скорость ядра, образовавшегося
в результате поглощения нейтрона яд-
ром кадмия, обозначить и, а его массу
М, то импульс этого ядра равен Ми.
Запишем теперь закон сохранения им-
пульса:
Ми — m V2E/m.
Отсюда найдем, чго
м
Напомним еще раз, что импульс —
величина векторная. Поэтому, когда
мы говорим о сохранении импульса
изолированной системы, важно пом-
нить, что сохраняется не только вели-
чина импульса, но и его направление.
Сохраняются и составляющие импульса
по любым направлениям, например по
двум осям координат. Решим, исполь-
зуя это, следующую задачу.
Ядро массы /я, летящее со скоростью
v, распадается на две части одинаковой
массы, причем один из осколков деле-
ния лепи со скоростью и, под углом а
к направлению полета ядра до его рас-
пада. Найти скорость и направление
полета второго осколка ядра.
Введем такую систему координат:
ось х направим по скорости ядра до
распада (рис. 8). Если скорость второго
осколка ядра обозначить и2, а угол,
который образует вектор u2 с направ-
лением скорости ядра до распада (с
осью а), обозначить р\ то на основании

61 ИМПУЛЬС. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

закона сохранения импульса мы можем
записать:
¦у- ul cos а + — ио cos p = mv
— для составляющих импульсов по
оси х,
u sinaH
— для составляющих импульсов по
оси у.
Из этих уравнений находил»
«2 = \ и\ + Av2 — Avux cos a,
У„2-|-4У2_
rSina.
cos a
Если система не изолирована и на
нее действует некоторая сила F, то
полный импульс системы не сохраня-
ется. Однако сохраняется сосгавляющая
импульса в направлении, перпендику-
лярном силе F. На этом основано ре-
шение’ большого числа задач. Решим,
например, такую задачу.
I la железнодорожной платформе,
движущейся со скоростью и, укреплено
орудие. Ствол орудия направлен в
сторону движения платформы и при-
поднят над горизонтом. Орудие про-
извело выстрел, после чего скорость
платформы уменьшилась в п раз. Най-
ти скорость и снаряда (относительно
земли), если он вылетает из ствола под
углом а к горизонту. Масса снаряда т,
масса платформы с орудием (без сна-
ряда) М.
Система орудие— платформа — сна-
ряд не является изолированной: на нее
действует сила тяжести и сила реакции
Земли. Однако в горизонтальном на-
правлении на платформу с пушкой и
снаряд внешние силы не действуют.
Это означает, что горизонтальная со-
ставляющая импульса системы не долж-
на при выстреле измениться. Поэтому
ти cos a-fM—s(M + m) v.
п
Отсюда
, п—’
mv-\- M —-—
т cos a
Если система частиц или тел изо-
лирована и ее импульс не меняется, то
62
не меняется и скорость центра масс
системы (центра тяжести). В частности,
если в некоторый момент система дви-
галась так, что скорость центра масс
была равна нулю, то эта скорость оста-
егся равной нулю все время. Поэтому
не меняется и положение центра масс.
Рассмотрим пример.
Человек массы т находится на кор-
ме лодки массы М, стоящей в пруду.
Длина лодки L. На сколько сдвинется
лодка относительно берега, если че-
ловек перейдет с кормы лодки на нос?
Так как в горизонтальном направле-
нии на систему лодка — человек силы
не действуют, положение ее центра
масс должно сохраниться. Но положе-
ние центра масс системы определяется
положением центров масс лодки и че-
ловека (рис. 9). Пусть первоначально
расстояние между центром масс системы
@с) и центром масс лодки (Ол) равно х.

62 ИМПУЛЬС. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Рис. 10.
Тогда Мх=т (L/2—x), откуда х —
= 2(м»^-т) ^’ ^огда челоВек перей-.
дет с кормы лодки иа ее середину, то,
очевидно, положение его центра масс
должно совпадать с положением центра
масс системы. Стедователько, и по-
ложение центра масс лодки должно так-
же совпадать с положением центра масс
системы, то есть лодка должна переме-
ститься на расстояние х. На такое же
расстояние перемести гея лодка при
переходе человека на нос. Спедова-
тельио, полное перемещение лодки
/ = 2х =
т
М -I- m
Упражнения
V. Найти среднюю силу, действующую
на плиту при абсолютно иеупруюм столк-
новении с ней шарика массы т, летящего
со скоростью v в направлении, составляющем
с плитой угол а. Время соударении равно т.
2- С какой силой давит на плечо ручной
пулемет при. стрельбе, если масса пули
т~= Ю г, ее скорость при вылете U—800 мсек
и скорострельность пулемета п 600 выстре-
лов п минуту?
3. Два шарика падают в облаке пылн.
Во сколько раз отличаются скорости шариков,
Рис. 11.
если диаметр одного из них вдвое больше
диаметра другого?
4. Шарик, летящий горизонтально со
скоростью v, ударяется о тяжелую сталь-
ную плиту, движущуюся ему навстречу
со скоростью и. С какей скоростью будет
двигаться шарик после абсолютно упругого
соударения? Силой тяжести пренебречь.
б. Пуля массы т. летящая горизонталь-
но со скоростью и, попадает в кубнх, лежа-
щий на гладком пату, и пробивает его на-
сквозь. Масса кубика М. Скорость пули
после вылета равия и. Какая часть перво-
начальной энергии пули перешла в теп-
ло?
6. При взрыве снаряда массы ,Vf-=69 кг
образовались три одинаковых осколка. Их
общая кинетическая энергия равна Е
=-2.9- Ю7 дж. Какую максимальную скорость
может иметь один из осколков, если до раз-
рыва снаряд летел со скоростью v=
— 800 м/гек?
7. Шарик массы т. летящий со скоро-
стью v, сталкивается под углом а с кубиком
массы /И, стоящим »а гладком полу (рис. 10).
Найти скорость шарика после улара. Удар
считать абсолютно упругим.
8. Шарик массы т. летящий со ско-
ростью v, составляющей угол а с горизонтом,
попадает в покоющуюся платформу с песком
массы М (рис. 11) и застревает в песке.
Найти скорость платформы.

