§ 5. Закон сохранения количества движения.
Страницы переведены на новый сайт:
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКЕ
https://myeducation.su/sbornik-zadach-po-elementarnoj-fizike/
Две лодки идут параллельными курсами навстречу
друг другу с одинаковыми скоростями. Когда лодки
встречаются, с одной лодки на другую перебрасывают мешок,
а затем со второй лодки на первую перебрасывают такой же
мешок. В другой раз мешки перекидывают из лодки в лодку
одновременно. В каком случае скорость лодок после перебрасывания
грузов будет больше?
111. Лягушка массы т сидит на конце доски массы М и
длины L. Доска плавает на поверхности пруда. Лягушка
прыгает под углом а к горизонту вдоль доски. Какой должна
быть при этом начальная>ск6роеть. лягушки о®, чтобы после
прыжка лягушка оказалась на другом конце доски?
112. Клин с углом при основании а лежит на гладком
горизонтальном столе. По наклонной поверхности клина
ползет вверх жук с постоянной относительно клина скоростью
и. Определить скорость клина. Предполагается, что
жук начал ползти, когда клин покоился. Масса клина равна
М, масса жука равна т.
113. Клине углом при основании а может без трения-
перемещаться по гладкой горизонтальной поверхности
(рис. 44). При каком соотношении масс rtii и тг грузов,
Закон сохранения количества движения.
связанных нитью, перекинутой через блок, клин будет
неподвижен и при каком соотношении масс клин начнет
перемещаться вправо или влево? Коэффициент трения между
грузом массы т2 и клином равен k.
114. Вдоль гладкой наклонной плоскости, составляющей
угол а с горизонталью, начал соскальзывать с нулевей
начальной скоростью ящик с песком массы М. После того,
как ящик прошел путь 5, в него попал камень массы т, подлетевший
по горизонтальному направлению. Какой была
29 Закон сохранения количества движения.
скорость камая о, ее л if ящик с песком после поведения в него
камня на мгновенье остановился? Скорости камня и ящика
лежат в одной плоскости.
115. Ракета, запущенная вертикально вверх, взрывается
в высшей точке своего подъема. При взрыве образуются
три осколка. Доказать, что векторы начальных скоростей
§еех трех осколков лежат в одной плоскости.
116. На поверхности озера находится лодка. Она перпендикулярна
линии берега и обращена к нему носом. Расстояние
между носом лодки и берегом равно 0,75 м. В начальный
момент лодка была неподвижна. Человек, находящийся
в лодке, переходит с носа лодки на корму. Причалит
ли лодка к берегу, если ее длина 2 м? Масса лодки
Л4=140 кг, масса человека m=6Q кг.
117. С конное неподвижной платформы длиной /=9,2 м
бегут навстречу друг другу взрослый и ребенок. Определить,
на ‘сколько откатится платформа, когда взрослый добежит
с одного конца платформы до другого. Известно, что взрослый
бежит в два раза быстрее, чем ребенок. Масса платформы
т.!—600 кг, масса взрослого т2= 60 кг, ребенка
/и3=30 кг.
118. На. абсолютно гладкой горизонтальной плоскости
лежит обруч. На обруче находится жук. Какую траекторию
будут описывать жук и центр обруча, если жук начнет двигаться
вдоль обруча? Масса обруча М , радиус Я, масса
жука. т.
119. В начальный момент ракета массы М имела скорость
va. В конце каждой секунды из ракеты выбрасывается
порция газа массы т. Скорость порции газа отличается от
скорости ракеты до сгорания данной массы газа на постоянную
величину и, т. е. скорость истечения газа постоянна.
Пренебрегая действием силы тяжести, определить скорость
ракеты через п секунд.
120. Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если скорость
истечения газов относительно ракеты меньше скорости
самой ракеты, т, е. вытекающие из сопла ракеты газы летят
вслед за ракетой?
.121. Пушка массы М , которая может двигаться только
по горизонтали, стреляет под углом а к горизонту снарядом
массы т, вылетающим со скоростью о*. Понимая под v0
начальную скорость снаряда относвтельио земли либо относительно
пушки, а под углом а — угол наклона вектора
начальной скорости v„ или угод наклона ствола пушки,
найти скорость о отката вущкн для всех чётырех вариантов,
30 Закон сохранения количества движения.
§ 5. Закон сохранения количества движения. Ответы.