63 ИМПУЛЬС. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ
ПО ФИЗИКЕ 1971 года В МОСКОВСКИЙ
ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На письменном экзамене по физике
в МФТИ, как всегда, предлагались 4 задачи.
В каждом билете одна из задач, по мнению
составителей, наиболее трудная, отмечена
звездочкой. Мнение абитуриентов иногда
оказывалось иным.
Для получения оценки «удовлетворитель-
но» надо было справиться с любыми двумя
задачами, «хорошо» ставилось за три задачи,
«отлично» получали те, кто решили верно
все четыре задачи.
Приведем в качестве примера два билета
из числа предлагавшихся на экзамене.
Б н л е т JCs 1
I. Из духового ружья стреляют в спи-
чечный коробок, лежащий на расстоянии
/—30 см от края стола. Пуля массы
т= 1 г, летящая горизонтально со скоростью
v0—150 м!сек, пробивает коробок и вылетает
из него со скоростью v=vqI2. Масса коробка
М—50 г. При каких значениях коэффициента
трен и я между коробком и столом коробок
упадет го стола?
2- Два вертикальных цилиндрических
сообщающихся сосуда заполнены водой и за-
крыты поршнями массы Л11=2 кг и Мг=3 кг
(рис. 1)- Когда на первый поршень поместили
гирю массы т=1 кг, то в положении равно-
весия он установился на А = 10см ниже вто-
рого поршня. Когда эту гирю переставили
на второй поршень, то он оказался на 10 си
ниже первого. Как расположатся поршни
в отсутствие гири?
3*. Для того чтобы произошла ядерная
реакция между двумя а-частицами, необхо-
димо, чтобы расстояние между ними не пре-
вышало /¦~4-103 см. Какую инициальную
кинетическую энергию ?mm нужно сообщить
одной из et-чзстиц, чтобы она вступила
в ядерную реакцию с другой сс-чэстицей,
-..,
М >
Рис. 1.
64
которая была неподвижной и находилась
на большом расстоянии от первой? Заряд
а-частицы равен 2/=3,2-10-1в кулона.
Примечание. Обратите внимание,
что в момент максимального сближения
а-частицы имеют одинаковые скорости.
4. Энергия солнечных лучей, падающих
на поверхность Луны, частично поглощается
(коэффициент поглощения fc=90%) и час-
тично рассеивается. Считая, что освещенная
поверхность Луны рассеивает свет равно-
мерно в телесный угол 2п, найти, во сколько
раз освещенность поверхности Земли во вре-
мя полнолуния меньше освещенности, созда-
ваемой прямыми солнечными лучами? Угло-
вой диаметр Луны, видимый с Землн, принять
равкыч <%» 10 радиана.
Билет Л° 2
I*. Самолет садится на палубу авианос-
ца, имея скорость t> 108 км/час. Зацепившись
за канат торможения, он пробегает путь
S=30 м до полной остановки. Определить
максимальный вес пилота при посадке (пере-
грузку) считая, ‘что коэффициент упругости
каната не изменяется по мере его растяжения.
Масса пилота т—70 кг.
2. В сосуде на*одится смесь аэота и водо-
рода. При температуре Т, когда азот пол-
ностью диссоциирован на атомы, а диссо-
циацией водорода еще можно пренебречь,
давление равно Р. При температуре 27\
когда оба газа полностью диссоциированы,
давление в сосуде ЗЯ. Каково отношение
чисел грамм-атомов азота и водорода в смесн?
3. В старой аккумуляторной батарее,
состоящей из п последовательно соединен-
ных банок, резко возросло внутреннее со-
противление одной из банок и стало равным
р—10 г. Считая э. д. с. всех банок одинако-
выми, определить, при каком сопротивлении
нагрузки R мощность, выделяемая на этом
сопротивлении, не изменяется при коротком
замыкании поврежденной банки. Внутреннее
сопротивление нормальной банки г.
4. Внутри стеклянной капиллярной
трубки находится газ прн низком давлении,
в котором зажжен электрический разряд,
так что весь столб газа является источником
рассеянного излучения. Под каким макси-
мальным углом фтах к радиусу может выйтн
световой луч через внешнюю стенку капи-
лляра? Внутренний и внешний радиусы ка-
пилляра равны соответственно г= 2 мм и
R » 4 мм.
В. Е. Белонучкин