109. Разобьем массу диска на пары одинаковых элементов, лежащих
народном диаметре на равных расстояниях от центра. Количество
движения каждой пары равно нулю, так как количества движения
обеих масс равны, но направлены в противоположные стороны.
Следовательно, количество движении всего диска равно нулю.
110. Пусть масса лодки М, масса мешка т, начальная скорость
лодок Не- При выбрасывании мешка с лодки на нее действует некоторая
-вила в направлении, перпендикулярном о0. Однако изменения
количества движения лодки не происходит, так как сила сопротивления
воды препятствует поперечному движению лодок. Количество
движения лодки изменяется только при попадании в нее мешка.
Применяя закон сохранения количества .движения к. системе
мешок—лодка, в первом случае можно написать:
(M+/n)o„—/no0=(At+2m)o1 для одной лодки,
М nwi=s,(М~ут)щ для щругой.
Здесь О! и %—конечные скорости лодок. Из данной системы уравне-
нии имеем = —j М v2= щ т ^ о —
199 Закон сохранения количества движения. Ответы.
скорости лодок v[ и v’2 определяются из уравнений
Mvt—mv0 = (M+m)v[, ~M v 0-\-mva = (M-\-m)v2-
Отсюда v[ — —v’2 — vo- Таким образом, конечная Скорость лодок
в первом случае будет больше.
111. Количество движения системы доска—лягушка в горизонтальном
направлении не изменяется. Следовательно, можно написать
mvQ cos а — Ми,
где и—скорость доски относительно неподвижной поверхности пруда.
Чтобы лягушка оказалась на другом конце доски, должно выполняться
условие
L—их = (по cos ос) т,
где [т—время, в течение которого лягушка находилась в воздухе;
оно равно т = 2о0 sin a/g. Из имеющихся уравнений можно определить
v0:
V° V (т/Л1-(-1) sin 2а ‘
Закон сохранения количества движения. Ответы.
112. Поскольку в горизонтальном направлении система жук —
клин замкнута, для определения скорости v клина можно воспользоваться
законом сохранения количества движения
Mv-\-m(v—и cosa) = 0,
где (о—и cos а) — горизонтальная составляющая скорости жука относительно
неподвижной системы отсчета. Отсюда cos а.
113. Так как внешние силы, действующие на систему по горизонтали,
отсутствуют, проекция общего количества движения системы
клин—грузы на горизонтальное направление должна оставаться постоянной
(равной нулю). Отсюда следует, что клин начнет двигаться
только в том случае, если будут двигаться грузы. Чтобы груз т а
двигался вправо, должно выполняться условие
m2g sin a m^g + km2g cos a.
Отсюда m i/m j^ s in a—k cos a. При этом условии клин будет двигаться
влево. Чтобы груз т2 двигался влево, должно выполняться
условие
tnig э» m^g sin a + ktti^g cos a
или m1/m2 Ss sin a-\-k cos a. Клин при этом будет двигаться вправо.
Следовательно, для равновесия клина отношение масс грузов должно
удовлетворять неравенству
sin a — k cos a < m1lm2 < sin a — f k cos a.
114. Для направления вдоль наклонной плоскости можно написать
mv cos a + Ми = О,
200 Закон сохранения количества движения. Ответы.
где и—скорость ящика в момент попадания в него камня; она равна
и — T/~2gS sin а. Следовательно,
М У 2gS sin «
— т cos а
115. В высшей точке подъема скорость ракеты равна нулю. Изменение
общего количества движения частей ракеты под действием
внешних сил (силы тяжести) крайне незначительно, так как импульс
этих сил весьма мал ввиду кратковременности взрыва. Поэтому общее
количество движения частей ракеты до и сразу после взрыва
остается постоянным и равным нулю. Между тем три вектора (/nxv,,
m2va, m3v3) могут в сумме дать нуль только тогда, когда они лежат
в одной плоскости. Отсюда следует, что и векторы vx, v2, v3 лежат
в одной плоскости.
116. Скорость лодки относительно берега и связана со скоростью
человека относительно лодки v соотношением и —m—+т—Aпf v. Отношение
скоростей во время движения остается „ ——
постоянным. Поэтому отношение прой-
денных путей будет равно отноше- / \
нию скоростей: S/1 = т/(т-\-М), где ‘ л v
S —путь, пройденный лодкой, а I —
длина лодки (расстояние, пройденное
человеком относительно лодки).
Следовательно, для того чтобы лодка
причалила, ее Длина должна быть не
менее l = m~т>r^ — S = 2 ,5 м. Лодка не
причалит.
117. Примем за начало координат
ту точку, откуда начинал двигаться
взрослый. Тогда начальная
координата центра масс будет равна
Wxl/24-т з/ Рис. 320.
Xl~~Щ+тг+т3′
Обозначим через дс2 координату центра масс в момент, когда взрослый
добегает до края платформы. Тогда
х m1(l/2 — s)+m2(l — s)+ms (l/2—s)
2 , ml +m s + m3 ’
где s—перемещение платформы. Так как в горизонтальном направлении
система взрослый — ребенок — платформа замкнута, то х1 = х2.
Из этого равенства находим s:
2m2—tns I
/n1+ m 2+ m 3 2 ‘
При заданных числовых значениях это дает s= 0 ,6 м.
118. На систему обруч —жук в горизонтальном направлении
внешние силы не действуют. Поэтому центр тяжести системы (точка С
на рис. 320) не будет перемещаться в горизонтальной плоскости.
201 Закон сохранения количества движения. Ответы.
Расстояние от центра тяжести системы до центра обруча равно СО =
= — R. Так как т + М оно постоянно, центр обруча О будет опи-
сывать относительно неподвижной точки С окружность радиуса
СО. Легко видеть, что траектория жука представляет собой окруж-
ность радиуса АС— -М R. Взаимное расположение, а также на-
иЬ tVl
правление движения жука и обруча указаны на рис. 320.
119. Обозначим через о* скорость ракеты в конце ft-й Секунды.
В конце (й-^-1)-й секунды из ракеты выбрасывается газ массы к ,
который уносит с собой количество движения, равное т(—и-}-®*)-
Из закона сохранения количества движения следует, что
(М—km) vk = [ М —(й + 1 ) т\ vk+г + от (—и + и*).
Изменение- екороети ракеты за одну секунду равно
■ти
^ +1 — vk — м _ + J ) т ■
Зная изменение скорости за одну секунду, можно написать выражение
для скорости в конце п-й секунды:
v„ — v0 +! и (I м _т т +I м _т_ 2т +г • • • +t у и _т пт \J •
120. Скорость ракеты будет увеличиваться. Это становится очевидным,
если перейти к системе отсчета, относительно которой ракета
в данный момент покоится. Давление вытекающих газов.будет толкать
ракету вперед.
121. Для рассмотрения всех четырех возможностей обозначим:
Oj —начальная скорость снаряда относительно пушки, v2 —начальная
скорость снаряда относительно земли,
Р —угол . наклона ствола пушки, у—■.
угол наклона, вектора начальной скорости
va (рис. 321). Соотношения между
указанными величинами определяются
равенствами
cos р -b in t’s c o s у, (1)
Vi sin p = p2sin y, (2)
m% cos у Ц- Afp=0. (3)
Если под но понимается начальная
скорость снаряда относительно земли, а угол а —угол наклона вектора
v0 (т. е. v0 — v2, а = у), то из уравнения (3) имеем
ж ‘Ж »
~~’ЖЩ C 0 S v ^casa-
Пусть теперь t>0—начальная скорость снаряда относительно
ствола пушки, который направлен под углом а к горизонту (Oo = Pi,
а = Р). Тогда из (1) и (3): получим
Ai-i-m Pi cos р == — -Лг1^+—я» по cos а.
Если задана начальная скорость относительно земли и угол наклона
202 Закон сохранения количества движения. Ответы.
пушка ос—р:), то •
о = ….. ^ ■ т о» cos Ва =
У (m+ М)2 sin2 р + М* cos8 р
» т
— ——————————————— ~ И, COS’O.
У (т-\- My sin2 а + Л12 cos2 а
Наконец, если о„ —начальная скорость относительно ствола пушки
и задан угол наклона вектора начальной скорости относительно
земли (начальный угол траектории), то v0 = vl и а = у. Тогда
п = •- — т ■ — ■ ■ ■ — V, cos у =
У (пг+ М)2 cos2 у + М2 sin2 у
т
= ………. — Рр с о я ОС.
У (m-f-Л1)2 eos2 a-f- М2 sin2 а
Во всех случаях знак минус означает, что пушка откатится в сторону}
, противоположную- движению, снаряда,
203 Закон сохранения количества движения. Ответы.
